第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)西安電子科技大學(xué)第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)§1.1質(zhì)點(diǎn)與參考系§1.2位移、速度與加速度§1.3直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)學(xué)矢量§1.5運(yùn)動(dòng)學(xué)問題的數(shù)學(xué)求解§1.6相對運(yùn)動(dòng)§1.4平面曲線運(yùn)動(dòng)1.1質(zhì)點(diǎn)與參考系質(zhì)點(diǎn)：忽略大小、形狀，而有質(zhì)量的幾何點(diǎn)。一種理想化的物理模型。1.突出了研究對象的主要性質(zhì)而忽略次要因素；1.1.1質(zhì)點(diǎn)2.研究對象是否能處理成質(zhì)點(diǎn)由具體問題而定。運(yùn)動(dòng)是相對的，對物體運(yùn)動(dòng)的描述，需要選擇一個(gè)參照標(biāo)準(zhǔn)，即選擇參考系，不同參考系對運(yùn)動(dòng)的描述不同。衛(wèi)星對心—圓運(yùn)動(dòng)；衛(wèi)星對日心—較復(fù)雜的螺線運(yùn)動(dòng)。1.1.2參考系1.1質(zhì)點(diǎn)與參考系1.1質(zhì)點(diǎn)與參考系選定參考系后，為了精確、定量地描述物體相對于參考系的位置，需要確定質(zhì)點(diǎn)相對參考系位置的數(shù)學(xué)方法。通常有：坐標(biāo)法，矢量法，自然法。1.1.3確定質(zhì)點(diǎn)位置的方法1坐標(biāo)法在參考系中建立一個(gè)坐標(biāo)系，t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)，P點(diǎn)的位置用坐標(biāo)表示。參考系P

(x,y,z)常用坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系（x,y,z

）球坐標(biāo)系（r,θ,

）柱坐標(biāo)系（

,

,z）自然坐標(biāo)系

(s)1.1質(zhì)點(diǎn)與參考系1.1.3確定質(zhì)點(diǎn)位置的方法2位置矢量法（位矢法）P點(diǎn)位置用一個(gè)位矢表示在參考系中，任選一個(gè)固定點(diǎn)O（參考點(diǎn)），從O點(diǎn)向質(zhì)點(diǎn)P點(diǎn)引有向線段P

位置矢量的大小和方向完全確定了質(zhì)點(diǎn)相對O

點(diǎn)的位置。與O

點(diǎn)的選取有關(guān)。1.1質(zhì)點(diǎn)與參考系1.1.3確定質(zhì)點(diǎn)位置的方法2位置矢量法（位矢法）P

點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)O'P對O點(diǎn)：大小變，方向不變；對O'點(diǎn)：大小、方向都變。O'PP點(diǎn)作圓運(yùn)動(dòng)對O

點(diǎn)：大小不變，方向變；對O'點(diǎn)：大小、方向都變。1.1質(zhì)點(diǎn)與參考系1.1.3確定質(zhì)點(diǎn)位置的方法3自然坐標(biāo)法條件質(zhì)點(diǎn)相對參考系的運(yùn)動(dòng)軌跡已知。方法在軌跡上任取一點(diǎn)O（參考點(diǎn)）規(guī)定一個(gè)正方向。P

點(diǎn)的位置從O

點(diǎn)到P

點(diǎn)的曲線長度s

表示。??s

：自然坐標(biāo)1.1質(zhì)點(diǎn)與參考系1.1.3確定質(zhì)點(diǎn)位置的方法質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：描述選定參考系中質(zhì)點(diǎn)位置隨時(shí)間變化關(guān)系的數(shù)學(xué)方程坐標(biāo)法（直角坐標(biāo)系）（消去t即得軌跡方程）位矢法自然法意義：已知運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，可求質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的位置、速度、加速度，及運(yùn)動(dòng)軌跡。1.1.4運(yùn)動(dòng)學(xué)方程1.1質(zhì)點(diǎn)與參考系說明質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本問題之一，是確定質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。為正確寫出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，先要選定參考系、坐標(biāo)系，明確起始條件等，找出質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系。1.1質(zhì)點(diǎn)與參考系1.1.4運(yùn)動(dòng)學(xué)方程1.2位移、速度與加速度1.2.1位移位移：質(zhì)點(diǎn)位置矢量的增量OPP'

位移矢量反映了物體運(yùn)動(dòng)中位置(距離與方位)的變化。幾何描述數(shù)學(xué)描述1.2位移、速度與加速度OPP'

