第六章

定積分及其應(yīng)用積分學(xué)的另一個重要概念是定積分，定積分的概念是從自然科學(xué)與經(jīng)濟學(xué)中的許多實際問題中抽象出來的，本章我們將由實際問題引入定積分的概念，并介紹它的性質(zhì)、計算方法及應(yīng)用。6.1定積分的概念及性質(zhì)6.2定積分的計算6.3定積分的應(yīng)用定積分的概念及性質(zhì)

例6-1設(shè)函數(shù)y=f(x)

在區(qū)間[a,b]

上連續(xù)，且f(x)≥0，則稱由直線x=a，x=b，y=0及曲線y=f(x)所圍成的平面圖形為曲邊梯形。其中曲線弧稱為曲邊，x軸上對應(yīng)區(qū)間[a,b]的線段稱為底邊。下面計算曲邊梯形的面積。y=f(x)Oyab

x在矩形的面積公式，矩形的高是不變的，而曲邊梯形在底邊上各點處的高f(x)

在區(qū)間[a,b]上是變動的，因此它的面積不能直接計算。但是，由于曲邊梯形的高f(x)

在區(qū)間[a,b]上是連續(xù)變化的，所以在一個很小的區(qū)間上它的變化很小，近似于不變。所以可把該曲邊梯形沿著軸方向切割成許多窄窄的長條（小曲邊梯形）。Oyabxy=f(x)

把每個小曲邊梯形近似看作一個小矩形，用小矩形面積作為小曲邊梯形面積的近似值，所有小矩形面積之和就是曲邊梯形面積的近似值。

abx

y=f(x)yO

分割越細(xì)，誤差越小。

當(dāng)所有的小矩形寬度趨于零時，這個階梯形面積的極限就成為曲邊梯形面積的精確值了。確定曲邊梯形面積的具體步驟如下：（1）分割用分點把區(qū)間[a,b]任意分成n個小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度記為。設(shè)S為曲邊梯形的面積，為第i個小曲邊梯形的面積，則（2）取近似（3）求和把n個小矩形面積相加（即階梯形面積）就得到曲邊梯形面積S的近似值在每個小區(qū)間上任取一點，以為底，為高作矩形，其面積為，則得小曲邊梯形的面積的近似值為（4）取極限取小區(qū)間長度的最大值，當(dāng)分點數(shù)n無限增大，即

趨于零時，近似的誤差趨向于零，則和式的極限就是曲邊梯形面積S的精確值，即

例6-2大型企業(yè)集團(tuán)的收益是隨時流入的，因此，這一收益可以表示為一個連續(xù)的收入流。設(shè)

p(t)為收入流在時刻

t

的變化率（單位：元/年），現(xiàn)需計算從現(xiàn)在（t0=0）到

T

年內(nèi)的總收入。在處理這一問題時，考慮到時間因素，就需要計算這一收入的現(xiàn)值。設(shè)利息是以連續(xù)復(fù)利計算，從

t0=0到

T年內(nèi)的利率為r，則計算過程如下：（1）分割用分點把區(qū)間[0,T]任意分成n個小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度記為。（2）取近似當(dāng)每個

都很小時，可以認(rèn)為收入流的變化率在上的變化不大。因此，任取，則可近似當(dāng)作

上的收入流的變化率。于是，在

上：收入

≈

收入流變化率×?xí)r間，即從現(xiàn)在

t0=0開始，這筆收入是在第

年時取得的，因此，需把這筆收入折成現(xiàn)值。所以在

上收入的現(xiàn)值為（3）求和把所有小區(qū)間上收入的現(xiàn)值相加，得到從

t0=0到

T

年該公司總收入現(xiàn)值的近似值為（4）取極限取小區(qū)間長度的最大值，當(dāng)分點數(shù)n無限增大，即

趨于零時，則和式的極限就是總收入的現(xiàn)值

R，即從上面的兩個例子可以看到，雖然問題的實際背景不同，但是解決問題的步驟都是通過“分割、取近似、求和、取極限”的方法可以把曲邊梯形的面積轉(zhuǎn)化為和式的極限，是一種先“化整為零”再“化零為整”的方法。

這就是定積分概念的實際背景，這種思想就是定積分的基本思想。定義

設(shè)函數(shù)f(x)

