第五單元平行四邊形課時(shí)21矩形、菱形、正方形目錄CONTENTS知識(shí)梳理考點(diǎn)精練江西中考教材變式知識(shí)梳理一、矩形的性質(zhì)與判定文字語言幾何語言性質(zhì)兩組對(duì)邊分別①__________AD＝BC，AD∥BC，AB＝DC，AB∥DC四個(gè)角都是②__________角∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°對(duì)角線互相平分且相等AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD平行且相等

直文字語言幾何語言性質(zhì)矩形既是③__________對(duì)稱圖形，又是④__________對(duì)稱圖形．對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)，有⑤__________條對(duì)稱軸(分別過兩對(duì)邊中點(diǎn)的直線)軸中心兩文字語言幾何語言判定(定義)有一個(gè)角是⑥__________的平行四邊形是矩形∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形∵∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∴四邊形ABCD是矩形對(duì)角線⑦_(dá)_________的平行四邊形是矩形∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形直角相等二、菱形的性質(zhì)與判定文字語言幾何語言性質(zhì)兩組對(duì)邊分別平行，四條邊⑧________AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝BC兩組對(duì)角分別相等∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC對(duì)角線互相⑨________，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角AC⊥BD于點(diǎn)O，OA＝OC，OB＝OD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC相等垂直平分文字語言幾何語言性質(zhì)菱形的面積等于其對(duì)角線乘積的一半．菱形既是中心對(duì)稱圖形，又是⑩__________對(duì)稱圖形．對(duì)稱中心是?________________，有兩條對(duì)稱軸(兩條對(duì)角線所在的直線)

軸對(duì)角線的交點(diǎn)文字語言幾何語言判定(定義)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形四條邊相等的四邊形是菱形∵AB＝BC＝CD＝AD，∴四邊形ABCD是菱形對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形三、正方形的性質(zhì)與判定文字語言幾何語言性質(zhì)四條邊?__________AB＝BC＝CD＝AD四個(gè)角都是?__________角∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°對(duì)角線相等且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角AC⊥BD于點(diǎn)O，OA＝OC＝OB＝OD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC相等直文字語言幾何語言性質(zhì)正方形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)，有?__________條對(duì)稱軸(分別為過兩對(duì)邊中點(diǎn)的直線和兩條對(duì)角線所在的直線)四文字語言幾何語言判定有一組鄰邊?________的矩形是正方形∵四邊形ABCD是矩形，AB＝AD，∴四邊形ABCD是正方形有一個(gè)角是?________的菱形是正方形∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是正方形對(duì)角線?________的矩形是正方形∵四邊形ABCD是矩形，AC⊥BD，∴四邊形ABCD是正方形對(duì)角線相等的菱形是正方形∵四邊形ABCD是菱形，AC＝BD，∴四邊形ABCD是正方形相等直角互相垂直四、平行四邊形、矩形、菱形與正方形之間的聯(lián)系

考點(diǎn)精練例1如圖1，矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，∠CAE＝15°，則下面的結(jié)論：①△ODC是等邊三角形；②BC＝2AB；③∠AOE＝135°；④S△AOE＝S△COE.其中正確的有(

)A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)考點(diǎn)矩形的性質(zhì)與判定圖1

C圖2

B2．如圖3，將一個(gè)邊長(zhǎng)分別為4，8的矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合(AB＝4，BC＝8)，折痕為EF，則AF的長(zhǎng)度為(

)A．3 B．4C．5 D．6圖3

C3．如圖4，在平行四邊形ABCD中，BD⊥AB，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.(1)求證：四邊形BDFG是矩形；(2)若AE平分∠BAD，求tan∠BAE的值．圖4

(1)證明：∵BD⊥AB，EF⊥CD，∴∠ABD＝90°，∠EFD＝90°.∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD＝90°.∴∠BDC＋∠EFD＝180°.∴BD∥GF.∴四邊形BDFG為平行四邊形．∵∠BDC＝90°，∴四邊形BDFG為矩形．(2)解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE.∵AD∥BC，∴∠BEA＝∠DAE.∴∠BAE＝∠BEA.∴BA＝BE.在Rt△BCD中，點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，∴BE＝ED＝EC.拓展

4．如圖5，在矩形ABCD中，點(diǎn)G在AD上，且GD＝AB＝1，AG＝2，點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合)，連接GB，GE，將△GBE關(guān)于直線GE對(duì)稱的三角形記作△GFE，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到使點(diǎn)F落在矩形任意一邊所在的直線上時(shí)，所有滿足條件的線段BE的長(zhǎng)是_______________．考點(diǎn)菱形的性質(zhì)與判定圖6

(1)證明：∵AB∥DC，∴∠CAB＝∠DCA.∵AC為∠DAB的平分線，∴∠CAB＝∠DAC.∴∠DCA＝∠DAC.∴DC＝AD＝AB.∵AB∥DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵AD＝AB，∴四邊形ABCD是菱形．(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC.圖7

C6．如圖8，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.AC＝8cm，BD＝6cm，點(diǎn)P為AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，當(dāng)t＝__________s時(shí)，△PAB為等腰三角形．圖8

例3

在正方形ABCD中，對(duì)角線BD所在的直線上有兩點(diǎn)E，F(xiàn)滿足BE＝DF，連接AE，AF，CE，CF，如圖9所示．(1)求證：△ABE≌△ADF；(2)試判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．考點(diǎn)正方形的性質(zhì)與判定圖9

(2)解：四邊形AECF是菱形．理由：如圖1，連接AC.∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD.∴OB＋BE＝OD＋DF，即OE＝OF.∵OA＝OC，OE＝OF，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵AC⊥EF，∴四邊形AECF是菱形．圖1圖10

A圖11

B圖12

備用圖

圖2∴Rt△EQF≌Rt△EPD(ASA)．∴EF＝ED.∴矩形DEFG是正方形．圖3【提示】①當(dāng)DE與AD的夾角為30°時(shí)，∠EFC＝120°；②當(dāng)DE與DC的夾角為30°時(shí)，∠EFC＝30°.綜上所述，∠EFC＝120°或30°.教材變式教材母題

1．如圖21，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F.求證：AE＝EF.圖21

證明：如圖8，取AB的中點(diǎn)H，連接EH.∵四邊形ABCD是正方形，AE⊥EF，∴AB＝BC，∠1＋∠AEB＝90°，∠2＋∠AEB＝90°.∴∠1＝∠2.∵BH＝BE，CF為∠DCG的平分線，∴∠BHE＝45°，∠FCG＝45°，AH＝EC.∴∠AHE＝∠ECF＝135°.∴△AHE≌△ECF.∴AE＝EF.圖8變式

1．如圖22，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F.(1)若點(diǎn)E是BC邊上任意一點(diǎn)，求證：AE＝EF；圖22

(2)如圖23，若點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上(除C點(diǎn)外)的任意一點(diǎn)，其他條件不變，那么結(jié)論“AE＝EF”是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由；圖23

(3)如圖24，若點(diǎn)E是BC邊上的任意一點(diǎn)，在AB邊上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形DMEF是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．圖24

(1)證明：如圖9，在AB上截取BH＝BE，連接EH.∵四邊形ABCD是正方形，AE⊥EF，∴∠1＋∠AEB＝90°，∠2＋∠AEB＝90°.∴∠1＝∠2.∵