11.1問題的提出經(jīng)典控制理論中用傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的輸入輸出特性，輸出量即被控量，只要系統(tǒng)是因果系統(tǒng)并且是穩(wěn)定的，輸出量

便可以受控，且輸出量總是可以被測量的，因而不需要提出能

控性和能觀測性的概念。現(xiàn)代控制理論是建立在用狀態(tài)空間法描述系統(tǒng)的基礎(chǔ)上的。狀態(tài)方程描述輸入u(t)引起狀態(tài)x(t)變化的過程；輸出方程描述由狀態(tài)變化所引起的輸出y(t)的變化。能控性和能觀測性可以定性地描述輸入u(t)對狀態(tài)x(t)的控制能力、輸出y(t)

對狀態(tài)x(t)的反映能力。狀態(tài)空間表達式是對系統(tǒng)的一種完全的描述，判別系統(tǒng)的能控性和能觀測性的主要依據(jù)就是狀態(tài)空間表達式。例11-1根據(jù)以下狀態(tài)空間表達式，說明系統(tǒng)的能控性和能觀測性。(1)(2)(3)從狀態(tài)方程來看，輸入u不能控制狀態(tài)變量x?,

所以狀態(tài)變量x?是不能控的；從輸出方程看，輸出y不能反映狀態(tài)變量x?,

所以狀態(tài)變量x?

是不能觀測的。即狀態(tài)變量x?

不能控、能觀測；狀態(tài)變量x?

能控、不能觀測。解(1)狀態(tài)空間表達式寫成方程組形式為由于狀態(tài)變量x?、x?

都受控于輸入u,所以系統(tǒng)是能控的；輸出y

能反映狀態(tài)變量x?,

又能反映狀態(tài)變量x?

的變化，所以系

統(tǒng)是能觀測的。即狀態(tài)變量x?

能控、能觀測；狀態(tài)變量x?

能

控、能觀測。(2)狀態(tài)空間表達式寫成方程組形式為從狀態(tài)方程看，輸入u能對狀態(tài)變量x?

、x?施加影響，似乎該系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量都是能控的；從輸出方程看，輸出y能反映狀態(tài)變量x?

、x?的變化，似乎系統(tǒng)是能觀測的。實際上，這個系統(tǒng)的兩個狀態(tài)變量既不是完全能控的，也不是完全能觀測的。要解釋和說明這一情況，就必須首先弄清楚能控性

和能觀測性的嚴格定義及判別方法。(3)狀態(tài)空間表達式寫成方程組形式為式中，x(t)

為n維狀態(tài)向量；u(t)為r

維輸入向量；y(t)

為

m

維輸出向量；A(t)為n×n

系統(tǒng)矩陣；B(t)為n×r

輸入矩陣；C(t)為m×n輸出矩陣。11.2.1時變系統(tǒng)的能控性1.能控性的概念設(shè)線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為11.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性(11-1)1)狀態(tài)能控性如果施加一個無約束的控制信號u(t),在有限的時間t>t?

內(nèi)，能將系統(tǒng)的任意一個非零初始狀態(tài)x(t?)轉(zhuǎn)移到任一終止?fàn)?/p>

態(tài)x(t),則稱該系統(tǒng)的狀態(tài)變量x(t)在t=t?

時為狀態(tài)能控的。否

則，系統(tǒng)就是不完全能控的或簡稱不能控的。2)輸出能控性輸出能控性是指系統(tǒng)的輸入能否控制系統(tǒng)的輸出。若系統(tǒng)存在一個輸入信號u(t),在有限的時間t>t?

內(nèi)，能將輸出量y(t)=0轉(zhuǎn)移到任意給定的輸出y(t)=y,則稱系統(tǒng)在時刻t?

是輸出能控的。2.線性時變系統(tǒng)的能控性判據(jù)1)Gram(格拉姆)矩陣線性時變系統(tǒng)x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t),在時間區(qū)間[t?,t;]內(nèi)，狀態(tài)完全能控的充要條件是格拉姆矩陣為非奇異矩陣。其中，Φ(to,t)為時變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。線性時變系統(tǒng)x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)在

t。時刻狀態(tài)完全能控的另一個充要條件為：矩陣Φ(to,t)B

(t)是行線性無關(guān)的。上述判據(jù)雖然能判斷系統(tǒng)是否狀態(tài)能控，但是在應(yīng)用時，需要計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，計算量是很大的。因此，在線性時變系統(tǒng)中，以上兩個判據(jù)一般只是用來進行理論分析。2)狀態(tài)能控性的實用判別準則設(shè)線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)其中，A(t),B(

t)對時間t分別是n-2階

和n-1階連續(xù)可微的，構(gòu)造一個序列

Mk,使Q.(t)=[M?(t)