在區(qū)間[a,b]上有定義，在區(qū)間[a,b]上任意插入n–1個分點，將區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間，，……，記每個小區(qū)間的長度為（）。在每個小區(qū)間上任取一點（），作乘積的和式：記，如果時，和S總是趨向于確定的極限，且這個極限值與[a,b]的分割及點的取法均無關(guān)，則稱函數(shù)f(x)

在區(qū)間[a,b]上可積，此極限值稱為函數(shù)f(x)

在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作，即積分號被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和式積分下限積分上限（黎曼和）（1）定積分表示一個數(shù)，它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間[a,b]有關(guān)，而與積分變量采用什么字母無關(guān)，即

1.定積分定義的說明（2）定義中要求積分限a<

b，我們補充如下規(guī)定：當(dāng)a=

b時，；當(dāng)a>

b時，。

2.定積分的存在性（兩個充分條件）定理

設(shè)f(x)

在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積。定理

設(shè)f(x)

在區(qū)間[a,b]上有界且只有有限個間斷點，則f(x)在[a,b]上可積。Oyabxy=f(x)由定積分的定義可以知道，圖中曲邊梯形的面積為：可見，當(dāng)f(x)≥0時，由曲線y=f(x)，直線

x=a，x=b及x

軸所圍成的曲邊梯形的面積A

等于函數(shù)f(x)

在區(qū)間[a,b]上的定積分。即

3.定積分的幾何意義如果

f(x)<0，則由曲線y=f(x)，直線

x=a，x=b及x

軸所圍成的曲邊梯形位于x

軸的下方，此時曲邊梯形面積A

的負(fù)值等于函數(shù)f(x)

在區(qū)間[a,b]上的定積分，Oyabxy=f(x)即如果f(x)

在區(qū)間[a,b]上的值有正有負(fù)，則f(x)

在區(qū)間[a,b]上定積分表示由曲線y=f(x)，直線

x=a，x=b及x

軸所圍成的平面圖形的面積的代數(shù)和，即位于

x

軸上方的面積減去位于x軸下方的面積，即x

yO

y=f(x)A2A1A3

性質(zhì)1

函數(shù)的和（差）的定積分等于它們定積分的和（差），即

性質(zhì)2

被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面，即顯然，這個性質(zhì)可以推廣到有限個函數(shù)。這兩個性質(zhì)是定積分的線性性質(zhì)。

性質(zhì)3（積分區(qū)間的可加性）如果將積分區(qū)間分成兩部分，則整個區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和，即設(shè)a

<c<b，則

注：值得注意的是不論a，b，c

的相對位置如何，上面的等式總成立。

如右圖所示，a<c<b

時，等式同樣成立。

性質(zhì)4

如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≡1，則y1Oa

b

x

性質(zhì)5（積分的比較性質(zhì)）如果在區(qū)間[a,b]上f(x)≥g(x)，則yOa

b

xy

a

b

O

xyOa

b

x

性質(zhì)6（奇偶函數(shù)的定積分）如果f(x)

在區(qū)間[–a

,a]上連續(xù)且為奇函數(shù)，則如果f(x)

在區(qū)間[–a,a]上連續(xù)且為偶函數(shù)，則－aOaxy－aOaxy

性質(zhì)7（積分估值定理）設(shè)M

與m

分別是f(x)

在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值，則即

yMmOa

b

xy=f(x)

性質(zhì)8（積分中值定理）如果函數(shù)f(x)

在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則至少存在一點ξ∈[a,b]，使得這個公式稱為積分中值公式。積分中值定理的幾何意義：曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為f(ξ

)的一個矩形的面積。由積分中值公式所可得Oaxbxyf

(x)y=f(x)這個公式稱為函數(shù)f(x)

在區(qū)間[a,b]上的平均值。定積分的計算

定理如果函數(shù)f(x)

在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，而F(x)

是f(x)

的一個原函數(shù)，則有上式稱為牛頓—萊布尼茨公式，也稱為微積分基本公式。該公式常采用如下的格式：或牛頓—萊布尼茨公式是積分學(xué)中的一個基本公式，在被積函數(shù)連續(xù)的條件下，它把定積分的計算轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的計算，這就為定積分提供了一個有效而簡便的計算方法：

先求出被積函數(shù)f(x)

的任意一個原函數(shù)F(x)，然后將積分上限b、積分下限a

分別代入原函數(shù)F(x)

