第01講導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情研究 202知識梳理· 303探究核心考點(diǎn) 4考點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)的定義及變化率問題 6考點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 9考點(diǎn)三：在點(diǎn)P處的切線 11考點(diǎn)四：過點(diǎn)P的切線 13考點(diǎn)五：公切線問題 15考點(diǎn)六：已知切線或切點(diǎn)求參數(shù)問題 19考點(diǎn)七：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值問題 29三階突破訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練· 51能力提升 54真題感知 55一、5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析考情分析2025年I卷第12題，5分2024年甲卷第6題，5分2024年I卷第13題，5分2023年甲卷第8題，5分2022年I卷第15題，5分2021年甲卷第13題，5分2021年I卷第7題，5分（1）導(dǎo)數(shù)的定義（2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（3）導(dǎo)數(shù)的幾何意義高考對本節(jié)內(nèi)容的考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的計算、四則運(yùn)算法則的應(yīng)用和求切線方程為主．二、課標(biāo)要求了解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.通過函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)（限于形如f(ax三、知識導(dǎo)圖（一）導(dǎo)數(shù)的概念（1）函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)：如果當(dāng)Δx→0時，平均變化率ΔyΔx無限趨近于一個①________，即ΔyΔx有極限,則稱y=f(x)在x=x0處可導(dǎo)，并把這個②________叫做y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)（也稱為瞬時變化率）,記作f'(x0)或y'|x=x0,即f'(x0)=limΔx→0ΔyΔx=③___提醒f'(x0)代表函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)值;(f（2）導(dǎo)函數(shù)：當(dāng)x變化時，y=f'(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y=f（3）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,【答案】（1）確定的值；確定的值；limΔ（二）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)f(x)=f'(x)=⑤_f(x)=f'(x)=⑥_______f(f'(x)=⑦_(dá)______f(f'(x)=⑧_________f(f'(x)=⑨_____f(x)=f'(x)=⑩___________f(f'(x)=?_____f(x)=f'(x)=?_________【答案】0；αxα-1；cosx；-sinx；ex；（三）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（1）[f(x)±g(x)]'=?_____________（2）[f(x)g(x)]'=?_____________________（3）[f(x)g(x)]'=?_____________________________（4）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：一般地，對于由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y=f(g(x)),它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為【答案】f'(x)±g'(x)；（四）解題方法總結(jié)1.在點(diǎn)的切線方程切線方程的計算：函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．2.過點(diǎn)的切線方程設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過切點(diǎn)的切線方程為：，又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外．3.高考?？嫉那芯€方程（1）是的切線，同時是的切線，也是和的切線.（2）是的切線，是y=tanx的切線.（3）是的切線，是的切線.考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的定義及變化率問題典例1．（2025·上?！て谥校┫铝忻}正確的是（

