甘肅省慶陽第六中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在公比為為q等比數(shù)列中，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則下列說法正確的是（）A. B.數(shù)列是等比數(shù)列C. D.2．如圖，在四面體中，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，則化簡的結(jié)果為（）A. B.C. D.3．已知集合，，則（）A. B.C. D.4．已知點(diǎn)，，若直線過點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.5．實(shí)數(shù)且，，則連接，兩點(diǎn)的直線與圓C：的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相切C.相交 D.不能確定6．在四面體中，空間的一點(diǎn)滿足，若共面，則（）A. B.C. D.7．直線與橢圓交于兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，則此橢圓的離心率為（）A B.C. D.8．若，則的值為（）A.或 B.或C.1 D.－19．若直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且（其中為原點(diǎn)），則的值為（）A. B.C. D.10．設(shè)雙曲線與冪函數(shù)的圖象相交于，且過雙曲線的左焦點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切于，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.11．已知拋物線的方程為，則此拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.12．過點(diǎn)且斜率為的直線方程為（）A. B.C D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，高爾頓釘板是一個(gè)關(guān)于概率的模型，每一黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆的水平位置恰好位于下一層的兩顆正中間．小球每次下落時(shí)，將隨機(jī)的向兩邊等概率的落下．當(dāng)有大量的小球都落下時(shí)，最終在釘板下面不同位置收集到小球．現(xiàn)有5個(gè)小球從正上方落下，則恰有3個(gè)小球落到2號(hào)位置的概率是______14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的長為5，若，那么△的周長是______.15．曲線的一條切線的斜率為，該切線的方程為________.16．阿波羅尼斯與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)三巨匠．“阿波羅尼斯圓”是他的代表成果之一：平面上動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之比滿足(且，t為常數(shù))，則點(diǎn)的軌跡為圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P點(diǎn)的軌跡為圓，該圓方程為_________；過點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，且，則_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)AB是過拋物線焦點(diǎn)F的弦，若，，求證：（1）；（2）（為弦AB的傾斜角）18．（12分）已知圓M過C(1，﹣1)，D(﹣1，1)兩點(diǎn)，且圓心M在x+y﹣2=0上.（1）求圓M的方程；（2）設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，求四邊形PAMB面積的最小值.19．（12分）已知拋物線，直線交于、兩點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，.（1）求的值；（2）如圖，拋物線在、兩點(diǎn)處的切線分別與軸交于、，和交于，.證明：存在實(shí)數(shù)，使得.20．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.22．（10分）已知等差數(shù)列滿足，前7項(xiàng)和為（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式的基本量運(yùn)算，即可得到答案；【詳解】，，故A錯(cuò)誤；，，顯然數(shù)列不是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，，故D成立；故選：D2、C【解析】根據(jù)向量的加法和數(shù)乘的幾何意義，即可得到答案；【詳解】故選：C3、B【解析】根據(jù)根式、分式的性質(zhì)求定義域可得集合A，解一元二次不等式求集合B，再由集合的交運(yùn)算求.【詳解】∵，，∴故選：B4、B【解析】直接利用兩點(diǎn)間的坐標(biāo)公式和直線的斜率的關(guān)系求出結(jié)果【詳解】解：直線過點(diǎn)且斜率為，與連接兩點(diǎn)，的線段有公共點(diǎn)，由圖，可知，，當(dāng)時(shí)，直線與線段有交點(diǎn)故選：B5、B【解析】由題意知，m，n是方程的根,再根據(jù)兩點(diǎn)式求出直線方程，利用圓心到直線的距離與半徑之間的關(guān)系即可求解.【詳解】由題意知，m，n是方程的根，，，過，兩點(diǎn)的直線方程為：，圓心到直線的距離為：，故直線和圓相切，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】根據(jù)四點(diǎn)共面的向量表示，可得結(jié)果.【詳解】由共面知，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中四點(diǎn)共面的向量表示，屬基礎(chǔ)題.7、D【解析】根據(jù)題意作出示意圖，根據(jù)圓的性質(zhì)以及直線的傾斜角求解出的長度，再根據(jù)橢圓的定義求解出的關(guān)系，則橢圓離心率可求.【詳解】設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，如下圖：因?yàn)橐跃€段為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，所以且，所以，又因?yàn)榈膬A斜角為，所以，所以為等邊三角形，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，故選：D.8、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由方程求解即可.【詳解】，，解得或，故選：B9、D【解析】分析出為等腰直角三角形，可得出原點(diǎn)到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于的等式，由此可解得的值.【詳解】圓的圓心為原點(diǎn)，由于且，所以，為等腰直角三角形，且圓心到直線的距離為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用圓周角求參數(shù)，解題的關(guān)鍵在于求出弦心距，再利用點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解參數(shù).10、B【解析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立，利用判別式可得，進(jìn)而可求，再結(jié)合雙曲線的定義可求，即得.