中，再求F(b)與F(a)之差F(b)–

F(a)，所得的結(jié)果就是定積分的值。它揭示了定積分與不定積分的內(nèi)在聯(lián)系。例6-3計算定積分解例6-4計算定積分解例6-5計算定積分解

如果被積函數(shù)是分段函數(shù)，在計算時就要注意在積分區(qū)間上保證函數(shù)表達(dá)式的唯一性。例6-6計算解例6-7計算解例6-8已知，求解由牛頓—萊布尼茨公式可知，計算連續(xù)函數(shù)的定積分最終歸結(jié)為求它的原函數(shù)。這說明連續(xù)函數(shù)的定積分計算與不定積分計算有著密切的聯(lián)系。在不定積分的計算中有換元法和分部積分法，因此在一定條件下也可以在定積分的計算中應(yīng)用。

定理設(shè)函數(shù)f(x)

在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，而函數(shù)x=φ(t)滿足下列條件：（1）x=φ(t)在[α,

β]（或[β,α]）上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；（2）φ(α)=a，φ(β)=b，且當(dāng)t

在[α,

β]（或[β,α]）上變化時，x=φ(t)的值在[a,b]上單調(diào)變化，則有換元公式：定理中的條件是為了保證兩端的被積函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，從而可積。應(yīng)用公式計算時應(yīng)注意，在做變量代換的同時必須相應(yīng)地替換積分的上限和下限，即換元必須換限。例6-9計算解設(shè)，即，則dx=2tdt；并且當(dāng)x=0時t=1，x=3時t=2，于是例6-10計算解設(shè)，即，則

；并且當(dāng)x=–1

時t=3，x=1時t=1，于是若應(yīng)用第一類換元積分法（即湊微分法）可以求出被積函數(shù)的原函數(shù)，即可直接湊微分求出原函數(shù)，然后應(yīng)用牛頓-萊布尼茨公式求出結(jié)果。這種定積分的湊微分法可以省略掉換元的步驟。例6-11計算定積分解例6-12計算定積分解

定理設(shè)函數(shù)u(x)，v(x)

在區(qū)間[a,b]有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有使用該公式時要注意，把先積出來的那一部分代上下限求值，余下的部分繼續(xù)積分。這樣做比完全把原函數(shù)求出來再代上下限簡便一些。這就是定積分的分部積分公式。例6-13計算解例6-14計算解例6-15計算解例6-16計算解設(shè)，即，則

；并且當(dāng)x=0時t=0，x=4時t=2，于是在實際問題的應(yīng)用中，還會遇到有些定積分的積分區(qū)間不是有限區(qū)間，在這樣的情況下需要對定積分的定義加以推廣，我們稱之為廣義積分。

定義設(shè)函數(shù)

f(x)

在[a,+∞)上連續(xù)，取b>a，我們把極限稱為函數(shù)

f(x)

在無限區(qū)間[a,+∞)上的廣義積分，記為若極限存在，稱此廣義積分收斂；若極限不存在，則稱廣義積分發(fā)散。類似的，設(shè)函數(shù)

f(x)

在(–∞,b]上連續(xù)，可定義

f(x)

在無限區(qū)間(–∞,b]上的廣義積分為設(shè)函數(shù)

f(x)

在(–∞,+∞)上連續(xù)，可定義

f(x)

在無限區(qū)間(–∞,+∞)上的廣義積分為其中c

為任意實數(shù)，當(dāng)右端兩個廣義積分都收斂時，廣義積分才是收斂的，否則是發(fā)散的。

按照無窮區(qū)間的廣義積分定義，應(yīng)先求定積分，再求極限。因此，可以把微積分基本公式用到廣義積分的計算中：

若

F(x)

是

f(x)的一個原函數(shù)，則有例6-17計算廣義積分解

y1O

xy=e–x

該廣義積分值的幾何意義是：

當(dāng)b→+∞時，雖然圖中陰影部分是向右無限延伸的，但是其面積卻是有限值1，即表示位于y軸右側(cè)、曲線y=e–x

的下方、x軸上方的圖形面積。例6-18討論廣義積分的斂散性。解由于不存在，所以此廣義積分發(fā)散。例6-19計算廣義積分解定積分的應(yīng)用1.用定積分計算的量的特點（1）實際問題中的所求量（設(shè)為F）與一個給定區(qū)間[a,b]有關(guān)，且在該區(qū)間上具有可加性。即F