）A．平均變化率:就是圖象上兩點(diǎn)連線的斜率B．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)越小，函數(shù)的變化越慢，函數(shù)的圖象就越“平緩”C．若某質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的位移(單位:米)與時間(單位:秒)之間的函數(shù)關(guān)系為，則該質(zhì)點(diǎn)在秒時的瞬時速度為米/秒D．已知函數(shù)在上可導(dǎo)，若，則【答案】A【解析】A.根據(jù)平均變化率的定義，對于函數(shù)，在區(qū)間上的平均變化率，從幾何意義上講，就是函數(shù)圖象上兩點(diǎn)連線的斜率，故A正確；B.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線的斜率，反映函數(shù)的變化快慢，應(yīng)該是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的絕對值越小，說明函數(shù)在某點(diǎn)處切線斜率的絕對值越小，即函數(shù)的變化越慢，函數(shù)的圖象就越平緩，故B錯誤；C.，，所以該質(zhì)點(diǎn)在秒時的瞬時速度為米/秒，故C錯誤；D.已知函數(shù)在上可導(dǎo)，若，即，所以，故D錯誤.故選：A典例2．（2025·江西南昌·期中）有一個寬為20厘米，高為60厘米的長方體容器如圖所示，右側(cè)面是一個活塞，容器中裝有2000毫升的水，活塞的初始位置（距左側(cè)面）為5厘米，水面高度為20厘米．當(dāng)活塞位于距左側(cè)面x厘米的位置時，水面高度為y厘米，則當(dāng)時，水面高度y的瞬時變化率為（

）A． B． C．5 D．【答案】B【解析】根據(jù)水的體積可得：，即，則，令，可得，所以水面高度y的瞬時變化率為.故選：B.【方法技巧】1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo).2.抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進(jìn)行換元.4.對解析式形如f(x)＝f'(x0)g(x)＋h(x)(x0為常數(shù))的函數(shù)求值問題，解題思路：先求導(dǎo)數(shù)f'(x)，然后令x＝x0，解關(guān)于f'(x0)的方程，即可得到f'(x0)的值，進(jìn)而得到f(x)，f'(x)再進(jìn)行求解.跟蹤訓(xùn)練1（2025·江蘇南通·期末）已知函數(shù)則式子表示（

）A．在處的導(dǎo)數(shù)B．在處的導(dǎo)數(shù)C．在上的平均變化率D．在上的平均變化率【答案】C【解析】因?yàn)樗员硎驹谏系钠骄兓?故選：C.跟蹤訓(xùn)練2．（2025·重慶·二模）（多選題）英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家凱恩斯（1883-1946）研究了國民收入支配與國家經(jīng)濟(jì)發(fā)展之間的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)政府對市場經(jīng)濟(jì)的干預(yù)，并形成了現(xiàn)代西方經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個重要學(xué)派一凱恩斯學(xué)派.機(jī)恩斯抽象出三個核心要素：國民收入，國民消費(fèi)和國民投資，假設(shè)國民收入不是用于消費(fèi)就是用于投資，就有：.其中常數(shù)表示房租?水電等固定消費(fèi)，為國民“邊際消費(fèi)傾向”.則（

）A．若固定且，則國民收入越高，“邊際消費(fèi)傾向”越大B．若固定且，則“邊際消費(fèi)傾向”越大，國民投資越高C．若，則收入增長量是投資增長量的5倍D．若，則收入增長量是投資增長量的【答案】AC【解析】由題意可得固定且，又，所以，所以，由于為定值，所以可得增大時(國民收入越高)，增大(“邊際消費(fèi)傾向”越大)，故A正確；由上可得，為定值，故增大，減小(投資越小)，故B錯誤；若，由，可得，由導(dǎo)數(shù)的定義可得，所以可得收入增長量是投資增長量的倍，故C正確；同C項(xiàng)討論可得若，可得，因此收入增長量是投資增長量的倍，故D錯誤.故選：AC.考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算典例1．下列求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算中正確的是（）A.(x2ex)'=2xex【答案】C【解析】選C.對于A，(x2ex對于B，(x)'=(x1對于C，[ln(2x-1)]'=2對于D，(2x+a)'=典例2．若定義域都為R的函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，滿足對任意實(shí)數(shù)x都有，則．【答案】2024【解析】對，兩邊同時求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)得，則，，，，從而．故答案為：2025【方法技巧】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo).（2）抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.（3）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進(jìn)行換元.跟蹤訓(xùn)練1（2025·湖北·期中）下列不等式不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.