第一章

三角形的證明4線段的垂直平分線第1課時(shí)

線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定

【探究1】線段垂直平分線的性質(zhì)探究與應(yīng)用【嘗試證明】

我們曾經(jīng)探索過線段垂直平分線的性質(zhì):線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.請你嘗試證明這一結(jié)論,并與同伴進(jìn)行交流.你能根據(jù)性質(zhì)畫出圖形,寫出已知、求證嗎?

【探究1】線段垂直平分線的性質(zhì)探究與應(yīng)用

已知:如圖,直線MN⊥AB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的任意一點(diǎn).

求證:PA=PB.證明:∵M(jìn)N⊥AB,∴∠PCA=∠PCB=90°.∵AC=BC,PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS),∴PA=PB(全等三角形的對應(yīng)邊相等).如果點(diǎn)P與點(diǎn)C重合,那么結(jié)論也成立

【探究1】線段垂直平分線的性質(zhì)探究與應(yīng)用【概括新知】

線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

符號(hào)語言:∵M(jìn)N是線段AB的垂直平分線,P是MN上的一點(diǎn),∴PA=PB

【探究2】線段垂直平分線的判定探究與應(yīng)用【嘗試·思考】

你能寫出線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆命題嗎?它是真命題嗎?請證明自己結(jié)論的正確性.怎樣證明這一結(jié)論呢？逆命題：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.它是真命題.

【探究2】線段垂直平分線的判定探究與應(yīng)用已知:如圖,線段AB,點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn),且PA=PB.求證:點(diǎn)P在AB的垂直平分線上.證明:過點(diǎn)P作已知線段AB的垂線PC,垂足為C.∵PA=PB,PC=PC,∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL),∴AC=BC,即點(diǎn)P在AB的垂直平分線上.C

【探究2】線段垂直平分線的判定探究與應(yīng)用【概括新知】

到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.

符號(hào)語言:∵PA=PB,∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上

【探究2】線段垂直平分線的判定探究與應(yīng)用【應(yīng)用】

例如圖,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且OB=OC.

求證:直線AO垂直平分線段BC.證明:∵AB=AC,∴點(diǎn)A為線段BC垂直平分線上的一點(diǎn)(到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上).同理，點(diǎn)O為線段BC垂直平分線上.∴直線AO是線段BC的垂直平分線(兩點(diǎn)確定一條直線).【拓展提升】

如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的延長線上一點(diǎn),EH是BD的垂直平分線,且交AB于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)H,DE交AC于點(diǎn)F.求證:點(diǎn)E在AF的垂直平分線上.

探究與應(yīng)用證明：∵EH垂直平分BD，∴BE=DE，∴∠BEH=∠DEH，∵∠ACB=90°，∴EH∥AC，∴∠BEH=∠BAC，∠DEH=∠AFE，∴∠EAF=∠AFE，∴AE=EF，∴點(diǎn)E在AF的垂直平分線上．

達(dá)標(biāo)測評1.如圖1,在四邊形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足為E,下列結(jié)論不一定成立的是 (

)A.AB=AD

B.CA平分∠BCDC.AB=BD

D.△BEC≌△DEC2.如圖2,點(diǎn)D在△ABC的邊BC上,且BC=BD+AD,則點(diǎn)D在

的垂直平分線上.

圖1圖2C線段AC課堂小結(jié)與檢測

達(dá)標(biāo)測評3.如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE是線段AB的中垂線,垂足為D,交BC于點(diǎn)E,BE=5,則AE=

,∠AEC=

,AC=

.

4.如圖2,在△ABC中,DE,FG分別是邊AB,AC的垂直平分線,則∠B=∠BAE,∠C=∠GAF.若∠BAC=126°,則∠EAG=

.

圖1圖2課堂小結(jié)與檢測5

第一章

三角形的證明4線段的垂直平分線第2課時(shí)垂直平分線的應(yīng)用

回答下列問題:

問題1:線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理內(nèi)容是什么?

知識(shí)關(guān)聯(lián)性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.問題2:你能利用垂直平分線的性質(zhì)尺規(guī)作等腰三角形嗎?判定定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.

【探究1】利用垂直平分線的性質(zhì)尺規(guī)作圖探究與應(yīng)用【嘗試·交流】(1)已知三角形的一條邊及這條邊上的高,你能畫出滿足條件的三角形嗎?

