第頁人教A版高二上學(xué)期數(shù)學(xué)（選擇性必修2）《5.3.2函數(shù)的極值與最大（?。┲怠吠骄毩?xí)題（含答案）基礎(chǔ)鞏固1.函數(shù)極值的概念：一般地，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它在點(diǎn)附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，，且在點(diǎn)附近的左側(cè)，右側(cè).類似地，函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它在點(diǎn)附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，；而且在點(diǎn)附近的左側(cè)，右側(cè)，則a叫做函數(shù)的，叫做函數(shù)的極小值；b叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，叫做函數(shù)的.極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.2.求函數(shù)的極值的方法：解方程，當(dāng)時(shí)：（1）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極值；（2）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極值.3.函數(shù)的最值：一般地，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條的曲線，那么它必有最大值和最小值.只要把函數(shù)的所有連同端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以求出函數(shù)的最大值與最小值.4.一般地，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的步驟如下：（1）求函數(shù)在區(qū)間上的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個是，最小的一個是.回歸教材①練習(xí)1.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，試找出函數(shù)的極值點(diǎn)，并指出哪些是極大值點(diǎn)，哪些是極小值點(diǎn).2.求下列函數(shù)的極值：（1）；（2）；（3）；（4）.3.參考求函數(shù)極值的練習(xí)，求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值：（1）；（2）；（3）；（4）.4.證明不等式：.5.利用函數(shù)的單調(diào)性，證明下列不等式，并通過函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證：.6.如圖，用鐵絲圍成一個上面是半圓，下面是矩形的圖形，其面積為.為使所用材料最省，圓的直徑應(yīng)為多少？②習(xí)題1．導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，在標(biāo)記的點(diǎn)中，在哪一點(diǎn)處（1）導(dǎo)函數(shù)有極大值？（2）導(dǎo)函數(shù)有極小值？（3）函數(shù)有極大值？（4）函數(shù)有極小值？2．求下列函數(shù)的極值：（1） （2）；（3） （4）3．求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值：（1）（2）（3）（4）4．將一條長為l的鐵絲截成兩段，分別彎成兩個正方形，要使兩個正方形的面積和最小，兩段鐵絲的長度分別是多少？5．將一個邊長為a的正方形鐵片的四角截去四個邊長均為x的小正方形，做成一個無蓋方盒．(1)試把方盒的容積V表示為x的函數(shù)；(2)x多大時(shí)，方盒的容積V最大？6．用測量工具測量某物體的長度，由于工具的精度以及測量技術(shù)的原因，測得n個數(shù)據(jù)…．證明：用n個數(shù)據(jù)的平均值表示這個物體的長度，能使這n個數(shù)據(jù)的方差最?。?．已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q，價(jià)格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為．求產(chǎn)量q為何值時(shí)，利潤L最大？8．已知某商品進(jìn)價(jià)為a元/件，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)售價(jià)是b元/件時(shí)，可賣出c件.市場調(diào)查表明，當(dāng)售價(jià)下降10%時(shí)，銷量可增加40%．現(xiàn)決定一次性降價(jià)，銷售價(jià)為多少時(shí)，可獲得最大利潤？9．利用信息技術(shù)工具，根據(jù)給定的a，b，c，d的值，可以畫出函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示，改變a，b，c，d的值，觀察圖象的形狀：（1）你能歸納函數(shù)圖象的大致形狀嗎？它的圖象有什么特點(diǎn)？你能從圖象上大致估計(jì)它的單調(diào)區(qū)間嗎？（2）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性，并求出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間．提升訓(xùn)練1.若函數(shù)有小于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B. C. D.2.若函數(shù)，且恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為()A.3 B.4 C. D.3.已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若函數(shù)存在四個不同的零點(diǎn)，則m的取值范圍是()A. B. C. D.4.已知函數(shù)，則下列有關(guān)描述正確的是()A. B.C. D.5.（多選）已知定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的大致圖像如圖所示，則下列敘述不正確的是()A.B.函數(shù)在上遞增，在上遞減C.函數(shù)的極值點(diǎn)為c，eD.函數(shù)的極大值為6.已知函數(shù)，若，則的取值范圍是___________.7.已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)A，B，則的最小值為__________.8.若實(shí)數(shù)m的取值使函數(shù)在定義域上有兩個極值點(diǎn)，則稱函數(shù)具有“凹凸趨向性”.已知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且.，當(dāng)函數(shù)具有“凹凸趨向性”時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為_________.9.已知函數(shù)，且曲線在處的切線方程為.