M?(t)

…M(

t)]則該系統(tǒng)在[0,t.]上是狀態(tài)完全能控的。需要指出，此判據(jù)只是一個充分條件，不是必要條件。rankQ。(t:)=n

(11-2)如果存在一個有限的時刻t>0,使得3)輸出的能控性判據(jù)系統(tǒng)的被控量往往不是系統(tǒng)的狀態(tài)，而是系統(tǒng)的輸出，因

此系統(tǒng)的輸出量是否能控也是一個重要的問題。系統(tǒng)在t?

時刻輸出能控的充要條件是：在一個有限時間t>t?

內(nèi)，使得屬于時間[t?

,t]內(nèi)

的T,連續(xù)脈沖響應(yīng)矩陣G(t,t)的

所有行向量是線性無關(guān)的。11.2.2定常系統(tǒng)的能控性1.能控性的概念設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為式中，A

為n×n矩陣；B為n×r矩陣；C

為m×n

矩陣；D

為m×r矩

陣

。x(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)

(11

-3)1)狀態(tài)能控性如果存在一個分段連續(xù)的輸入u(t),能在[to,t]有限時間間

隔內(nèi)，使得系統(tǒng)從任一初始狀態(tài)x(t?)

轉(zhuǎn)移到指定的任一終端狀

態(tài)x(t+),則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)是能控的。若系統(tǒng)所有狀態(tài)變量中至少有一個狀態(tài)變量不能控制時，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能控的，或簡稱系統(tǒng)是不能控的。只有系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，才稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能

控的，簡稱系統(tǒng)是能控的。狀態(tài)完全能控可以在二階系統(tǒng)的相平面上來說明，如圖11-1所示。假如相平面中的P

點能在輸入的作用下轉(zhuǎn)移到任

一指定狀態(tài)P?,P?

…

,P,那么相平面上的P

點是能控狀態(tài)。假

如能控狀態(tài)“充滿”整個狀態(tài)空間，即對于任意初始狀態(tài)都

能找到相應(yīng)的控制輸入u(t),使得在有限時間間隔內(nèi)，將此狀態(tài)

轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間中的任一指定狀態(tài)，則該系統(tǒng)稱為狀態(tài)完全

能

控

。圖11-1能控狀態(tài)的圖形說明2)輸出能控性若系統(tǒng)存在一分段連續(xù)的輸入信號u(t),在有限時間[to,t

內(nèi)，能將任一輸出量y(t?)轉(zhuǎn)移到任意給定的輸出y(t;),則稱系統(tǒng)

是輸出能控的。2.能控性的判據(jù)1)狀態(tài)能控性對于n

階線性定常系統(tǒng)x(t)=Ax(t)+

Bu

(t)能控性的判別有四個判據(jù)，這四個判據(jù)是等價的，每一個都是系統(tǒng)能控性的充要條件。判據(jù)一：矩陣

e-AB

是行線性無關(guān)的。判據(jù)二：矩陣(sI-A)-1B

是行線性無關(guān)的。判據(jù)三：格拉姆矩陣

是非奇異的。判據(jù)四：由A

、B構(gòu)成的能控性判別矩陣U.=[BAB

A2B…A”-1B]滿秩，即rank

U.=n

(11-4)其中，n為該系統(tǒng)的維數(shù)。這種通過U。是否滿秩來判定系統(tǒng)能控性的判據(jù)又稱秩判據(jù)。解

(1)

,rank

U.=1<n,所以系統(tǒng)不能控。(2)

,rankU.=2=n,

所以系統(tǒng)能控。例11-2判別下列狀態(tài)方程的可控性。系統(tǒng)輸出能控的充要條件是，m×(nr+r)矩陣[D

CB

CAB

CA2B

…CA”-1B]的秩為m。2)輸出的能控性設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為例11-3考慮由下式確定的系統(tǒng)：試分析系統(tǒng)的輸出能控性。解

rank[cb

cAb]=rank[-12]=1=m,所以系統(tǒng)是輸出能控的。系統(tǒng)的輸出能控性和狀態(tài)能控性是兩個完全不同的概念，

二者之間沒有必然的聯(lián)系，不能把二者混淆。

一個系統(tǒng)的狀態(tài)能控并不意味著其輸出能控，同樣，一個系統(tǒng)的輸出能控，也

不意味著其狀態(tài)能控。11.2.3狀態(tài)能控性條件的標(biāo)準型判據(jù)當(dāng)線性定常系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A為對角標(biāo)準型或約當(dāng)標(biāo)準