對于A，因?yàn)?，所以，即，所以，故A正確；對于B，因?yàn)?，所以，即，所以，故B正確；對于C，設(shè)函數(shù)，則，等于0不恒成立，故是R上的增函數(shù)，因?yàn)?，所以，即，故C正確；對于D，設(shè)函數(shù)，則，等于0不恒成立，故是R上的增函數(shù)，因?yàn)椋?，即，故D錯誤.故選：D.跟蹤訓(xùn)練2（2025·陜西咸陽·三模）英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時，．該公式也稱為麥克勞林公式．根據(jù)該公式估算的值為（）（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）注：表示的2階導(dǎo)數(shù)，即為的導(dǎo)數(shù)，表示的階導(dǎo)數(shù)，即為的導(dǎo)數(shù)．表示的階乘，即．A．0.85 B．0.88 C．0.91 D．0.95【答案】C【解析】在處n階可導(dǎo)，求出，令，故選：C.考點(diǎn)三在點(diǎn)P處的切線典例1．（2025·四川成都·一模）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所?所以，而.所以切線方程為，即.故選：C.典例2.（2025·深圳模擬）已知函數(shù)f(x)=ex,x≤0,lnx,x>0,過原點(diǎn)O(0,0)作曲線y=f(x【答案】x【解析】當(dāng)x≤0時，函數(shù)f(x)=ex，可得f'(x)=ex.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為Q(x0,ex0)，則f'(x0)=ex0，所以切線方程為y-ex0=ex0(x-x0)，因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)O(0,0)，所以-ex0=-x0e【方法技巧】函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．易錯點(diǎn)研究曲線的切線方程問題,分清“在某點(diǎn)處”與“過某點(diǎn)處”是關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練1（2025·四川巴中·三模）已知函數(shù)，若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.【答案】【解析】求導(dǎo)得，則，又，所以切線方程為，整理得.故答案為：跟蹤訓(xùn)練2（2025·山東聊城·二模）過函數(shù)圖像上一點(diǎn)，垂直于函數(shù)在該點(diǎn)處的切線的直線，稱為函數(shù)在該點(diǎn)處的“法線”．若一條直線同時是兩個函數(shù)的法線，該直線稱為兩個函數(shù)的“公法線”．函數(shù)與函數(shù)的“公法線”方程為．【答案】【解析】由求得，，則法線斜率為，則在處的法線方程為，由求導(dǎo)得，則法線斜率為，則在處的法線方程為，由“公法線”得，，，解得，所以“公法線”方程為，故答案為：．考點(diǎn)四過點(diǎn)P的切線典例1.(2025·山東濟(jì)南·模擬)設(shè)x0＞1，曲線f(x)＝alnx－3x＋2a(a≠0)在點(diǎn)P(x0，0)處的切線經(jīng)過點(diǎn)(0，2e)，則alnx0＝()A.0B.1C.eD.2e【答案】C【解析】(1)由題意得f(x0)＝0，即alnx0－3x0＋2a＝0①，又f'(x)＝ax－3，所以切線斜率k＝ax0－3，故在點(diǎn)P(x0，0)處的切線方程為y＝ax0－3(x－x0)，將(0，2e)代入得2e＝－a＋3x0②，聯(lián)立①②解得a＝x0＝典例2．過點(diǎn)作直線l與函數(shù)的圖象相切，則（

）A．若P與原點(diǎn)重合，則l方程為B．若l與直線垂直，則C．若點(diǎn)P在的圖象上，則符合條件的l只有1條D．若符合條件的l有3條，則【答案】AD【解析】設(shè)l與的圖象切于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時，切線斜率，整理得：，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，切線斜率，對于A，若P與原點(diǎn)重合，點(diǎn)在函數(shù)圖象上，則，此時，，l即x軸，方程為，A正確；對于B，若l與直線垂直，則，，當(dāng)點(diǎn)為切點(diǎn)時，或，當(dāng)點(diǎn)不為切點(diǎn)時，滿足，整理得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，B錯誤；對于C，當(dāng)點(diǎn)P在的圖象上時，，，則，即，所以或，故有兩解，符合條件的直線有兩條，C錯誤；對于D，若符合條件的l有3條，則點(diǎn)不在圖象上，設(shè)l與的圖象切于點(diǎn)，則有，設(shè)，，由得或，符合條件的l有3條，有3個零點(diǎn)，則，所以，，，D正確.故選：AD．【方法技巧】設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過切點(diǎn)的切線方程為：，又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)，所以然后解出的值．跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)，過原點(diǎn)作曲線的切線，則切線的斜率為．