3.2.1雙曲線及其標準方程【考點梳理】考點一：雙曲線的定義1．定義：平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡．2．定義的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．3．焦點：兩個定點F1，F2.4．焦距：兩焦點間的距離，表示為|F1F2|.考點二：雙曲線標準方程焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)焦點(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的關系c2＝a2＋b2重難點技巧：（1）,,表示雙曲線；（2）,,表示兩條射線；（3）,表示雙曲線的一支；（4）,表示一條射線.【題型歸納】題型一：雙曲線的定義1．（2023秋·高二）已知雙曲線的下、上焦點分別為，，是雙曲線上一點且，則雙曲線的標準方程為（

）A． B．C． D．2．（2023秋·高二課）已知點，動點滿足，則動點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．3．（2023春·內蒙古呼倫貝爾·高二海拉爾第一中學?？计谀┰O橢圓的離心率為，焦點在軸上且長軸長為26，若曲線上的點到橢圓的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線的標準方程為（

）A． B．C． D．題型二：利用雙曲線的定義求軌跡方程4．（2023·全國·高二專題練習）動圓P過定點M(0，2)，且與圓N：相內切，則動圓圓心P的軌跡方程是（

）A． B．C． D．5．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二哈九中校考期末）是一個動點，與直線垂直，垂足位于第一象限，與直線垂直，垂足位于第四象限，若四邊形（為原點）的面積為4，則動點的軌跡方程是（

）A． B． C． D．6．（2023·全國·高二專題練習）已知圓，為圓心，為圓上任意一點，定點，線段的垂直平分線與直線相交于點，則當點在圓上運動時，點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．題型三：雙曲線中的焦點三角形問題7．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，直線經過且與的右支相交于A，B兩點，若，則的周長為（

）A．6 B．8 C．10 D．128．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線，直線l過其上焦點，交雙曲線上支于A，B兩點，且，為雙曲線下焦點，的周長為18，則m值為（

）A．8 B． C．10 D．9．（2023·全國·高二專題練習）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，若點到該雙曲線漸近線的距離為1，點在雙曲線上，若，則的面積為（

）A． B． C． D．題型四：雙曲線的參數問題10．（2023·全國·高二專題練習）若曲線表示雙曲線，那么實數k的取值范圍是（

）A． B．C． D．11．（2022秋·江蘇徐州·高二?？计谥校┤舴匠趟硎镜那€是雙曲線，則它的焦點坐標是（

）A． B． C． D．12．（2022秋·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）若方程表示雙曲線，則實數m的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型五：雙曲線的標準方程的求法13．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線為坐標原點，為雙曲線的兩個焦點，點為雙曲線上一點，若，則雙曲線的方程可以為（

）A． B．C． D．14．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線經過點，且與橢圓有相同的焦點，則雙曲線的標準方程為（

）A． B． C． D．15．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，，P為C上一點，的中點為Q，為等邊三角形，則雙曲線C的方程為（

）．A． B．C． D．題型六：雙曲線中的最值問題16．（2023秋·全國·高二期中）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線內一點，點A在雙曲線的右支上，則的最小值為（

）A． B． C． D．17．（2023·全國·高二專題練習）已知點，是雙曲線的左、右焦點，點P是雙曲線C右支上一點，過點向的角平分線作垂線，垂足為點Q，則點和點Q距離的最大值為（

）A．2 B． C．3 D．418．（2023·全國·高二專題練習）已知點，雙曲線的左焦點為，點在雙曲線的右支上運動.當的周長最小時，（

）A． B． C． D．題型七：雙曲線方程的綜合問題19．（2023·全國·高二隨堂練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)，焦點在x軸上，且過點；(2)，一個焦點的坐標是；(3)經過兩點，．20．（2023·全國·高二隨堂練習）如圖，雙曲線的左、右焦點分別為，，P為C的右支上一點，且，求的面積．