型時，判定系統(tǒng)的能控性有比較簡便的方法，即可以依據(jù)狀態(tài)方程中的系統(tǒng)矩陣A和輸入矩陣B

進行直觀判斷。因此，標(biāo)準型判據(jù)也稱為直觀性判據(jù)。1.對角標(biāo)準型設(shè)線性定常系統(tǒng)x=Ax+Bu具有互不相同的實特征值，則其狀態(tài)完全能控的充分必要條件是：系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對角標(biāo)準型中

，B陣不存在全零行。解(1)狀態(tài)方程為對角標(biāo)準型，B

陣中不含有元素全為零的行，故系統(tǒng)是能控的。(2)狀態(tài)方程為對角標(biāo)準型，B

陣中含有元素全為零的行，故系統(tǒng)是不能控的。例11-4判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。例11-5判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。解狀態(tài)方程為對角標(biāo)準型，b陣中不含有元素全為零的行，但系統(tǒng)卻是不能控的，因為對角陣?不滿足“特征值互不

相同”這個條件，故上述判據(jù)不再適用。這種情況下，應(yīng)根據(jù)式(11-4)中的秩判據(jù)來判斷，即所以系統(tǒng)是不能控的。32.約當(dāng)標(biāo)準型若線性定常系統(tǒng)x=Ax+

Bu,具有重實特征值，且每一個重特征值只對應(yīng)一個獨立特征向量，則系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件是：系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的約當(dāng)標(biāo)準型(1)輸入矩陣B

中與每一個約當(dāng)塊J;(i=1,2,…,k)最后一行所對應(yīng)的各行中，沒有

一行的元素全為零。(2)B陣中與互異特征值所對應(yīng)的行不存在全零行。中

，例11-6判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。(5)解(1)系統(tǒng)是能控的。(2)系統(tǒng)是不能控的。(3)系統(tǒng)是能控的。(4)系統(tǒng)是不能控的。(5)系統(tǒng)是不能控的。值得注意的是，當(dāng)A陣的相同特征值分布在A陣的兩個或更多的約當(dāng)塊時，如以上判據(jù)不適用，可根據(jù)秩判據(jù)來判別。下，以上判據(jù)已經(jīng)不再適用，應(yīng)使用秩判據(jù)判斷，即所以系統(tǒng)是個能控的。解雖然?為約當(dāng)陣，但有兩個相同特征值的約當(dāng)塊，每個約當(dāng)小塊最后一行所對應(yīng)的b

陣中的各行元素中，雖然沒有

一行的元素全為零，但該系統(tǒng)是不能控的。因為，在這種情況例11-7判別下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。11.3線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀測性11.3.1時變系統(tǒng)的能觀測性1.能觀測性的概念設(shè)線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為為非奇異矩陣。其中，Φ

(t,to)

為時變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。線性時變系統(tǒng)

x(t)=A(t)x(t)+B

(t)u(t)

在

t。時刻狀態(tài)完全能觀測的另一個充要條件為：矩陣C(t)

Φ(t,to)

是列線性無關(guān)的。和判別時變系統(tǒng)的能控性一樣，在應(yīng)用上述定理時，需要計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，計算量非常大。2.線性時變系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)1)Gram

(格拉姆)矩陣線性時變系統(tǒng)x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t),在時間區(qū)間[t?,t;]

內(nèi)，狀態(tài)完全能觀測

的充要條件是格拉姆矩陣令R(t)=[C?(t)

C?(t)…

C,(t)]如果存在一個有限的時刻t;>0,

使得rank

R(tq)=n

(11-5)則該系統(tǒng)在[0,te]上是能觀測的。其中，A(t),C(t)對時間t

分別是n-2階

和n-1階連續(xù)可微的，構(gòu)造一個序列C;,使2)能觀測性的實用判別準則設(shè)線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為如果對于任一給定的輸入u(t),

存在一有限觀測時間t>t0,使得在[to,t]期間測量到的y(t),能唯一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)

x(t?),

則稱此狀態(tài)是能觀測的。若系統(tǒng)的每一個狀態(tài)都是能觀

測的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，簡稱系統(tǒng)是能觀測的。11.3.2定常系統(tǒng)的能觀測性1.能觀測性的概念設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為(11-6)能觀測性的判別有四個判據(jù)，這四個判據(jù)是等價的，每一個都是系統(tǒng)能觀測性的充要條件。2.能觀測性的判別準則對于n階線性定常系統(tǒng)判據(jù)一：矩陣Ce?A

