福建閩侯第六中學(xué)2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程為（）A. B.C. D.2．饕餮紋是青銅器上常見(jiàn)的花紋之一，最早見(jiàn)于長(zhǎng)江中下游地區(qū)的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．將青銅器中的饕餮紋的一部分畫(huà)到方格紙上，如圖所示，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為一個(gè)單位長(zhǎng)度，有一點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，每次向右或向下跳一個(gè)單位長(zhǎng)度，且向右或向下跳是等可能的，那么點(diǎn)經(jīng)過(guò)3次跳動(dòng)后恰好是沿著饕餮紋的路線到達(dá)點(diǎn)的概率為（）A. B.C. D.3．已知變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，它們之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示，若y關(guān)于x的線性回歸方程為，則m＝（）x1234y0.11.8m4A.3.1 B.4.3C.1.3 D.2.34．若，則下列等式一定成立的是（）A. B.C. D.5．已知?jiǎng)又本€的傾斜角的取值范圍是，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)是定義在上奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，有成立，則不等式的解集是（）A. B.C. D.7．中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則等于（）A. B.C. D.8．對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)圖象都有對(duì)稱(chēng)中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱(chēng)中心.設(shè)函數(shù)，則（）A. B.C. D.9．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積，已知橢圓的面積為，、分別是的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線交于、兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為，則的離心率為（）A. B.C. D.10．兩位同學(xué)課余玩一種類(lèi)似于古代印度的“梵塔游戲”：有3個(gè)柱子甲、乙、丙，甲柱上有個(gè)盤(pán)子，最上面的兩個(gè)盤(pán)子大小相同，從第二個(gè)盤(pán)子往下大小不等，大的在下，小的在上（如圖）.把這個(gè)盤(pán)子從甲柱全部移到乙柱游戲結(jié)束，在移動(dòng)的過(guò)程中每次只能移動(dòng)一個(gè)盤(pán)子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3個(gè)柱子上的盤(pán)子始終保持小的盤(pán)子不能放在大的盤(pán)子之下.設(shè)游戲結(jié)束需要移動(dòng)的最少次數(shù)為，則當(dāng)時(shí)，和滿足A. B.C. D.11．為了調(diào)查全國(guó)人口的壽命，抽查了11個(gè)?。ㄊ校┑?500名城鎮(zhèn)居民，這2500名城鎮(zhèn)居民的壽命的全體是（）A.總體 B.個(gè)體C.樣本 D.樣本容量12．已知F是雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)F且垂直于x軸的直線交E于A，B兩點(diǎn)，若E的漸近線上恰好存在四個(gè)點(diǎn)，，，，使得，則E的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，上頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別是，，且的面積為，點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是______.14．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為的右支上一點(diǎn)，且，則的離心率為_(kāi)__________.15．設(shè)為第二象限角，若，則__________16．已知直線與雙曲線無(wú)公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，是1和的等差中項(xiàng)（1）求角；（2）若的平分線交于點(diǎn)，且，求的面積18．（12分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作斜率為的弦.求：（1）弦的長(zhǎng)；（2）△的周長(zhǎng).19．（12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．（12分）已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）在△中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，.（1）求的大小及△的面積；（2）求的值.22．（10分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，其中.（1）記，求證：是等比數(shù)列；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】共漸近線的雙曲線方程，設(shè)，把點(diǎn)代入方程解得參數(shù)即可.【詳解】設(shè)，把點(diǎn)代入方程解得參數(shù)，所以化簡(jiǎn)得方程故選：C.2、B【解析】利用古典概型的概率求解.【詳解】解：點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，每次向右或向下跳一個(gè)單位長(zhǎng)度，跳3次，則樣本空間{（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）}，記“3次跳動(dòng)后，恰好是沿著饕餮紋的路線到達(dá)點(diǎn)B”為事件，則{（下，下，右）}，由古典概型的概率公式可知故選：B3、A【解析】先求得樣本中心，代入回歸方程，即可得答案.【詳解】由題意得，又樣本中心在回歸方程上，所以，解得.故選：A4、D【解析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等可用表示出，進(jìn)而得到之間關(guān)系.【詳解】，，，則.故選：D.5、B【解析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系可得，即可求m的范圍.【詳解】由題設(shè)知：直線斜率范圍為，即，可得.故選：B.6、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，分析該函數(shù)的定義域與奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上為增函數(shù)，從而可知該函數(shù)在上為減函數(shù)，綜合可得出原不等式的解集.【詳解】令，則函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則函數(shù)為偶函數(shù)，所以，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為減函數(shù)，由等價(jià)于或：當(dāng)時(shí)，由可得；當(dāng)時(shí)，由可得.