21．（2023·全國·高二專題練習）若雙曲線C：上一點到左、右焦點的距離之差的絕對值為2.(1)求雙曲線C的方程；(2)設、是雙曲線的左、右焦點，點P是雙曲線上的點，若，求的面積.【雙基達標】單選題22．（2023春·四川遂寧·高二射洪中學校）已知方程表示的焦點在y軸的雙曲線，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．23．（2023春·四川遂寧·高二射洪中學校考期中）設是雙曲線左支上的動點，分別為左右焦點，則（

）A． B． C．4 D．24．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若橢圓與雙曲線有相同的焦點，則m=（）A． B．1或2C．1或 D．125．（2023·全國·高二隨堂練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)兩焦點坐標為，，且；(2)兩焦點坐標為，，且經過點；(3)焦點在y上，且經過點和．26．（2023·全國·高二課堂例題）已知方程．(1)若方程表示雙曲線，求a的取值范圍；(2)試說明（1）中的雙曲線有共同的焦點．【高分突破】一、單選題27．（2023秋·高二單元測試）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點，左右頂點分別為，離心率為，點為雙曲線C上一點，直線的斜率之和為，的面積為，則（

）A． B． C． D．28．（2023·全國·高二專題練習）設雙曲線的左焦點為，點為雙曲線右支上的一點，且與圓相切于點，為線段的中點，為坐標原點，則（

）A． B．-1 C． D．229．（2023·全國·高二專題練習）設F1，F2是雙曲線的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且，則的面積等于（

）A．24 B．15 C．12 D．3030．（2023·全國·高二專題練習）已知，是雙曲線的左、右焦點，點M在雙曲線的右支上，設M到直線的距離為d，則的最小值為（

）A．7 B． C．8 D．31．（2023·全國·高二專題練習）設，分別是雙曲線的左右焦點，過作軸的垂線與交于，兩點，若為正三角形，則的面積為（

）A． B．4 C． D．332．（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線的焦點為，，過的直線與的左支相交于兩點，過的直線與的右支相交于，兩點，若四邊形為平行四邊形，以為直徑的圓過，，則的方程為（

）A． B．C． D．二、多選題33．（2023秋·高二課時練習）已知是雙曲線的兩個焦點．若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，則點M到另一個焦點的距離為（

）A．8 B．10C．22 D．3234．（2023秋·高二單元測試）若方程所表示的曲線為，則下面四個說法中正確的是（

）A．若，則為橢圓B．若為橢圓，且焦點在軸上，則C．曲線可能是圓D．若為雙曲線，則35．（2022秋·江西上饒·高二校考階段練習）已知雙曲線）的左，右兩個頂點分別是，左、右兩個焦點分別是，是雙曲線上異于的一點，給出下列結論，其中正確的是（

）A．存在點，使B．存在點，使得直線的斜率的絕對值之和C．使得應為等腰三角形的點有且僅有四個D．若，則36．（2023·全國·高二專題練習）已知，分別是雙曲線C：的左、右焦點，P是C上一點，且位于第一象限，，則（

）A．P的縱坐標為 B．C．的周長為 D．的面積為4三、填空題37．（2023春·四川遂寧·高二射洪中學?？茧A段練習）雙曲線的焦點為，，點P在雙曲線上，若，則.38．（2023秋·高二課時練習）已知是雙曲線的左焦點，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為.39．（2023·全國·高二課堂例題）已知雙曲線的方程是，點P在雙曲線上，且到其中一個焦點的距離為10，點N是的中點，O為坐標原點，則.40．（2023·全國·高二課堂例題）如圖所示，已知定圓：，定圓：，動圓M與定圓，都外切，則動圓圓心M的軌跡方程為.

41．（2023秋·高二課時練習）已知圓錐曲線的方程：.當為正整數，且時，存在兩條曲線、，其交點與點滿足，則滿足題意的有序實數對共有對.四、解答題42．（2023·全國·高二專題練習）經過雙曲線的左焦點作斜率