是列線性無關(guān)的。判據(jù)二：矩陣C(sI-A)?1是列線性無關(guān)的。判據(jù)三：格拉姆矩陣

是非奇異的。判據(jù)四：由A

、C構(gòu)成的能觀測性判別矩陣rank

V

。=n其中，n

為該系統(tǒng)的維數(shù)。判據(jù)四又稱秩判據(jù)。滿秩，即(11-7)(3)

,y=[11]x。例11-8判別下列系統(tǒng)的能觀測性。解

(1),rankV

。=1<2,

故系統(tǒng)是不能觀測的。(3),rankV

。=1<2,故系統(tǒng)是不能觀測的。需要強調(diào)的是：(1)在能觀測性定義中之所以把能觀測性規(guī)定為對初始

狀態(tài)的確定，是因為一旦確定了初始狀態(tài)，便可根據(jù)給定輸入

u(t),利用狀態(tài)方程的解就可以求出各個瞬間狀態(tài)。(2)能觀測性表示的是y()反應(yīng)狀態(tài)向量x(+)的能力，考慮到輸入信號u(t)所引起的輸出是可計算出的，所以在分析能觀測

性問題時，常令u(t)=0,這樣只需從齊次狀態(tài)方程和輸出方程出發(fā)來考慮能觀測性問題。(3)從輸出方程y(t=Cx(t)可以看出，如果輸出量y(t)的維數(shù)

等于狀態(tài)變量x(t)的維數(shù)，并且C陣是非奇異的，則x(t)=C1y(t),

顯然這是不需要觀測時間的。而在一般情況下輸出量的維數(shù)

總是小于狀態(tài)變量的維數(shù)，只有在不同時刻多測量幾組數(shù)據(jù)

y(t?),y(t?)…y(t),使之能夠組成n

個方程式，才能唯一地求出n

個狀態(tài)變量。但是如果t?,t?…t相隔太近，則(t?),y(t?)…,y(t)幾個方程雖然在結(jié)構(gòu)上是獨立的，但其數(shù)值可能相差無幾，因此，在能觀測性定義中觀測時間應(yīng)滿足t>t?的要求。11.3.3狀態(tài)能觀測性的標(biāo)準型判據(jù)與能控性類似，當(dāng)線性定常系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A為對角標(biāo)準型或約當(dāng)標(biāo)準型時，判定系統(tǒng)的能觀測性有比較簡便的方

法，即可以使用直觀性判據(jù)。1.對角標(biāo)準型設(shè)線性定常系統(tǒng)具有互不相同的實特征值，則其系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是：系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的對角標(biāo)準型中，?陣不存在全零列。(11-8)解(1)狀態(tài)方程為對角標(biāo)準型，c陣中不含有元素全為零的列，所以系統(tǒng)能觀測。(2)狀態(tài)方程為對角標(biāo)準型，c陣中含有元素全為零的列，

所以系統(tǒng)不能觀測。例11-9判別下列系統(tǒng)的能觀測性。解

狀態(tài)方程為對角標(biāo)準型，c陣中不含有元素全為零的列，但系統(tǒng)卻是不能觀測的，因為對角陣A

不滿足“特征值互不相同”這個條件，故上述判據(jù)不再適用。這種情況下，應(yīng)根據(jù)式(11-7)的秩判據(jù)來判斷，即,rankV

。=2<3所以系統(tǒng)是不能觀測的。例11-10判別下列系統(tǒng)的能觀測性。2.約當(dāng)標(biāo)準型若線性定常系統(tǒng)x=Ax+Bu,y=Cx,A

具有重實特征值，且每一個重特征值只對應(yīng)一個獨立特征向量，則系統(tǒng)狀態(tài)完

全能觀測的充分必要條件是：系統(tǒng)經(jīng)非奇異變換后的約當(dāng)標(biāo)

準型

(11-9)

中，(1)輸入矩陣C

中與每一個約當(dāng)塊J;(i=1,2,…,k)首列所對應(yīng)的各列中，沒有一列

的元素全為零。(2)C陣中與互異特征值所對應(yīng)的列不存在全零列。例11-11-判別下列系統(tǒng)的能觀測性。y=[5

02

00]x。y=[10]x;(1)(2)(3),y=[01]z;解(1)系統(tǒng)能觀測。(2)系統(tǒng)不能觀測。(3)系統(tǒng)能觀測。(4)系統(tǒng)能觀測。值得注意的是，當(dāng)A