【答案】【解析】根據(jù)題意得，，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以切線的方程為，將點(diǎn)代入，可得，整理得，故，解得，故，即切線的斜率為．故答案為：.跟蹤訓(xùn)練2若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，切線斜率，在點(diǎn)處的切線方程為：；切線過點(diǎn)，，過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，令，則與有兩個不同交點(diǎn)，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時，若，則；若，則；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，即，又，.故選：C.考點(diǎn)五兩條曲線的公切線問題典例1．（2025·江西·階段考）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有公切線，且直線與直線互相垂直，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】由題知，，令，又，解得，因?yàn)椋郧芯€的方程為.，設(shè)函數(shù)與直線切于點(diǎn)，所以，故，即，，解得或.故選：D典例2．（2025·浙江·一模）在動畫和游戲開發(fā)中，相切的曲線可生成平滑的角色路徑和物體表面.若兩條曲線在公共點(diǎn)處有相同的切線，且曲線不重合，則稱兩條曲線相切.設(shè)兩拋物線與相切，則.【答案】【解析】由題意可知，兩拋物線與只可能在第一象限相切；設(shè)兩個拋物線相切于，在該點(diǎn)處的切線的斜率為，拋物線在第一象限的圖象為函數(shù)在第一象限的圖象,函數(shù)在該點(diǎn)處的切線的斜率為：，所以有，解方程得：，所以切點(diǎn)為代入，解得.故答案為：【方法技巧】公切線問題應(yīng)根據(jù)兩個函數(shù)在切點(diǎn)處的斜率相等，并且切點(diǎn)不但在切線上而且在曲線上，羅列出有關(guān)切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程組，通過解方程組進(jìn)行求解．跟蹤訓(xùn)練1若曲線與曲線有兩條公切線，則的值為．【答案】【詳解】令，，則，，設(shè)，則曲線在處切線為，設(shè)，則曲線在處切線為，由題意，消去得，由題意，方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取極大值；當(dāng)時，取極小值，又當(dāng)時，根據(jù)以上信息作出的大致圖象，

由圖可知當(dāng)，即時，直線與的圖象有兩個交點(diǎn)，從而方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，所以，曲線與曲線有兩條公切線時，的值為．故答案為：．跟蹤訓(xùn)練2若直線與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，因?yàn)橹本€與曲線相切于點(diǎn)，設(shè)，，且直線過定點(diǎn)，則，且，所以，設(shè)，則，則，且直線過定點(diǎn)，則，所以，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，則，且，當(dāng)時，，且，所以當(dāng)時，，因?yàn)?，，即，所以，，所以，?故選：A.考點(diǎn)六已知切線或切點(diǎn)求參數(shù)問題典例1．已知二次函數(shù)（且）的圖象與曲線交于點(diǎn)P，與x軸交于點(diǎn)A（異于點(diǎn)O），若曲線在點(diǎn)P處的切線為l，且l與AP垂直，則a的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】易知，設(shè)，聯(lián)立與可得，故，由得，所以，，因?yàn)?，所以，即，又，所?故選：B.典例2．（2025·河北保定·一模）（多選題）已知曲線，則（

）A．直線與曲線相切B．若直線與曲線相切，則C．當(dāng)曲線與曲線都相切時，D．當(dāng)時，若過原點(diǎn)可作曲線的兩條切線，則或【答案】ACD【解析】選項(xiàng)A：聯(lián)立和2，得，所以直線與曲線相切，故A正確；選項(xiàng)B：由，得，由，得，故B錯誤；選項(xiàng)C：由，得，令，得，則，所以切線方程為，即，則，令，得，則，所以切線方程為，即，則，所以，故C正確；選項(xiàng)D：當(dāng)時，，令，則，設(shè)過原點(diǎn)的直線與曲線切于點(diǎn)，則切線方程為，將原點(diǎn)代入得，整理得，則，解得或，故D正確.故選：ACD.【方法技巧】已知切線或切點(diǎn)求參數(shù)問題，核心是根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程：①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在曲線上；③切點(diǎn)在切線上．跟蹤訓(xùn)練1已知直線與曲線相切，則的值為．【答案】2【解析】設(shè)切點(diǎn)為，由求導(dǎo)得，依題意可得：，由②得代入③，得，代入①，得，故.故答案為：2.跟蹤訓(xùn)練2若直線與曲線相切，則的最小值為（