討論(1)位移是矢量（有大小，有方向）位移不同于路程(2)位移與參考系位置的變化無關(guān)O′O

(3)由質(zhì)點(diǎn)的始末位置確定，

與中間運(yùn)動(dòng)過程無關(guān)。(4)分清與Δr的區(qū)別Δr

：位矢大小的增量。：位移的大小，位矢增量的大小。1.2.1位移1.2位移、速度與加速度1.2.2速度速度：描述質(zhì)點(diǎn)位置變化快慢的物理量1平均速度O

P(t)P'(t+?t)（質(zhì)點(diǎn)在單位時(shí)間內(nèi)的位移）2瞬時(shí)速度ABB'方向：切線方向（速度是位置矢量對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。）1.2位移、速度與加速度3平均速率和瞬時(shí)速率運(yùn)動(dòng)路徑平均速率瞬時(shí)速率即平均速度的大小≠平均速率但當(dāng)Δt→0時(shí)即瞬時(shí)速度的大小=速率1.2.2速度1.2位移、速度與加速度討論(1)速度的矢量性、瞬時(shí)性和相對性。(2)注意速度與速率的區(qū)別1.2.2速度1.2位移、速度與加速度加速度:描述質(zhì)點(diǎn)速度變化情況的物理量（既有速度大小變化又有速度方向變化）ABO

內(nèi)速度的增量：內(nèi)平均加速度：時(shí)刻瞬時(shí)加速度：加速度是速度對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，是位置矢量對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。1.2.3加速度直角坐標(biāo)系分別是x、y、z方向的單位矢量在直角坐標(biāo)系中可寫成：大小(A)1.3直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)學(xué)矢量由基本關(guān)系式有：(B)比較(A)(B)兩組式子，有(A)1.3直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)學(xué)矢量總結(jié)三個(gè)基本量從不同方面描寫同一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。三者之間有著密切的聯(lián)系：相同點(diǎn)均為矢量（方向性）均為時(shí)間t

的函數(shù)（瞬時(shí)性）在不同的參照系中，各矢量的大小方向不同（相對性）abc1.3直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)學(xué)矢量總結(jié)聯(lián)系從數(shù)學(xué)上看是微分與積分的關(guān)系微分法積分法微分法積分法第一類問題（微分法）第二類問題（積分法）1.3直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)學(xué)矢量例質(zhì)點(diǎn)在二維平面上運(yùn)動(dòng)。已知該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為求(1)速度矢量及其直角坐標(biāo)分量表達(dá)式；（的單位為m，t

的單位為s）(2)t1=1s和t2=2s兩個(gè)時(shí)刻的速度1.3直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)學(xué)矢量(3)從t1=1s到t2=2s時(shí)間段內(nèi)的平均速度。解(1)（m/s），

（m/s），

（m/s）(2)根據(jù)（1）的結(jié)果，代入時(shí)間得（m/s），

（m/s）(3)根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程得，

（m），

（m）

位移（m），時(shí)間間隔Δt=t2－t1=1s，平均速

度1.3直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)學(xué)矢量例

一質(zhì)點(diǎn)以角速度ω作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓周半徑為r。求質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。解：以圓心O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系Oxy。設(shè)t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位于x軸與圓周的交點(diǎn)處。用直角坐標(biāo)表示的該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為質(zhì)點(diǎn)位矢可表示為質(zhì)點(diǎn)速度

沿x，y軸的投影為故有速度的大小為

，可見速度的大小不變，而速度的方向隨時(shí)間變化加速度

沿x，y軸的投影為即加速度的大小為例已知質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)，求(1)質(zhì)點(diǎn)在t=2s時(shí)的加速度；t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在原點(diǎn)右方2m處。(2)t=2s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置。1.3直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)學(xué)矢量首先判斷質(zhì)點(diǎn)作什么運(yùn)動(dòng)？初速度不為零的變加速直線運(yùn)動(dòng)。(1)第一類問題（微分法）(2)第二類問題（積分法）由定義：分離變量等式兩端分別積分：解注意積分初始值（下限）由初始條件確定。等式兩邊積分變量的積分限一一對應(yīng)。1.3直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)學(xué)矢量自然坐標(biāo)系（用自然坐標(biāo)

s表示質(zhì)點(diǎn)位置）設(shè)質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，且軌跡已知，則選參考點(diǎn)和正方向即可建立自然坐標(biāo)。運(yùn)動(dòng)方程為：OS單位切向量：長度為1，沿切向指向運(yùn)動(dòng)方向。單位法向量：長度為1，沿法向指向凹的一側(cè)。1.4平面曲線運(yùn)動(dòng)1.4.1自然坐標(biāo)系中的速度OS大?。悍较颍貉厍邢颍ǎ?.4平面曲線運(yùn)動(dòng)切向加速度法向加速度1.4平面曲線運(yùn)動(dòng)1.4.2自然坐標(biāo)系中的加速度速度是矢量，加速度反映了速度大小和方向的變化情況。表示速度方向的變化快慢表示速度大小變化的快慢1勻速率圓周運(yùn)動(dòng)（速度大小不變，方向變）