陣的相同特征值分布在?陣的兩個或更多的約當(dāng)塊時，如

以上判據(jù)不適用，可根據(jù)秩判據(jù)來判別。y=[532]x解雖然A

為約當(dāng)陣，但有兩個相同特征值的約當(dāng)塊，每個約當(dāng)小塊首列所對應(yīng)c

陣

各列中的元素，雖然沒有一列的元素全為零，但該系統(tǒng)是不能觀測的。因為，在這種情況rankV

。=2<3所以系統(tǒng)是不能觀測的。例11-12判別下列系統(tǒng)的能觀測性。下，以上判據(jù)已經(jīng)不再適用，應(yīng)使用秩判據(jù)判斷，即11.4對偶原理11.4.1線性系統(tǒng)的對偶關(guān)系考慮由下述狀態(tài)空間表達式描述的系統(tǒng)

∑?

: (11-10)式中，A為n×n矩陣；B為n×r矩陣；C為m×n矩陣。式中，AT為n×n矩陣；BT

為r×n矩陣；CT為

n×m矩陣。稱系統(tǒng)

∑?和系統(tǒng)

∑?

是互為對偶的，即系統(tǒng)

∑?是系統(tǒng)

∑2的

對偶系統(tǒng)，反之系統(tǒng)

∑2是系統(tǒng)

∑?

的對偶系統(tǒng)。以及由下述狀態(tài)空間表達式描述的系統(tǒng)

∑?

:(11-11)(a)圖11-2系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖1.系統(tǒng)≥1和系統(tǒng)∑2的結(jié)構(gòu)圖x,(1)BjA(b)v?(1)r

x?(7)

BTy,(t)Cu?(t)CT“,(⑦2.對偶系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣之間的關(guān)系對偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣互為轉(zhuǎn)置。

系統(tǒng)

∑?

的傳遞函數(shù)矩陣為G

?(s)=C(sI-A)1B系統(tǒng)

∑2的傳遞函數(shù)矩陣為G?(s)=BT(sI-AT)-1CTGT(s)=(B

T(sI-AT)-1CT)T=C(sI-A)-

1B=G?(s)而3.對偶系統(tǒng)特征方程式之間的關(guān)系對偶系統(tǒng)特征方程式相同，即sI-A|=|sI-AT|11.4.2對偶原理當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)

∑2狀態(tài)能觀測(狀態(tài)能控)時，系統(tǒng)

∑?才是狀態(tài)能控(狀態(tài)能觀測)的，反之亦然。這種能控性與能觀測性

的對偶關(guān)系稱為對偶原理。為了驗證這個原理，下面寫出系統(tǒng)

∑?和

∑2的狀態(tài)能控和能觀測的充要條件。1.系統(tǒng)∑?狀態(tài)能控和能觀測的充要條件(1)狀態(tài)能控的充要條件是n×nr

維能控性矩陣[B|AB|…·A”-1B]的秩為n。(2)狀態(tài)能觀測的充要條件是n×nm

維能觀測性矩陣[CT|ATCT

…

(AT)”-1CT]的秩為n。2.系統(tǒng)∑2狀態(tài)能控和能觀測的充要條件(1)狀態(tài)能控的充要條件是n×nm

維能控性矩陣[CTATCT

…(AT)”-1CT]的

秩

為n。(2)狀態(tài)能觀測的充要條件是n×nr

維能觀測性矩陣[B|

AB

…|A”-1B]的

秩

為n。11.5線性系統(tǒng)的能控標(biāo)準型和能觀測標(biāo)準型對于單變量系統(tǒng)，因為只有唯一的一組n

個線性無關(guān)向量，所以當(dāng)原系統(tǒng)狀態(tài)方程變換為標(biāo)準型時，其表示方法是唯一的。而對于多變量系統(tǒng)，n

個線性無關(guān)向量的選取不再唯一，

所以，將原系統(tǒng)變換為標(biāo)準型時，其表示方法也不再唯一。其中

：c2…cn]11.5.1系統(tǒng)的能控標(biāo)準型1.能控標(biāo)準型如果系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式可以化為以下形式：(11-12)則稱式(11-12)為系統(tǒng)的能控標(biāo)準型，且該系統(tǒng)一定是完全能控的。原因是與此狀態(tài)空間表達式相對應(yīng)的能控性判別

矩陣為式

中

，

,eo=1?？梢郧蟪?，rankU.=n,所以系統(tǒng)是能控的。2.將能控系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式化為能控標(biāo)準型設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為(11

-13)當(dāng)A,b,c不具有能控標(biāo)準型時，如果系統(tǒng)能控，則存在非奇異變換x(t)=Px(t),將系統(tǒng)化為能控標(biāo)準型，即cc=cP=[c?C?