）A． B．－2 C．－1 D．0【答案】C【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為．由已知，得，則，解得．又切點(diǎn)在切線與曲線上，所以，所以．令，則．令，解得．當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減．所以，即，所以，則的最小值為－1．故選：C．考點(diǎn)七利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值問題典例1．（2025·四川·模擬）若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】過點(diǎn)作曲線的切線，當(dāng)切線與直線平行時，點(diǎn)到直線距離的最小.設(shè)切點(diǎn)為，，所以，切線斜率為，由題知得或（舍），所以，，此時點(diǎn)到直線距離.故選：C典例2．（2025·福建·三模）曲線在點(diǎn)處切線斜率的取值范圍為，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，所以，即，令，當(dāng)時，單調(diào)增，當(dāng)時，單調(diào)減，又，當(dāng)時，，故的解集為，故選：D.【方法技巧】已知切線或切點(diǎn)求參數(shù)問題，核心是根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程：①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在曲線上；③切點(diǎn)在切線上．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決，常用方法平移切線法.跟蹤訓(xùn)練1已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】D【解析】對求導(dǎo)得，由得，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．故選：D．跟蹤訓(xùn)練2設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】與互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線對稱先求出曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離．設(shè)與直線平行且與曲線相切的切點(diǎn)，．，，解得．．得到切點(diǎn)，點(diǎn)P到直線的距離．最小值為．故選：B．1.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，則的值為（

）A． B．C． D．0【答案】B【解析】由題意知，.故選：B2.(2025·山東濟(jì)南模擬)設(shè)x0＞1，曲線f(x)＝alnx－3x＋2a(a≠0)在點(diǎn)P(x0，0)處的切線經(jīng)過點(diǎn)(0，2e)，則alnx0＝()A.0 B.1 C.e D.2e【答案】C【解析】(1)由題意得f(x0)＝0，即alnx0－3x0＋2a＝0①，又f'(x)＝ax－3，所以切線斜率k＝ax0－3，故在點(diǎn)P(x0，0)處的切線方程為y＝ax0－3(x－x0)，將(0，2e)代入得2e＝－a＋3x0②，聯(lián)立①②解得a＝x0＝3.(2025·陜西榆林模擬)已知函數(shù)f(x)＝alnx＋x2的圖象在x＝1處的切線方程為3x－y＋b＝0，則a＋b＝()A.－2 B.－1 C.0 D.1【答案】B【解析】(1)因?yàn)閒(x)＝alnx＋x2，所以f'(x)＝ax＋2x.又f(x)的圖象在x＝1處的切線方程為3x－y＋b＝0，所以f'(1)＝a＋2＝3，解得a＝1，則f(x)＝lnx＋x2，所以f(1)＝1，將點(diǎn)(1，1)代入切線方程得3－1＋b＝0，解得b＝－2，故a＋b＝－1.4．（2025·江蘇·模擬）貝塞爾曲線（Beziercurve）是應(yīng)用于二維圖形應(yīng)用程序的數(shù)學(xué)曲線，一般的矢量圖形軟件通過它來精確畫出曲線.三次函數(shù)的圖象是可由，，，四點(diǎn)確定的貝塞爾曲線，其中，在的圖象上，在點(diǎn)，處的切線分別過點(diǎn)，.若，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，由題意，解得，所以.故選：C.5．（2025·河北·一模）如果方程能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù)．隱函數(shù)的求導(dǎo)方法如下：在方程中，把y看成x的函數(shù)，則方程可看成關(guān)于x的恒等式，在等式兩邊同時對x求導(dǎo)，然后解出即可．例如，求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將方程的兩邊同時對x求導(dǎo)，則（是中間變量，需要用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則），得．那么曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由給定定義得，對左右兩側(cè)同時求導(dǎo)，可得，將點(diǎn)代入，得，解得，故切線斜率為，得到切線方程為，化簡得方程為，故B正確.故選：B6．（2025·河南·模擬）下列條件是“過點(diǎn)可以作兩條與曲線相切的直線”的充分條件的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題知點(diǎn)在直線上運(yùn)動,與的交點(diǎn)為,由圖像可知.