函數(shù)y=19x?-53x2+37的性質(zhì)及其圖像示意圖本文主要內(nèi)容：介紹函數(shù)y=19x?-53x2+37的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、極限和凸凹性，并通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識(shí)計(jì)算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和凸凹區(qū)間。函數(shù)的定義域：根據(jù)函數(shù)的特征，函數(shù)自變量x可以取全體實(shí)數(shù)，即函數(shù)的定義域?yàn)椋海?∞，+∞）。函數(shù)的值域：因?yàn)閥=19x?-53x2+37，則：19x?-53x2+37-y=0,對x2的二次方程有解，則：判別式△=532-4*19(-y)≥0，即：4*19y≥4*19*37-532，解得y≥eq\f(3,76)≈0.04故函數(shù)的值域?yàn)椋篬eq\f(3,76),+∞)。函數(shù)的單調(diào)性：∵y=19x?-53x2+37,∴eq\f(dy,dx)=4*19x3-2*53x,令eq\f(dy,dx)=0,則：4*19x3-2*53x=0,x(38x2-53)=0,即x?=0，或者x2=eq\f(53,38),進(jìn)一步求出：x?=-eq\f(1,38)eq\r(2014),x?=0,x?=eq\f(1,38)eq\r(2014)≈1.18,則：(1)當(dāng)x∈(-∞,-eq\f(1,38)eq\r(2014)],(0,eq\f(1,38)eq\r(2014))時(shí)，eq\f(dy,dx)<0,則此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，該區(qū)間為減區(qū)間。(2)當(dāng)x∈[-eq\f(1,38)eq\r(2014),0],[eq\f(1,38)eq\r(2014),+∞)時(shí)，eq\f(dy,dx)>0,則此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，該區(qū)間為增區(qū)間,當(dāng)x0=±eq\f(1,38)eq\r(2014)時(shí)，y有最小值：ymin=f(±eq\f(1,38)eq\r(2014))=19*(±eq\f(1,38)eq\r(2014))?-53*(±eq\f(1,38)eq\r(2014))2+37=eq\f(3,76).函數(shù)的奇偶性：∵f(x)=y=19x?-53x2+37,∴f(-x)=19*(-x)?-53*(-x)2+37=19x?-53x2+37=f(x).即函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱。函數(shù)的極限：eq\s(lim,x→0)19x?-53x2+37=37;eq\s(lim,x→-∞)19x?-53x2+37=+∞;eq\s(lim,x→+∞)19x?-53x2+37=+∞.函數(shù)的凸凹性∵eq\f(dy,dx)=76x3-106x,∴eq\f(d2y,dx2)=228x2-106,令eq\f(d2y,dx2)=0，則：x2=eq\f(53,114),即：x?=-eq\f(1,114)eq\r(6042),x?=eq\f(1,114)eq\r(6042)≈0.68;則：(1)當(dāng)x∈(-∞,-eq\f(1,114)eq\r(6042)),(eq\f(1,114)eq\r(6042),+∞)時(shí)，eq\f(d2y,dx2)>0,則此時(shí)函數(shù)為凹函數(shù)，該區(qū)間為凹區(qū)間。(2)當(dāng)x∈[-eq\f(1,114)eq\r(6042)，eq\f(1,114)eq\r(6042)]時(shí)，eq\f(d2y,dx2)<0,則此時(shí)函數(shù)為凸函數(shù)，該區(qū)間為凸區(qū)間。函數(shù)的五點(diǎn)圖x00.680.931.181.4319x?04.0614.2136.8479.4553x2024.5145.8473.80108.38y3716.555.370.048.07x-1.43-1.18-0.93-0.68019x?79.4536.8414.214.06053x2108.3873.8045.8424.510y8.070.045.3716.5537函數(shù)的示意圖：y=19x?-53x2+37y(0,37)(-0.68,16.55)(0.68,16.55)(-1.43,8.07)