…cn]其

中

：(1)a?,a?,…,an為系統(tǒng)特征多項式|sI-A|=s“+a?s”-1+…+an-1s+an的系數(shù)。(2)變換矩陣式中，P?=[0…01][bAbA2b…A”-1b]?1=[0…01]U-

1試判別系統(tǒng)的能控性。如系統(tǒng)能控，將狀態(tài)空間表達式化為能控標(biāo)準型。例11-13已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為解(1)首先判別能控性：

,rankU.=2,故系統(tǒng)是能控的。(2)化為能控標(biāo)準型：D?=[01]u=1=[01]即能控標(biāo)準型為11.5.2系統(tǒng)的能觀測標(biāo)準型1.能觀測標(biāo)準型如果系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式可以化為以下形式：(11-14)其

中：則稱式(11-14)為系統(tǒng)的能觀測標(biāo)準型，且該系統(tǒng)一定是完全能觀測的。原因是與此狀態(tài)空間表達式相對應(yīng)的能觀測性判

別矩陣式

中

，可以求出，rankV

。=n,所以系統(tǒng)是能觀測的。2.

將能觀測系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式化為能觀測標(biāo)準型設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為(11-15)當(dāng)

A,b,c不

具

有

能

觀

測

標(biāo)

準

型

時

，

如

果

系

統(tǒng)

能

觀

測

，

則

存

在

非

奇

異

變

換

x(t)=Tx(t),

將系統(tǒng)變換為能觀測標(biāo)準型，即(11-16)廿

山其中：(1)a?,a?,…,an

為系統(tǒng)特征多項式|sI-A|=s”+a?s”-1+…+an-1s+an的系數(shù)。(2)變換矩陣T=[t?At?…

A”?1t?]式中，試判別系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測性，如能觀測將狀態(tài)空間表達式化為能觀測標(biāo)準型。解(1)首先判別能觀測性：,rankV

。=2,

故系統(tǒng)是能觀測的。例11-14已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為(2)化為能觀測標(biāo)準型：即能觀測標(biāo)準型為11.6線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解系統(tǒng)中只要有一個狀態(tài)變量不能控就稱系統(tǒng)不能控，那么不能控系統(tǒng)就含有能控和不能控兩種狀態(tài)變量；系統(tǒng)中只

要有一個狀態(tài)變量不能觀測就稱系統(tǒng)不能觀測，那么不能觀

測系統(tǒng)就含有能觀測和不能觀測兩種狀態(tài)變量。從能控性、

能觀測性角度出發(fā)，狀態(tài)變量可分解成能控能觀測狀態(tài)變量Xc

、能控不能觀測狀態(tài)變量x

、不能控能觀測狀態(tài)變量

x、不能控不能觀測狀態(tài)變量x=l四

類。由相應(yīng)狀態(tài)變量作坐標(biāo)

軸構(gòu)成的子空間也分成四類，并把系統(tǒng)也相應(yīng)分成四類子系

統(tǒng)，稱為系統(tǒng)的規(guī)范分解。在不引起混淆的情況下，為書寫簡單，后面各式中省略時間t,其能控性判別矩陣的秩為k(k<n),即rankU=k<n,

則存在非奇異

變換x=Tx11.6.1系統(tǒng)按能控性的結(jié)構(gòu)分解設(shè)不能控線性定常系統(tǒng)為?=CT。=[C?C?]非奇異變換陣T.=[t1

t?

…

tk

tk+1…

tn]將狀態(tài)空間表達式變換為其中(11-17)T.中

的n

個列向量t?,t?,

…

,t,可按如下方法構(gòu)造：(1)前k

個列向量t?,t?,…,ts

是能控性判別矩陣U.=

[B

AB…A”-1B]中

的k

個線性無關(guān)的列。(2)另外n—k

個列向量tk+1,

…

,t,在確保T。為非奇異的條件下任意選擇?？梢娊?jīng)過變換后，系統(tǒng)可分解為能控的k

維子系統(tǒng)和不能控的n—k維子系統(tǒng)。即能

控子系統(tǒng)為(11-18)不能控子系統(tǒng)為(11-19)系統(tǒng)按能控性進行結(jié)構(gòu)分解的示意圖如圖11-3所示。A?不能控部分圖11-3按能控性進行結(jié)構(gòu)分解示意圖Ax。?