要使過點(diǎn)有兩條與曲線相切的直線,則點(diǎn)只需要在點(diǎn)的右側(cè)結(jié)合選項(xiàng)可知為其充分條件故選:C.7．（2025·河南·開學(xué)考試）直線與曲線相切的一個充分不必要條件為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意設(shè)，則，設(shè)直線與曲線相切的切點(diǎn)為，則，所以，所以，所以.對比選項(xiàng)可知直線與曲線相切的一個充分不必要條件為.故選：B.8．（2025·上?！ひ荒＃┮阎獟佄锞€，動點(diǎn)A自原點(diǎn)出發(fā)，沿著軸正方向向上勻速運(yùn)動，速度大小為.過A作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，再過作軸的垂線交軸于點(diǎn).當(dāng)A運(yùn)動至?xí)r，點(diǎn)的瞬時速度的大小為.【答案】【解析】不妨取點(diǎn)B為第一象限的點(diǎn)，則點(diǎn)C位于x軸正半軸，由可得：，，當(dāng)當(dāng)A運(yùn)動至?xí)r，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為100，將其代入上式，，即點(diǎn)的瞬時速度的大小為.故答案為：9．（2025·寧夏·模擬）我國魏晉時期的科學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，實(shí)施“以直代曲”的近似計算，用正邊形進(jìn)行“內(nèi)外夾逼”的辦法求出了圓周率π的精度較高的近似值，這是我國最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科學(xué)文化之一﹣．借用“以直代曲”的近似計算方法，在切點(diǎn)附近，可以用函數(shù)圖象的切線近似代替在切點(diǎn)附近的曲線來近似計算.設(shè)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，用此結(jié)論計算．【答案】【解析】函數(shù)，則，∴，故切線為．∴，根據(jù)以直代曲，也非常接近切點(diǎn)．所以可以將代入切線近似代替，即．故答案為：，．10．（2025·福建·模擬）某地在20年間經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量增長，GDP的值（單位，億元）與時間（單位：年）之間的關(guān)系為，其中為時的值.假定，那么在時，GDP增長的速度大約是.（單位：億元/年，精確到0.01億元/年）注：，當(dāng)取很小的正數(shù)時，【答案】0.52【解析】由題可知，所以，所以,即GDP增長的速度大約是.故答案為：.1．（2025·長春·模擬）人們很早以前就開始探索高次方程的數(shù)值求解問題．牛頓（IssacNewton，1643-1727）在《流數(shù)法》一書中給出了牛頓法-用“作切線”的方法求方程的近似解．如圖，方程的根就是函數(shù)的零點(diǎn)，取初始值處的切線與x軸的交點(diǎn)為，在的切線與x軸的交點(diǎn)為，一直這樣下去，得到，，…，，它們越來越接近．若，，則用牛頓法得到的的近似值約為（）A．1.438 B．1.417 C．1.416 D．1.375【答案】B【解析】，，，在點(diǎn)的切線方程為，令解得，，，在點(diǎn)的切線方程為，令解得.故選：B2．（2025·安徽·模擬）設(shè)函數(shù)，則下列四個結(jié)論中正確的是（

）①函數(shù)是偶函數(shù)；②曲線在處的切線方程為；③當(dāng)時，單調(diào)遞減；④關(guān)于的方程在只有兩個實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.A．①② B．①②④ C．①③④ D．③④【答案】A【解析】對①，因?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，所以①正確；對②，，，，故曲線在處的切線方程為，所以②正確；對③，時，，單調(diào)遞減，所以③錯誤；對④，000011由上表作出時的圖象如下：則，所以④錯誤.故選：A3．（2025·山西·模擬）牛頓切線法是牛頓在十七世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的方法．比如求解方程，先令，然后對的圖象持續(xù)實(shí)施下面的步驟：第一步，在點(diǎn)處作曲線的切線，交x軸于；第二步，在點(diǎn)處作曲線的切線，交x軸于；第三步，在點(diǎn)處作曲線的切線，交x軸于；……利用該方法可得方程近似解（保留三位有效數(shù)字）是（