（沿法向）1.4平面曲線運(yùn)動(dòng)1.4.2自然坐標(biāo)系中的加速度2一般圓周運(yùn)動(dòng)將分解為兩個(gè)分量按照加速度的矢量定義，加速度既應(yīng)反映速度大小的變化率，又應(yīng)反映速度方向的變化率。1.4平面曲線運(yùn)動(dòng)1.4.2自然坐標(biāo)系中的加速度2一般圓周運(yùn)動(dòng)1.4平面曲線運(yùn)動(dòng)1.4.2自然坐標(biāo)系中的加速度加速度大小加速度方向由確定1.4平面曲線運(yùn)動(dòng)1.4.2自然坐標(biāo)系中的加速度例質(zhì)點(diǎn)作半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，切向加速度恒定。由靜止開始運(yùn)動(dòng)。求t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)速度、加速

度的大小，及質(zhì)點(diǎn)走過的路程。解將改寫為，因?yàn)槌Ａ?，利用初始條件兩邊積分得

結(jié)果為

質(zhì)點(diǎn)的法向加速度為

加速度的大小為

按有積分得到1.4平面曲線運(yùn)動(dòng)1.4.2自然坐標(biāo)系中的加速度例汽車在半徑R=256m的圓弧軌道上按（s的單位為m，t的單位為s）的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，求第一秒末的速度和加速度的大小。解（m/s），（m/s2），

（m/s2）在第一秒末，t=1s，有v=32（m/s），aτ=2（m/s2），an=4（m/s2）

a=（m/s2）3一般曲線運(yùn)動(dòng)在一般曲線運(yùn)動(dòng)中，速度方向變化快慢與軌道形狀有關(guān)，顯然，軌道彎曲越厲害，速度方向變化越快。如何描述曲線彎曲的程度？———曲率半徑1.4平面曲線運(yùn)動(dòng)1.4.2自然坐標(biāo)系中的加速度3一般平面曲線運(yùn)動(dòng)ABP曲率半徑越小，曲線就越彎（指向曲率中心）（沿切向）1.4平面曲線運(yùn)動(dòng)1.4.2自然坐標(biāo)系中的加速度圓周運(yùn)動(dòng)是一般平面曲線運(yùn)動(dòng)的特殊情況1.4平面曲線運(yùn)動(dòng)02質(zhì)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動(dòng)，請指出各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況有無可能BACDE解析ABCDE√加速×加速度應(yīng)指向凹側(cè)×an不為零故a不會沿切向×an不為零故a不為零√加速自然坐標(biāo)系中指向曲率中心沿切線∴恒指向曲線凹側(cè)1.4平面曲線運(yùn)動(dòng)BACDE

(1)物體是否無加速度？

(2)等加速運(yùn)動(dòng)是否一定為直線運(yùn)動(dòng)？(3)圓周運(yùn)動(dòng)的加速度是否一定指向圓心？思考：討論1)切向加速度沿切線，法向加速度指向曲率中心，∴質(zhì)點(diǎn)總加速度永指向曲線凹向的一側(cè)。2)注意的區(qū)別3)自然坐標(biāo)系中微分法積分法微分法積分法1.4平面曲線運(yùn)動(dòng)1.4.2自然坐標(biāo)系中的加速度1.4.3圓周運(yùn)動(dòng)的角量表示如果質(zhì)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)繞定點(diǎn)作圓運(yùn)動(dòng)，描寫質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)量除了用一組參量外，為了方便還可以引入描寫圓運(yùn)動(dòng)的一組角量，為此建立平面極坐標(biāo)。參考方向質(zhì)點(diǎn)位置用（r,θ）確定1.4平面曲線運(yùn)動(dòng)參考方向1角坐標(biāo)θ——極徑r與極軸的夾角角運(yùn)動(dòng)方程2

——描述質(zhì)點(diǎn)位置的變動(dòng)逆時(shí)針為正1.4.3圓周運(yùn)動(dòng)的角量表示1.4平面曲線運(yùn)動(dòng)3角速度ω——描述位置變化快慢4角加速度β——描述ω變化規(guī)律關(guān)系微分法積分法微分法積分法1.4.3圓周運(yùn)動(dòng)的角量表示1.4平面曲線運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)的角量與線量的關(guān)系標(biāo)量關(guān)系式：1.4.3圓周運(yùn)動(dòng)的角量表示1.4平面曲線運(yùn)動(dòng)矢量關(guān)系式：01位移與角位移02速度與角速度03加速度與角加速度1.4.3圓周運(yùn)動(dòng)的角量表示1.4平面曲線運(yùn)動(dòng)1.4平面曲線運(yùn)動(dòng)例