,A??y??能控部分B判斷系統(tǒng)的能控性。若系統(tǒng)不能控，將系統(tǒng)按能控性進行規(guī)范分解

。解

(1)判斷能控性：例11-15

設(shè)線性定常系統(tǒng)rank

U.=2<n,

故系統(tǒng)不完全能控。在保證T。非奇異的條件下，任選

,

故(2)構(gòu)造按能控性進行規(guī)范分解的非奇異變換陣T。:T.=[t?t?

t?](3)變換后的系統(tǒng)為式中(4)按能控性分解后的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為其中，能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為異),現(xiàn)取T.=[t?t?

t?]

中

的t?=[10經(jīng)過非奇異變換后，有么

A列是任意選取的(當(dāng)然必須保證T。為非奇y2

一為了說明在構(gòu)造變換陣T。時

，tk+1,

…

,t,不能控子系統(tǒng)動態(tài)方程為可見其能控子系統(tǒng)方程沒有變化。1],

即其能觀測性判別矩陣V。的秩為k(k<n),即rankV?=k<n,則存在非奇異變換x=T?x將狀態(tài)空間表達式變換為11.6.2系統(tǒng)按能觀測性的結(jié)構(gòu)分解設(shè)不能觀測線性定常系統(tǒng)為(11-20)(11-21)?=CT

。=[??10]其中非奇異變換陣T

。1

中的n

個行向量tT,…,tT

可按如下方法構(gòu)造：(1)T

。1中的前k

個行向量tT,…,tT

為能觀測性判別矩陣V。中

的k

個線性無關(guān)的行。(2)另外n—k

個行向量tT+1,…,tT

在確保T

。1

是非奇異的條件下完全是任意選取

的

?？梢姡?jīng)上述變換后系統(tǒng)可分解為能觀測的k

維子系統(tǒng)和不能觀測的n—k

維子系統(tǒng)。能觀測子系統(tǒng)為系統(tǒng)按能觀測性進行結(jié)構(gòu)分解的示意圖如圖11-4所示。(11-22)(11-23)不能觀測子系統(tǒng)為圖11-4按能觀測性進行結(jié)構(gòu)分解示意圖能觀測部分B?j

。

?不能觀測部分A?1jA?yB?xμy=[0

1-2]x判斷系統(tǒng)的能觀測性。若系統(tǒng)不能觀測，將系統(tǒng)按能觀測性進行規(guī)范分解。解(1)判斷能觀測性：

rankV

。=2<n,

故系統(tǒng)不能觀測。例11-16設(shè)線性定常系統(tǒng)tT=[0

1-2],tZ=[1

-2

3]在保證T。-1

非奇異的條件下，任取t?T=[001],故而(2)構(gòu)造按能觀測性進行規(guī)范分解的非奇異變換陣T。:(3)變換后的系統(tǒng)為式中不能觀測子系統(tǒng)為=[10]×。一x(4)按能觀測性分解后的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為其中，能觀測子系統(tǒng)為其狀態(tài)不完全能控又不完全能觀測，其能控判別矩陣U.和能觀測性判別矩陣V。的秩分別小于n,則存在非奇異變換x=Tx將原狀態(tài)空間表達式變換為11.6.3按能控性和能觀測性分解若線性定常系統(tǒng)?=CT=[C?0

C?0]其中即通過以上非奇異變換將一個系統(tǒng)分解成為如下四個子系統(tǒng)：(1)能控又能觀測的子系統(tǒng)2co:(11-24)(11

-25)(2)能控但不能觀測的子系統(tǒng)2co:(11-26)(11-27)(4)不能控且不能觀測的子系統(tǒng)

∑=:(3)不能控但能觀測的子系統(tǒng)

∑

::這四個系統(tǒng)可以用圖11-5表示?？梢?，只要確定了變換矩陣T,只需經(jīng)過一次變換便可對系統(tǒng)同時按能控性和能觀測

性進行結(jié)構(gòu)分解。但T

的構(gòu)造涉及較多線性空間的概念，比

較麻煩，有興趣的同學(xué)可參考相關(guān)資料，在此不再贅述。圖11-5系統(tǒng)按能控性和能觀測性分解后的結(jié)構(gòu)圖2222y(1)u(t)11.7系統(tǒng)的實現(xiàn)11.7.1基本概念但是當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)或機理比較復(fù)雜時，就不能根

據(jù)系統(tǒng)的機理用分析方法建立系統(tǒng)方程，只能用實驗的方法

來確定系統(tǒng)輸入輸出描述，然后推導(dǎo)出相應(yīng)的狀態(tài)方程和輸

出方程。這種由給定的傳遞函數(shù)建立與輸入輸出特征等價的

系統(tǒng)方程的問題，稱為實現(xiàn)問題。C[sI-A]?1B+D=G(s)則稱該狀態(tài)空間表達式為傳遞函數(shù)陣G(s)的一個實現(xiàn)。1.定義對于給定傳遞函數(shù)陣G(s),若有一個狀態(tài)空間表達式使其滿足2.實現(xiàn)條件并不是任意一個傳遞函數(shù)陣G(s)都可以找到其實現(xiàn)，通

