（人教版）數(shù)學(xué)

九年級(jí)上21.3.3

面積問(wèn)題1.能通過(guò)構(gòu)建一元二次方程模型解決幾何圖形面積問(wèn)題.學(xué)習(xí)目標(biāo)2.發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的等量關(guān)系.新課引入解決方程(組)實(shí)際問(wèn)題的一般步驟:(1)審：審題，明確題意；(2)設(shè)：用字母表示題目中的未知數(shù)；(3)找：找出等量關(guān)系；(4)列：根據(jù)等量關(guān)系列出一元二次方程；(5)解：求方程（組）的解；(6)檢：檢驗(yàn)解是否符合方程，是否符合實(shí)際；(7)答：寫(xiě)出答案并作答.探究

如圖，要設(shè)計(jì)一本書(shū)的封面，封面長(zhǎng)27cm，寬21cm，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長(zhǎng)寬比例相同的矩形.如果要使四周的邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度？(精確到0.1cm)27cm21cm新知學(xué)習(xí)中央圖形長(zhǎng)×中央圖形寬=中央圖形長(zhǎng)

：中央圖形寬=9a

：7a封面長(zhǎng)

：封面寬=9：7上下邊襯

：左右邊襯=9：7分析：封面的長(zhǎng)寬之比是27:21＝9:7，中央的矩形的長(zhǎng)寬之比也應(yīng)是9:7.設(shè)中央的矩形的長(zhǎng)和寬分別是9acm和7acm，由此得上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是

＝9:727cm21cm解：設(shè)上下邊襯的寬為9xcm，左右邊襯的寬為7xcm，則中央長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為(2718x)cm，中央長(zhǎng)方形的寬為(2114x)cm，依題意得整理，得解方程，得所以x1≈2.8，x2≈0.2所以9x1=25.2(舍去)，9x2=1.8，7x2=1.4上下邊襯過(guò)于大，不符合題意∴上、下邊襯的寬均為1.8cm，左、右邊襯的寬均為1.4cm思考

如果換一種設(shè)未知數(shù)的方法，是否可以更簡(jiǎn)單地解決上面的問(wèn)題？請(qǐng)你試一試．解：設(shè)正中央的矩形兩邊長(zhǎng)分別為9xcm，7xcm.

依題意得

解得故上下邊襯的寬度為：左右邊襯的寬度為：例1如圖，在一塊寬為20m，長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑同樣寬的兩條道路，余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為540m2，則道路的寬為多少？2032xx20x32x利用“圖形經(jīng)過(guò)移動(dòng)，它的面積大小不會(huì)改變”的性質(zhì)，把縱、橫兩條路移動(dòng)一下，使圖形變成規(guī)則的，則列方程就容易些解：設(shè)道路的寬為x米，則實(shí)際寬為(32x)cm，實(shí)際長(zhǎng)為(20x)cm.(32x)(20x)=540整理，得

x22x+100=0解得x1=2，x2=50當(dāng)x=50時(shí)，32x=18（不合題意，舍去）.

∴取x=2.答：道路的寬為2米.2032xx20x32x2032xx20x32x例2如下圖，利用一面墻(墻的長(zhǎng)度不限)，用20m長(zhǎng)的籬笆，怎樣圍成一個(gè)面積為50m2的矩形場(chǎng)地？解：設(shè)與墻垂直的籬笆長(zhǎng)為xm，則與墻平行的籬笆長(zhǎng)為(202x)m.

由題意得：x(202x)=50，整理得：

x210x+25=0，解得：

x1=x2=5，所以202x=10.答：

用20m長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)為10m，寬為5m的矩形(其中一邊長(zhǎng)10m，另外兩邊長(zhǎng)5m).1.《田畝比類乘除捷法》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝的著作，其中有一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：“直田積八百六十四步，只云長(zhǎng)闊共六十步，問(wèn)長(zhǎng)多闊幾何”．意思是：一塊矩形田地的面積為

864平方步，只知道它的長(zhǎng)與寬共

60步，問(wèn)它的長(zhǎng)比寬多多少步？請(qǐng)解答上述問(wèn)題．

解：設(shè)長(zhǎng)為x步，則寬為(60－x)步，由題意，得x(60－x)＝864，

解得x1＝36，x2＝24(舍去)，∴x＝36，60－x＝24，∴長(zhǎng)比寬多36－24＝12步．答：長(zhǎng)比寬多12步．隨堂練習(xí)2.在寬為28m，長(zhǎng)為30m的矩形地面上修筑同樣寬的道路，余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為675m2，則這種方案下的道路的寬為多少？整理，得x2–58x+165=0解得x1=3，x2=55當(dāng)x=55時(shí)，30–x=25，不合題意，舍去.∴取x=3.答：道路的寬為3米.解：設(shè)道路的寬為x米.(30–x)(28–x)=675可列方程為3.李大爺要建一個(gè)矩形羊圈，羊圈的一邊利用長(zhǎng)12m的住房墻，另外三邊用25

m長(zhǎng)的彩鋼圍成，為了方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留了一扇1m寬的門.若要使羊圈的積為80m2,則所圍矩形與墻垂直的一邊長(zhǎng)為多少米？你會(huì)解這道題嗎？解：設(shè)所圍矩形與墻垂直的一邊為xm，則與墻平行的一邊長(zhǎng)為(25+12x)m.由題意得：x(25+12x)=80，整理得：

x213x+40=0，解得：

x1=5，x2=8，當(dāng)x=5時(shí)，25+12x=25+12×5=16>12，不符合題意，舍去；當(dāng)x=8時(shí)，25+12x=25+12×8=10<12，符合題意，所以x=8答：

所圍矩形與墻垂直的一邊長(zhǎng)為8m.4.如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm.點(diǎn)P沿AC邊從點(diǎn)A向終點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q沿CB邊從點(diǎn)C向B以2cm/s的速度移動(dòng)，且當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止移動(dòng).問(wèn)點(diǎn)P，Q出發(fā)幾秒后可使△PCQ的面積為9cm2？解：若設(shè)出發(fā)xs后可使△PCQ的面積為9cm2.根據(jù)題意得AP=

xcm,PC=(6x)cm,CQ=2xcm,有解得x1=x2=3

答：點(diǎn)P，Q出發(fā)3s后可使△PCQ的面積為9cm2.5.（20XX山東）如圖，老李想用長(zhǎng)為70m的柵欄，再借助房屋的外墻(外墻足夠長(zhǎng))圍成一個(gè)矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個(gè)2m寬的門(建在EF處，另用其他材料)．(1)當(dāng)羊圈的長(zhǎng)和寬分別為多少米時(shí)，能圍成一個(gè)面積為640m2的羊圈？解：(1)設(shè)矩形ABCD的邊AB＝xm，則邊BC＝70－2x＋2＝(72－2x)m，根據(jù)題意，得x(72－2x)＝640，化簡(jiǎn)，得x2－36x＋320＝0，解得x1＝16，x2＝20，當(dāng)x＝16時(shí)，72－2x＝72－32＝40；當(dāng)x＝20時(shí)，72－2x＝72－40＝32.答：當(dāng)羊圈的長(zhǎng)為40m，寬為16m或長(zhǎng)為32m，寬為20m時(shí)，能圍成一個(gè)面積為640m2的羊圈；(2)羊圈的面積能達(dá)到650m2嗎？如果能，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)