微技能折疊分類精講練(2025真題.20,2024真題,22(3),2024省一.22)第七章尺規(guī)作圖與圖形的變化模型分析及典例1針對(duì)練習(xí)2類型一

三角形的折疊<2025真題.20，2024真題.22(3)>類別折痕(BP)過頂點(diǎn)條件和圖示點(diǎn)C'落在AC上結(jié)論①△C'BP≌△CBP；②BP

①__________CC'垂直平分模型分析及典例1條件和圖示點(diǎn)C'落在AB上結(jié)論①△C'BP≌△CBP；②若∠ABC=90°，∠A=30°，則CP=C'P=C'A折痕(DP)過兩邊條件和圖示點(diǎn)C'落在AB上結(jié)論①△C'DP≌△CDP；②

若∠ABC=90°，∠A=30°，則常在△BC'D中利用勾股定理；若C'P∥BC，則四邊形C'DCP是

②_________菱形【例1】三角形ABC是直角三角形，∠ABC=90°，∠A=30°，BC=6，D，P分別是BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，沿DP折疊△CDP得到△C'DP，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'.(1)若點(diǎn)D與點(diǎn)B重合.①如圖1，當(dāng)點(diǎn)C'落在AC上時(shí)，CP的長(zhǎng)度是______，AC'的長(zhǎng)度是____；36【點(diǎn)撥】∵∠ABC＝90°，∠A＝30°，∴AC＝2BC＝12，∠C＝90°－∠A＝60°.由折疊的性質(zhì)得∠BPC＝90°，C′P＝CP，∴CP＝BC·cos60°＝3.∴C′P＝3，∴AC′＝AC－C′P－CP＝6.②如圖2，當(dāng)點(diǎn)C'落在AB上時(shí)，AC'的長(zhǎng)度是_________，CP的長(zhǎng)度是____________；【點(diǎn)撥】(2)如圖3，當(dāng)點(diǎn)C'落在AB上，且AC'=時(shí)，BD的長(zhǎng)度是____，CP的長(zhǎng)度是______.24【點(diǎn)撥】類型二

矩形的折疊<2024省一模.22>考向1折痕過頂點(diǎn)<2024省一模.22>類別折痕(BD)過兩個(gè)頂點(diǎn)條件和圖示結(jié)論①△C'BD≌③________，△ABE≌△C'DE；②常在Rt△ABE或Rt△C'DE中利用勾股定理；③

若連接CC'，則

BD垂直平分CC'△CBD

折痕(BP)過一個(gè)頂點(diǎn)+一邊(折疊三角形)條件和圖示點(diǎn)C'落在BD

上結(jié)論①△

PBC'≌△

PBC；②

常在Rt△DC'P

中利用勾股定理；③△

DPC'∽

④________________△DBC(或△BDA)

條件和圖示點(diǎn)C'落在AD

上結(jié)論①△

PBC'≌△

PBC；②

常在Rt△DC'P

中利用勾股定理；③

Rt△C'DP

∽

⑤_________Rt△BAC′折痕(BP)過一個(gè)頂點(diǎn)+一邊(折疊四邊形)條件和圖示A'D'過點(diǎn)C結(jié)論①

四邊形BA'D'P

≌四邊形BADP；②

常在Rt△A'BC或Rt△D'PC中利用勾股定理；③

Rt△A'BC

∽

⑥__________

；④

若連接AA'，DD'，

則BP垂直平分AA'和DD'Rt△D′CP

【例2】在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點(diǎn)P是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，將△BCP沿BP折疊得到△BC'P，BC'交AD于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)是_____；

【點(diǎn)撥】(2)如圖2，將△BCP

沿BP

折疊得到△BC'P，當(dāng)點(diǎn)C'恰好落在BD

上時(shí)，△C'DP

的面積是_______；【點(diǎn)撥】(3)如圖3，

將△BCP

沿BP

折疊得到△BC'P，

當(dāng)點(diǎn)C'恰好落在AD

上時(shí)，tan∠

C'BP

的值是_____________；【點(diǎn)撥】(4)如圖4，將四邊形ABPD

沿BP

折疊得到四邊形A'BPD'，當(dāng)點(diǎn)C

在A'D'上時(shí)，DP

的長(zhǎng)是______________.【點(diǎn)撥】考向2折痕過兩鄰邊類別折痕為EP條件和圖示點(diǎn)C'落在BD

上結(jié)論①△

EC'P

≌△

ECP；②

若連接CC'，

則EP

垂直平分CC'條件和圖示點(diǎn)C'落在AD

上結(jié)論①△

EC'P

≌△

ECP；②

若C'D已知，常在Rt△C'DP中利用勾股定理；③

可過點(diǎn)E

作AD

的垂線構(gòu)造一線三垂直【例3】在矩形ABCD

中，AB=4，AD=6，點(diǎn)E，P

分別在邊BC，CD

上，將△CEP

沿直線EP

折疊得到△C'EP.(1)如圖1，

連接BD，

若點(diǎn)C'落在BD

上，且EP∥BD，則CP

的長(zhǎng)為______；2【點(diǎn)撥】(2)如圖2，若點(diǎn)C'落在AD

的中點(diǎn)處，則DP

的長(zhǎng)為_____，CE

的長(zhǎng)為______.【點(diǎn)撥】考向3折痕過兩對(duì)邊類別條件和圖示折痕為EP點(diǎn)C'落在AD上結(jié)論①四邊形EC'D'P≌四邊形ECDP；②∠C'PE=∠CEP=∠C'EP，C'P=C'E；③常在Rt△C'D'P中利用勾股定理；④常過點(diǎn)E作EH⊥AD于點(diǎn)H,則Rt△EC'H≌Rt△C'PD'，據(jù)此可求折痕EP的長(zhǎng)；④D'，P，C三點(diǎn)共線，若連接CP，