常它必須滿足物理可實現(xiàn)條件，即：(1)傳遞函數(shù)陣G(S)中的每個元G,(S)(i=1,2…,m;j=1,2…,r)

的分子分母多項式的系數(shù)均為實常數(shù)。(2)G(S)的元G,;(S)是s的嚴格真有理分式或真有理分式函

數(shù)，即G;(S)的分子多項式的次數(shù)低于或等于分母多項式的次

數(shù)。3.實現(xiàn)形式(1)當(dāng)G;(s)

的分子多項式的次數(shù)低于分母多項式的次數(shù)

時，稱G;(s)

為嚴格真有理分式。若GS

)陣中所有元都為嚴格真有理分式時，其實現(xiàn)具有(2)當(dāng)G(S)陣中哪怕只有一個元G,(S)的分子多項式的次

數(shù)等于分母多項式的次數(shù)時，實現(xiàn)就具有

并且有(3)當(dāng)G(S)陣中的元G;(s)不是嚴格的真有理分式的傳遞函數(shù)陣時，應(yīng)首先求出

D,使G(s)-D

為嚴格的真有理分式函數(shù)

的矩陣，即C[sI-A]-

1

B=G(s)一D然后再根據(jù)G(s)-D尋求形式為)的實現(xiàn)。的D

和C(sl-A)-1B。解例11-17求傳遞函數(shù)陣11.7.2系統(tǒng)的能控標(biāo)準型和能觀測標(biāo)準型實現(xiàn)1.SISO系統(tǒng)的能控標(biāo)準型和能觀測標(biāo)準型實現(xiàn)對于一個單輸入單輸出系統(tǒng)，

一旦給出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，

便可直接寫出其能控標(biāo)準型和能觀測標(biāo)準型實現(xiàn)。設(shè)單變量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為(11-28)ce=[bn

bn-1

bn-2…

bi]能觀測標(biāo)準型的各系數(shù)矩陣為則其能控標(biāo)準型的各系數(shù)矩陣為試寫出系統(tǒng)能控標(biāo)準型實現(xiàn)和能觀測標(biāo)準型實現(xiàn)。解

能控標(biāo)準型實現(xiàn)：例11

-

18已知線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為能觀測標(biāo)準型實現(xiàn)：1]x2.MIMO

系統(tǒng)的能控標(biāo)準型和能觀測標(biāo)準型實現(xiàn)設(shè)

MIMO

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為m×r維，并有如下形式：式中，分母多項式為該傳遞函數(shù)矩陣的特征多項式；B?,B?…,Bn

均為m×r

維實數(shù)矩陣。(11-29)c=[Bn

Bn-1Bn-2…B?]式中，0,和I,分別表示r×r

階零矩陣和單位矩陣；n

為分母多項式的階數(shù)。1.能控標(biāo)準型實現(xiàn)能控標(biāo)準型實現(xiàn)的維數(shù)為nr,

各系數(shù)矩陣為2.能觀測標(biāo)準型實現(xiàn)能觀測標(biāo)準型實現(xiàn)的維數(shù)為nm,各系數(shù)矩陣為式中，0m和Im

分別表示m×m

階零矩陣和單位矩陣。C?=[0m0m…

0mIm]的能控標(biāo)準型實現(xiàn)和能觀測標(biāo)準型實現(xiàn)。例11-19試求解首先將G(s)化成嚴格有理真分式：比較后，可得然后將C(sI-A)-1B

寫成標(biāo)準格式：對照得a?=6,a?=11,a?=6由式(11-29)知r=2,m=2所以有如下MIMO

系統(tǒng)能控標(biāo)準型實現(xiàn)：C.=[B?B?同理MIMO

能觀測標(biāo)準型實現(xiàn)為：11.7.3最小實現(xiàn)由于傳遞函數(shù)矩陣只能反映系統(tǒng)中能控且能觀測的子系

統(tǒng)的動力學(xué)行為，因而，對于某一傳遞函數(shù)矩陣G(s)有任意維

數(shù)的狀態(tài)空間表達式與之對應(yīng)。另外，由于狀態(tài)變量選擇的

非唯一性，選擇不同的狀態(tài)變量時，其狀態(tài)空間表達式也隨之

不同，因此，對應(yīng)某一傳遞函數(shù)