先作已知線段BC=a;然后再作BC邊上的高h(yuǎn),由于垂足不確定,我們可將垂足取在線段BC所在直線上的任意一點(diǎn)D,過此點(diǎn)作BC邊的垂線,最后以D為端點(diǎn)在垂線上截取AD(或A1D),使AD(或A1D)=h,連接AB,AC(或A1B,A1C),所得△ABC(或△A1BC)都滿足條件,所以這樣的三角形有無數(shù)多個(gè).解:(1)已知三角形的一條邊及這條邊上的高,能作出三角形,并且能作出無數(shù)多個(gè),

【探究1】利用垂直平分線的性質(zhì)尺規(guī)作圖探究與應(yīng)用【嘗試·交流】(2)已知等腰三角形的底邊及底邊上的高,你能用尺規(guī)作出滿足條件的等腰三角形嗎?能作幾個(gè)?與同伴進(jìn)行交流.

如圖,已知線段a,h,用尺規(guī)作△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h.作法:1.作線段BC,使BC=a.2.作線段BC的垂直平分線l,交BC于點(diǎn)D.在l上作線段DA,使DA=h.4.連接AB,AC.△ABC就是所要作的等腰三角形.

【探究1】利用垂直平分線的性質(zhì)尺規(guī)作圖探究與應(yīng)用【思考·交流】

還記得用尺規(guī)過直線l上一點(diǎn)P作l的垂線的方法嗎?這種方法將作直線的垂線問題轉(zhuǎn)化為作線段的垂直平分線問題.如果點(diǎn)P在直線l外呢?此時(shí),還能運(yùn)用這種轉(zhuǎn)化的方法嗎?請你試一試,并與同伴進(jìn)行交流.如圖,已知直線l和l外一點(diǎn)P,用尺規(guī)作l的垂線,使它經(jīng)過點(diǎn)P.

作法:1.任取一點(diǎn)Q,使點(diǎn)Q與點(diǎn)P在直線l兩旁.2.以點(diǎn)P為圓心,以PQ的長為半徑作弧,交直線l于點(diǎn)A和點(diǎn)B.3.作線段AB的垂直平分線m.如圖,直線m就是所要作的直線.

【探究1】利用垂直平分線的性質(zhì)尺規(guī)作圖探究與應(yīng)用【應(yīng)用】

如圖,已知△ABC,完成下列尺規(guī)作圖:(1)作AC邊上的高;(2)作BC邊上的高.解:(1)如圖線段BH即為所求.(2)如圖線段AD即為所求.

【探究2】

三角形三條邊垂直平分線的性質(zhì)的證明探究與應(yīng)用例(教材例2)已知:如圖,在△ABC中,邊AB的垂直平分線PD與邊BC的垂直平分線PE相交于點(diǎn)P.求證:邊AC的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)P.分析:要證明點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上,需要什么條件?已知的兩條垂直平分線相交于點(diǎn)P,由此你能得到哪些相關(guān)的結(jié)論?

證明:如圖,連接PA,PB,PC.∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上,∴PA=PB.同理,PB=PC.∴PA=PB=PC.∴點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上，即邊AC的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)P.

【探究2】

三角形三條邊垂直平分線的性質(zhì)的證明探究與應(yīng)用【概括新知】

三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),

并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

【探究2】

三角形三條邊垂直平分線的性質(zhì)的證明探究與應(yīng)用變式訓(xùn)練如圖△ABC,現(xiàn)要求找一點(diǎn)P,使其到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.(1)該點(diǎn)P是△ABC三條

的交點(diǎn);(選填“中線”“高線”“角平分線”或“垂直平分線”)

(2)請用無刻度的直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)P的位置(保留作圖痕跡,不寫作法).

解：(2)如圖所示,分別作出AB,BC的中垂線,

交點(diǎn)為點(diǎn)P,點(diǎn)P為所求作的點(diǎn).垂直平分線

小杰認(rèn)為:“三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部.”小明說:“小杰的說法不正確,如果這個(gè)三角形是鈍角三角形,結(jié)論就不一樣了.”(1)你認(rèn)為誰的說法正確?請用尺規(guī)作圖法作出銳角三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn),并回答這個(gè)交點(diǎn)在三角形的什么位置.(2)銳角三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)在三角形的

(填“內(nèi)部”“外部”或“邊上”)

鈍角三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)在三角形的

(填“內(nèi)部”“外部”或“邊上”)

.

【拓展提升】

探究與應(yīng)用外部

(3)直角三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)在直角三角形的什么位置?內(nèi)部在直角三角形的斜邊中點(diǎn)處

達(dá)標(biāo)測評1.P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且PA=PB=PC,則點(diǎn)P是 (

)A.三條中線的交點(diǎn)B.三條高的交點(diǎn)C.三個(gè)角的平分線的交點(diǎn) D.三邊垂直平分線的交點(diǎn)2.如果一個(gè)三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)在第三邊上,那么這個(gè)三角形是 (

)A.直角三角形 B.銳角三角形

C.鈍角三角形 D.等腰三角形3.下列說法:①若直線PE是線段AB的垂直平分線,則EA=EB,PA=PB;②若PA=PB,EA