綜上所述，不等式的解集為.故選：A.7、A【解析】由題得，進(jìn)而根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】解：依題意，即，所以，所以，由于，所以故選：A8、B【解析】根據(jù)“拐點(diǎn)”的概念可判斷函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，進(jìn)而求解.【詳解】，，，令，解得：，而，故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，，故選：B.9、A【解析】本題首先可根據(jù)題意得出，然后根據(jù)的周長(zhǎng)為得出，最后根據(jù)求出的值，即可求出的離心率.【詳解】因?yàn)闄E圓的面積為，所以長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，所以根據(jù)橢圓的定義易知，，，，則的離心率，故選：A.10、C【解析】通過(guò)寫(xiě)出幾項(xiàng)，尋找規(guī)律，即可得到和滿足的遞推公式.【詳解】若甲柱有個(gè)盤(pán)，甲柱上的盤(pán)從上往下設(shè)為，其中，，當(dāng)時(shí)，將移到乙柱，只移動(dòng)1次；當(dāng)時(shí)，將移到乙柱，將移到乙柱，移動(dòng)2次；當(dāng)時(shí)，將移到丙柱，將移到丙柱，將移到乙柱，再將移到乙柱，將移到乙柱，；當(dāng)時(shí)，將上面的3個(gè)移到丙柱，共次，然后將移到乙柱，再將丙柱的3個(gè)移到乙柱，共次，所以次；當(dāng)時(shí)，將上面的4個(gè)移到丙柱，共次，然后將移到乙柱，再將丙柱的4個(gè)移到乙柱，共次，所以次；……以此類(lèi)推，可知，故選.【點(diǎn)睛】主要考查了數(shù)列遞推公式的求解，屬于中檔題.這類(lèi)型題的關(guān)鍵是寫(xiě)出幾項(xiàng)，尋找規(guī)律，從而得到對(duì)應(yīng)的遞推公式.11、C【解析】由樣本的概念即知.【詳解】由題意可知，這2500名城鎮(zhèn)居民的壽命的全體是樣本.12、D【解析】由題意以AB為直徑的圓M與雙曲線E的漸近線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則必有，又當(dāng)圓M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)此時(shí)以AB為直徑的圓M上與雙曲線E的漸近線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，不滿足，從而得出答案.【詳解】由題意，由得，雙曲線的漸近線方程為所以，由，可知，，，在以AB為直徑的圓M上，圓的半徑為即以AB為直徑的圓M與雙曲線E的漸近線有四個(gè)不同的交點(diǎn)當(dāng)圓M與漸近線相切時(shí)，圓心到漸近線的距離，則必有，即，則雙曲線E的離心率，所以又當(dāng)圓M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，，解得E的離心率為，此時(shí)以AB為直徑圓M與雙曲線E的漸近線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，不滿足條件.所以E的離心率的取值范圍是.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)的面積和短軸長(zhǎng)得出a，b，c的值，從而得出的范圍，得到關(guān)于的函數(shù)，從而求出答案【詳解】由已知得，故，∵的面積為，∴，∴，又，∴，，∴，又，∴，∴.即的取值范圍為.故答案為點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，函數(shù)最值的計(jì)算，熟練掌握橢圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題14、【解析】由雙曲線定義可得a，代入點(diǎn)P坐標(biāo)可得b，然后可解.【詳解】由題知，故，又點(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，所以.故答案為：15、【解析】先求出，再利用二倍角公式求的值.【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿?，若，所?所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，考查二倍角的正弦公式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】聯(lián)立直線得，由無(wú)公共點(diǎn)得，進(jìn)而得，即可求出離心率的取值范圍.【詳解】聯(lián)立直線與雙曲線可得，整理得，顯然，由方程無(wú)解可得，即，則，，又離心率大于1，故離心率的取值范圍是.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)是1和的等差中項(xiàng)得到，再利用正弦定理結(jié)合商數(shù)關(guān)系，兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)得到求解；（2）由和求得b，c的關(guān)系，再結(jié)合余弦定理求解即可.【詳解】（1）由已知得，在中，由正弦定理得，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，所以；?）由正弦定理得，又，即，由余弦定理得，所以，所以【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更適合，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到18、（1）；（2）.【解析】（1）聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)之間的距離公式即可求得；（2）根據(jù)（1）中所求，利用兩點(diǎn)之間的距離公式，即可求得三角形周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，由題意知雙曲線的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，直線的方程，與聯(lián)立得，解得，代入的方程為分別解得.所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，，所以△的周長(zhǎng)為.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可；（2）利用分組求和法，結(jié)合錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題知：所以又因?yàn)樗运詳?shù)列為以－1為首項(xiàng)，－1為公比的等比數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，所以，，記，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；記兩式相減得：，所以，所以，當(dāng)偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，通過(guò)解方程求出公比，即可求解；（2）根據(jù)題意，求出，結(jié)合組合法求和，即可求解.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，設(shè)公比為，且，∵，，∴，解得或（舍），∴.【小問(wèn)2詳解】根據(jù)題意，得，故，因此.21、（1），△的面積為；（2）.【解析】（1）應(yīng)用余弦定理求的大小，由三角形面積公式求△的面積；（2）由（1）及正弦定理的邊角關(guān)系可得，即可求目標(biāo)式的值.【小問(wèn)1詳解】在△中，由余弦定理得：，又，則