是確定于[a

,b]上的整體量，當(dāng)把[a,b]分成許多小區(qū)間時，整體量等于各部分量之和，即（2）所求量F

在區(qū)間[a,b]上的分布是不均勻的，也就是說，

F

的值與區(qū)間[a

,b]的長不成正比（否則的話，F(xiàn)使用初等方法即可求得，而勿需用積分方法了）。用定積分概念解決實際問題的四個步驟：第一步：將所求量F

分為部分量之和，即：第三步：寫出整體量F

的近似值：第二步：求出每個部分量的近似值：第四步：取時和式的極限，得：2.定積分應(yīng)用的微元法（1）若所求量F

與變量x

的變化區(qū)間[a,b]有關(guān)，且關(guān)于區(qū)間[a

,b]具有可加性，在[a,b]上任取一個小區(qū)間[x

,x+dx]，然后找出在這個小區(qū)間上的部分量ΔF

的近似值，記為（2）將微元dF

在區(qū)間[a,b]上積分（無限累加），即得到所求量的積分表達(dá)式這種方法叫做微元法，dF=f(x)dx稱為F

的微元。yOabx在平面直角坐標(biāo)系下，設(shè)圖形由兩條曲線y=f1(x)、y=f2(x)（其中f1(x)

和

f2(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且f1(x)≤f2(x)）及直線

x=a、x=b所圍成，求它的面積

A。y=f1(x)y=f2(x)根據(jù)定積分的微元法，取x

為積分變量，可得面積微元

于是

y

d

c

O

xx=j2(y)x=j1(y)類似的，求由兩條曲線x=j1(y)、x=j2(y)（其中j1(y)

和

j2(y)在區(qū)間[c,d]上連續(xù)且j1(y)≤j2(y)）及直線

y=c、y=d所圍成的面積

A。于是根據(jù)定積分的微元法，取y

為積分變量，可得面積微元

例6-20求由直線和拋物線所圍成的圖形面積。解先畫出圖形簡圖再解方程組取x

為積分變量，x

的變化范圍為[–1,3]，則得交點坐標(biāo)(–1,1)及(3,9)。y–1O3x例6-29求由拋物線和直線所圍成的圖形面積。解解方程組取y

為積分變量，y

的變化范圍為[–2,4]，則，得交點坐標(biāo)(2,–2)及(8,4)。若取x

為積分變量，那么x

的變化范圍是否為[2,8]？y=x

–4

y4–2O248xx=y+4y

2=2x畫出簡圖1.已知邊際函數(shù)求總函數(shù)例6-22某工廠生產(chǎn)的某產(chǎn)品總產(chǎn)量的變化率是q(t)=40+12t（單位／小時），求從

t=2到t=10這個時間段內(nèi)的總產(chǎn)量。解

由題意可知，積分變量是時間t，積分區(qū)間顯然是

[2,10]。在區(qū)間

[2,10]上任取一個小區(qū)間

[t,t+dt]，與它相應(yīng)的產(chǎn)品產(chǎn)量近似等于產(chǎn)量變化率

q(t)

與時間間隔

dt

的乘積，因此得產(chǎn)量微元因此，所求時間段內(nèi)的總產(chǎn)量為即從

t=2到t=10這個時間段內(nèi)的總產(chǎn)量為896單位。類似的，利用定積分的微元法可以得出一些常用的公式：（1）已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量的變化率

q(t)，則從時間從

t=a

到t=b（a<b）

該產(chǎn)品的總產(chǎn)量為：（2）已知某產(chǎn)品的邊際成本

，則產(chǎn)量

x

從a

到

b所需的總成本為：（4）已知某產(chǎn)品的邊際利潤

，則產(chǎn)量

x

從a

到

b的總利潤為：（3）已知某產(chǎn)品的邊際收益

，則銷售

N個單位的產(chǎn)品的總收益為：例6-23已知生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為

（元），固定成本為

C(0)=10000（元），求生產(chǎn)

100

件產(chǎn)品的總成本。解

由題意，積分變量是x，積分區(qū)間是

[0,100]，因此即生產(chǎn)100件產(chǎn)品的總成本為95萬元。（元）例6-24設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為

（元），固定成本為1000元，產(chǎn)品單價為500元