【詳解】可設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，由題意得,∴，，∴，即，由雙曲線定義得，.故選：B.11、A【解析】由拋物線的方程直接寫出其準(zhǔn)線方程即可.【詳解】由拋物線的方程為，則其準(zhǔn)線方程為：故選：A12、B【解析】利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.【詳解】由題意可知所求直線的方程為，即.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先研究一個(gè)小球從正上方落下的情況，從而可求出一個(gè)小球從正上方落下落到2號(hào)位置的概率，進(jìn)而可求出5個(gè)小球從正上方落下，則恰有3個(gè)小球落到2號(hào)位置的概率【詳解】如圖所示，先研究一個(gè)小球從正上方落下的情況，11，12，13，14指小球第2層到第3層的線路圖，以此類推，小球所有的路線情況如下：01-11-21-31，01-11-21-32，01-11-22-33，01-11-22-34，01-12-23-33，01-12-23-34，01-12-24-35，01-12-24-36，02-14-26-38，02-14-26-37，02-14-25-35，02-14-25-36，02-13-24-36，02-13-24-35，02-13-23-34，02-13-23-33，共16種情況，其中落入2號(hào)位置的有4種，所以每個(gè)球落入2號(hào)位置的概率為，所以5個(gè)小球從正上方落下，則恰有3個(gè)小球落到2號(hào)位置的概率為，故答案為：14、16【解析】利用橢圓的定義可知，又△的周長，即可求焦點(diǎn)三角形的周長.【詳解】由橢圓定義知：，所以△的周長為.故答案為：16.15、【解析】使用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式求得切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義等于切線斜率求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到切點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)斜式求出切線方程即可.【詳解】的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)切點(diǎn)為，可得，解得，即有切點(diǎn)，則切線的方程為，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的加法運(yùn)算，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，和求切線方程，難度不大，關(guān)鍵是正確的使用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式求得切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，16、①.②.【解析】設(shè)，根據(jù)可得圓的方程，利用垂徑定理可求.【詳解】設(shè)，則，整理得到，即.因?yàn)椋蕿榈闹悬c(diǎn)，過圓心作的垂線，垂足為，則為的中點(diǎn)，則，故，解得，故答案為：，.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)直線的方程為，代入，再利用韋達(dá)定理，即可得到結(jié)論；（2）由拋物線的定義，結(jié)合余弦函數(shù)的定義，即可得到的長，同理可得的長，兩式相乘即可證明；【小問1詳解】證明：由題意設(shè)直線的方程為，代入，可得，所以；【小問2詳解】證明：如圖，不妨設(shè)弦AB的傾斜角為銳角，作垂直于拋物線準(zhǔn)線,垂足為M,N,由拋物線的定義可得，所以，同理可得，,所以，當(dāng)為直角或鈍角時(shí)，同理可證明，故.18、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)圓的方程為：，由已知列出方程組，解之可得圓的方程；（2）由已知得四邊形的面積為，即有，又有.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求得答案.【詳解】解：（1）設(shè)圓方程為：，根據(jù)題意得，故所求圓M的方程為：；（2）如圖，四邊形的面積為，即又，所以，而，即.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，的最小值即為點(diǎn)到直線的距離所以，四邊形面積的最小值為.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）將代入拋物線的方程，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式可得出關(guān)于的等式，即可解得正數(shù)的值；（2）將代入，列出韋達(dá)定理，求出兩切線方程，進(jìn)而可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，分、兩種情況討論，在時(shí)，推導(dǎo)出、、重合，可得出；在時(shí)，求出的中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率關(guān)系可得出，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】解：將代入得，設(shè)、，則，由韋達(dá)定理可得，則，解得或（舍），故.【小問2詳解】解：將代入中得，設(shè)、，則，由韋達(dá)定理可得，對(duì)求導(dǎo)得，則拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，即，①同理拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，②聯(lián)立①②得，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，即切線與交于軸上一點(diǎn)，此時(shí)、、重合，由，則，又，則存在使得成立；當(dāng)時(shí)，切線與軸交于點(diǎn)，切線與軸交于點(diǎn)，由，得的中點(diǎn)，由得，即，又，所以，所以，，又，所以存在實(shí)數(shù)使得成立.綜上，命題成立.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.20、（1）（2）【解析】（1）利用與的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.【小問1詳解】因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，兩式相減得，又由題設(shè)可得，從而的通項(xiàng)公式為：；【小問2詳解】因?yàn)?，，兩式相減得：所以.21、（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）證明見解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，利用求得的單調(diào)區(qū)間.（2）將問題轉(zhuǎn)化為證明，利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值大于零，從而證得不等式成立.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，且，又與均在上單調(diào)遞增，所以