）A．0.313 B．0.314 C．0.315 D．0.316【答案】B【解析】所以在處的切線方程，則；同理，在處的切線方程，令，得，又，在處的切線方程，令，得．故選：B．4．（2025·河北·模擬）如果方程能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù)．隱函數(shù)的求導(dǎo)方法如下：在方程中，把y看成x的函數(shù)，則方程可看成關(guān)于x的恒等式，在等式兩邊同時對x求導(dǎo)，然后解出即可．例如，求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將方程的兩邊同時對x求導(dǎo)，則（是中間變量，需要用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則），得．那么曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由給定定義得，對左右兩側(cè)同時求導(dǎo)，可得，將點(diǎn)代入，得，解得，故切線斜率為，得到切線方程為，化簡得方程為，故B正確.故選：B5．（2025·黑龍江·模擬）已知條件為“對，有”，實(shí)數(shù)在區(qū)間上變化時，滿足條件的實(shí)數(shù)最大值與最小值之積為與實(shí)數(shù)有關(guān)的函數(shù)，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】問題轉(zhuǎn)化為，為過點(diǎn)且在函數(shù)下方的直線斜率，過點(diǎn)作的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為，則有：，解得，設(shè)兩個切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，，則有，，而的最大值和最小值分別為和，所以，而，則.故選：C.6．（2025·江蘇·期末）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法一牛頓法.首先，設(shè)定一個起始點(diǎn)，如圖，在處作圖象的切線，切線與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)記作：用替代重復(fù)上面的過程可得；一直繼續(xù)下去，可得到一系列的數(shù)，，，…，，…在一定精確度下，用四舍五入法取值，當(dāng)，近似值相等時，該值即作為函數(shù)的一個零點(diǎn).若要求的近似值(精確到0.1)，我們可以先構(gòu)造函數(shù)，再用“牛頓法”求得零點(diǎn)的近似值，即為的近似值，則下列說法正確的是（

）A．對任意，B．若，且，則對任意，C．當(dāng)時，需要作2條切線即可確定的值D．無論在上取任何有理數(shù)都有【答案】BCD【解析】A，因?yàn)?，則，設(shè)，則切線方程為，切線與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，所以，故A錯誤；B，處的切線方程為，所以與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，故B正確；C，因?yàn)?，，所以兩條切線可以確定的值，故C正確；D，由選項(xiàng)C可知，，所以無論在上取任何有理數(shù)都有，故D正確.故選：BCD7．（2025·河南·模擬）已知是函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，函數(shù)滿足，則坐標(biāo)原點(diǎn)到曲線在點(diǎn)處的切線的距離為.【答案】【解析】，因?yàn)?，所以，解得，故，故在處的切線方程為，故坐標(biāo)原點(diǎn)到曲線在點(diǎn)處的切線的距離為.故答案為：.8．（2025·重慶·模擬）已知，過函數(shù)與函數(shù)的公共點(diǎn)作的切線，若存在一條經(jīng)過原點(diǎn)，則．【答案】1【解析】設(shè)與的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為，且過作的切線過原點(diǎn)，則，即，，，則，所以過上一點(diǎn)的切線為，由該切線過原點(diǎn)及得，，所以，解得，因?yàn)?，所以，又，所以，則，故答案為：1．9．（2025·浙江·一模）在動畫和游戲開發(fā)中，相切的曲線可生成平滑的角色路徑和物體表面.若兩條曲線在公共點(diǎn)處有相同的切線，且曲線不重合，則稱兩條曲線相切.設(shè)兩拋物線與相切，則.【答案】【解析】由題意可知，兩拋物線與只可能在第一象限相切；設(shè)兩個拋物線相切于，在該點(diǎn)處的切線的斜率為，拋物線在第一象限的圖象為函數(shù)在第一象限的圖象,函數(shù)在該點(diǎn)處的切線的斜率為：，所以有，解方程得：，所以切點(diǎn)為代入，解得.故答案為：10．（2025·遼寧·模擬）已知點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【解析】易知點(diǎn)在函數(shù)上,設(shè),化簡得,即則點(diǎn)在以為圓心,半徑為1的圓周上,如圖所示,可知兩點(diǎn)間的最小值,即為點(diǎn)到圓心得最小值減去半徑即可.設(shè)圓心為,可知,設(shè)函數(shù),求導(dǎo)得易知為單調(diào)增函數(shù),且,所以當(dāng)時，,在單調(diào)遞減,當(dāng)時，,在單調(diào)遞增,在上有最小值,最小值,所以的最小值為.故答案為:.1．（2021·新高考1卷·7題）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在曲線上任取一點(diǎn)，對函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得，令，則.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點(diǎn)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)時，直線與曲線的圖象有兩個交點(diǎn).故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)