半徑R=0.5m的飛輪繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為（的單位為rad，t的單位為s）。求t=2s時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)的角速度、角加速度及切向加速度、

法向加速度的大小。解當(dāng)t=2s時(shí)，解質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，半徑r，運(yùn)動(dòng)方程：求∴（方向：沿切向）例1.4平面曲線運(yùn)動(dòng)1.5運(yùn)動(dòng)學(xué)問題的數(shù)學(xué)求解1.5.1加速度與時(shí)間的關(guān)系作為已知條件例

質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，其加速度的變化規(guī)律為（A、為大于零的

常量）。在t=0時(shí)，位置x=A，速度v=0。求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。解先求解速度。t=0時(shí)，速度v=0。積分得t=0時(shí)，位置x=A。將v積分得x隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖，質(zhì)點(diǎn)做初相位為零的簡諧振動(dòng)。1.5運(yùn)動(dòng)學(xué)問題的數(shù)學(xué)求解1.5.2速度與位置的關(guān)系作為已知條件例

列車進(jìn)站時(shí)減速。其軌道為直線。由開始減速的位置沿軌道方向取Ox軸，

列車速度與位置的關(guān)系為v=v0e-kx（v0為初始速度，k為大于零的常數(shù)）。

求列車的加速度以及位置與時(shí)間的關(guān)系。解由v=v0e-kx分離變量得考慮從初始時(shí)刻t=0開始到某時(shí)刻t的過程。初始位置x=0，設(shè)t時(shí)刻的位置為x

按積分有

積分結(jié)果為，即，其反函數(shù)為1.5運(yùn)動(dòng)學(xué)問題的數(shù)學(xué)求解1.5.3加速度與速度的關(guān)系作為已知條件例

細(xì)胞在液體中的由靜止開始受重力作用下降。重力產(chǎn)生的加速度為g。在粘性流體中，低速運(yùn)動(dòng)物體所受的阻力產(chǎn)生與運(yùn)動(dòng)方向相反的加速度，大小與近似速度成正比。試計(jì)算細(xì)胞在液體中下降速度如何變化，最終達(dá)到怎樣的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)？解細(xì)胞豎直向下作直線運(yùn)動(dòng)。取豎直向下為正方向。設(shè)細(xì)胞的速度為v，

加速度為（g、k為常量）按加速度的定義有，分離變量得

設(shè)初始時(shí)刻為0，將此式由時(shí)間0→t積分，有結(jié)果為即，

當(dāng)時(shí)間足夠長時(shí)，速度v趨于常數(shù)，細(xì)胞無限接近于勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)1.5運(yùn)動(dòng)學(xué)問題的數(shù)學(xué)求解1.5.4加速度與位置的關(guān)系作為已知條件例

質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)，其加速度和位置的關(guān)系為（SI）質(zhì)點(diǎn)在x=0處的速度為10m/s，求質(zhì)點(diǎn)在任意坐標(biāo)x處的速度。解按，兩邊乘dx得考慮質(zhì)點(diǎn)位置由0變化到x的過程，對兩邊進(jìn)行積分有式左邊的積分等于，故得根據(jù)加速度式可知恒有a>0，因此速度恒大于零，可得運(yùn)動(dòng)學(xué)中，參考系的選取是任意的，但在不同的參考系中對同一物理過程的描述是不同的?？紤]一個(gè)參考系相對于另一個(gè)參考系平動(dòng)的情況。S系S'系t=0時(shí)O點(diǎn)與O'點(diǎn)重合研究對象：質(zhì)點(diǎn)P

S系描述的物理量是:

S'系描述的物理量是:聯(lián)系？1.6相對運(yùn)動(dòng)O′1.6相對運(yùn)動(dòng)1.6.1相對速度S系S'系O'相對于O的位置矢量O′1.6相對運(yùn)動(dòng)S系S'系設(shè)時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q

點(diǎn)1.6.1相對速度1.6相對運(yùn)動(dòng)設(shè)時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q

點(diǎn)—絕對速度（物對S系）—相對速度（物對S'系）—牽連速度（S'系對S系）矢量圖1.6.1相對速度1.6相對運(yùn)動(dòng)1.6.1相對速度例

某人騎自行車以速率v向西行駛，北風(fēng)以速率v吹來（對地面），問騎車者遇到風(fēng)速及風(fēng)向如何？解設(shè)地為參考系E，人為參考系M。風(fēng)為運(yùn)動(dòng)物體P