則四邊形C'ECP為

⑦_(dá)______菱形

條件和圖示點(diǎn)C'與點(diǎn)A重合A

結(jié)論①四邊形EC'D'P≌四邊形ECDP；②常在Rt△ABE或Rt△AD'P中利用勾股定理；③Rt△AD'P≌Rt△ABE；④

常過點(diǎn)E作EH⊥AD于點(diǎn)H,則Rt△EAH≌⑧_________________，據(jù)此可求折痕EP的長(zhǎng)；⑤若連接CP，則D'，P，C三點(diǎn)共線，四邊形AECP為菱形Rt△APD′(或Rt△AEB)條件和圖示點(diǎn)C'落在AB邊上結(jié)論①四邊形EC'D'P≌四邊形ECDP；②Rt△D'PF∽R(shí)t△AC'F；③

若AC'已知，則在Rt△C'BE中利用勾股定理；④可過點(diǎn)D'作直線BA的垂線構(gòu)造一線三垂直條件和圖示C'D'過點(diǎn)A結(jié)論①

四邊形EC'D'P≌四邊形ECDP；③常在Rt△AD'P中利用勾股定理；②Rt△D'PA∽

⑨________________________Rt△C′AF(或Rt△BEF)【例4】在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，點(diǎn)E，P分別在邊BC，AD上，將四邊形CDPE沿直線PE折疊得到四邊形C'D'PE，點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)C'，D'.(1)如圖1，若AP=3PD，則cos∠PC'E的值為_____；【點(diǎn)撥】(2)如圖2，若點(diǎn)C'和點(diǎn)A重合，則折痕PE的長(zhǎng)為_______；【點(diǎn)撥】(3)如圖3，若點(diǎn)C'恰好為AB的中點(diǎn)，連接CC'交EP于點(diǎn)G，則EG的長(zhǎng)為___________；【點(diǎn)撥】(4)如圖4，若C'D'經(jīng)過點(diǎn)A，且AD'=2AC'，C'E

交AB于點(diǎn)F，則

的值為_____________.【點(diǎn)撥】1.[2025錦州部分學(xué)校零模]?如圖，將一張正方形的桌布折疊兩次，就得到了一個(gè)漂亮的圖案，在圖3中，

∠

DFE

的度數(shù)為?(??)A.?25°?

B.?30°?C.?37.5°?D.?45°B針對(duì)練習(xí)2【點(diǎn)撥】由折疊的性質(zhì)可知，3∠BCD＝90°，∠BEC＝90°，∴∠BCD＝30°，∠FED＝90°，∴∠CDF＝∠CBE＝90°－∠BCD＝60°，∴∠DFE＝90°－∠CDF＝30°.

A【點(diǎn)撥】3.如圖，已知BD

是矩形ABCD

的對(duì)角線，AB=6，BC=8，點(diǎn)E，F(xiàn)

分別在邊AD，BC上，連接BE，DF.將△ABE

沿BE

翻折，將△DCF

沿DF

翻折，若翻折后，點(diǎn)A，C分別落在對(duì)角線BD

上的點(diǎn)G，H

處，連接GF，則HG=___________.2【點(diǎn)撥】4.如圖，三角形紙片

ABC

中，∠

BAC=90°，AB=2，AC=3．沿過點(diǎn)

A

的直線將紙片折疊，使點(diǎn)

B

落在邊

BC

上的點(diǎn)

D

處；再折疊紙片使

點(diǎn)

C

與點(diǎn)

D

重合，若

折

痕

與

AC

的

交

點(diǎn)

為E，則

sin∠

DEA

的值為____________

．【點(diǎn)撥】5.如圖，正方形ABCD

中，AB=6，G

是

BC

的中點(diǎn)，將△ABG

沿AG

對(duì)折得到△AFG,延長(zhǎng)GF

交

DC

于點(diǎn)E,則DE

的長(zhǎng)是_______.2【點(diǎn)撥】6.如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD

中，∠

B=120°，點(diǎn)M

是AD

的中點(diǎn)，連接MC，將菱形ABCD

翻折，使點(diǎn)A

落在線段CM上的點(diǎn)E

處，折痕交AB

于點(diǎn)N，則線段EC

的長(zhǎng)為___________.【點(diǎn)撥】如解圖，過點(diǎn)M作MF⊥DC，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則∠F＝90°.∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠B＝120°，∴AD＝CD＝2，∠ADC＝120°，∴∠FDM＝60°.∵點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，7.[2025盤錦第一完全中學(xué)三模]如圖所示，在矩形

ABCD

中，BC=2AB，

點(diǎn)

M，N

分

別

在

邊BC，AD

上．連

接

MN，將

四

邊

形

CMND

沿MN

翻

折，點(diǎn)

C，D

分

別

落

在

點(diǎn)

A，E

處．則tan∠

AMN

的值是

________．2【點(diǎn)撥】如解圖，連接AC交MN于點(diǎn)F，設(shè)AB＝2m，則BC＝2AB＝4m.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，8.[2025內(nèi)江]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形

ABCD

的

邊

AB

在

x

軸

上，點(diǎn)

B