（1）求實(shí)數(shù)m，n的值；（2）證明：.參考答案及解析一、基礎(chǔ)鞏固1.0極小值點(diǎn)極大值2.大小3.連續(xù)不斷極值4.最大值最小值二、回歸教材①練習(xí)1.答案：是極大值點(diǎn)；是極小值點(diǎn)解析：因?yàn)?，點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都為零，且這兩點(diǎn)左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號所以，是函數(shù)的極值點(diǎn)；又因?yàn)闀r(shí)，時(shí)，所以是極大值點(diǎn)；因?yàn)闀r(shí)，時(shí)，所以是極小值點(diǎn).2.答案：（1）極小值為，無極大值（2）極小值為，極大值為（3）極小值為，極大值為（4）極小值為，極大值為解析：（1）的定義域?yàn)镽.令，解得：，列表得：x-0+↘↗所以函數(shù)的極小值為，無極大值.（2）的定義域?yàn)镽.令，解得：，列表得：x3+0-0+↗54↘↗所以函數(shù)的極小值為，極大值為.（3）的定義域?yàn)镽，.令，解得：，列表得：x2-0+0-↘↗22↘所以函數(shù)的極小值為，極大值為.（4）的定義域?yàn)镽.令，解得：，列表得：x1-0+0-↘↗2↘所以函數(shù)的極小值為，極大值為.3.答案：（1）最小值為，最大值為20（2）最大值為54，最小值為（3）最大值為22，最小值為（4）最大值為，最小值為解析：（1），對稱軸為可得的最小值為即的最大值為20；（2）的導(dǎo)數(shù)為令，可得即有的最大值為54，最小值為；（3）的導(dǎo)數(shù)為由，可得（舍去）即有的最大值為22，最小值為；（4）的導(dǎo)數(shù)為由，可得，則在單調(diào)遞減即有的最大值為，最小值為.4.答案：證明見解析解析：由題設(shè)，要證只需證即可令，則，而當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；故，即在上恒成立得證.5.答案：證明見解析解析：等價(jià)于可令，則，在上在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，則，得證.6.答案：解析：設(shè)圓的半徑為r，則半圓的面積為所以矩形的寬為2r，設(shè)矩形的長為h，則矩形的面積為2rh所以，即該圖形的周長為令，所以令解得：（舍負(fù)）所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取得最小值.即圓的直徑時(shí)，所需材料最省.②習(xí)題1．答案：（1）；（2）；（3）；（4）；解析：（1）由圖知，極大值點(diǎn)左右兩側(cè)的單調(diào)性是先增后減的點(diǎn)，即為極大值點(diǎn)；（2）由圖知，極小值點(diǎn)左右兩側(cè)的單調(diào)性是先減后增的點(diǎn)，即，為極小值點(diǎn)；（3）由圖知，函數(shù)單增；函數(shù)單減；函數(shù)單增；則函數(shù)在處取極大值；（4）由（3）知，函數(shù)在處取極小值；2．答案：（1）極小值，無極大值；（2）極大值，極小值；（3）極大值，極小值；（4）極小值，極大值.解析：（1）則∴時(shí)單調(diào)遞減；時(shí)單調(diào)遞增；∴有極小值無極大值.（2）則有∴時(shí)單調(diào)遞增；時(shí)單調(diào)遞減；時(shí)單調(diào)遞增；∴極大值極小值.（3）則有∴時(shí)單調(diào)遞增；時(shí)單調(diào)遞減；時(shí)單調(diào)遞增；∴極大值極小值.（4）則有∴時(shí)單調(diào)遞減；時(shí)單調(diào)遞增；時(shí)單調(diào)遞減；∴極小值極大值.3．答案：（1）最大值為，最小值為；（2）最大值為，最小值為；（3）最大值為，最小值為；（4）最大值為，最小值為.解析：（1），則，∴時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增；∴在上的極小值為，而，∴在上最大值為，最小值為.（2），則時(shí)有∴時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增；∴在上的極大值為，極小值為，而，綜上，在上最大值為，最小值為.（3），則時(shí)有，∴時(shí)，單調(diào)遞減；∴在上最大值為，最小值為.（4），則時(shí)有，∴時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減；∴在上的極大值為，而，∴在上最大值為，最小值為.4．答案：兩段鐵絲的長度均為.解析：設(shè)一個正方形的邊長為，則另一個正方形的邊長為，∴兩個正方形的面積和，則，∴時(shí)，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；∴當(dāng)時(shí)，的極小值也是最小值為，此時(shí)另一個正方形的邊長也為.綜上，當(dāng)兩段鐵絲的長度都為時(shí)，它們的面積和最小.5．答案：(1)；(2)解析：（1）由題意可知：無蓋方盒的棱長分別為：，所以方盒的容積；（2），解得：，當(dāng)時(shí)函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)函數(shù)遞增，所以當(dāng)時(shí)，盒的容積V最大.6．解析：，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單減；，函數(shù)單增；方差在時(shí)，取得最小值.7．答案：當(dāng)q=84時(shí)，利潤最大解析：先求出利潤L關(guān)于q的函數(shù)關(guān)系式.，顯然當(dāng)q=84時(shí)，利潤最大8．答案：解析：設(shè)銷售價(jià)為x，可獲得的利潤為y，則，求導(dǎo)得，令，解得，由知當(dāng)時(shí)，函數(shù)單增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單減；因此是函數(shù)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)；故當(dāng)銷售價(jià)為元/件時(shí)，可獲得最大利潤.9．解析：（1）時(shí)，有如下圖所示的幾種情況，其圖象大致為“S”型，當(dāng)圖象存在駝峰，即存在極值點(diǎn)，則必有一個極大值，一個極小值；當(dāng)不存在駝峰時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)增或單調(diào)減，如下圖所示： 題設(shè)中的函數(shù)的圖象，有：在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.（2）1、當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，即單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)若則∴時(shí)單調(diào)遞增；時(shí)單調(diào)遞減；時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)則即單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)若則∴時(shí)單調(diào)遞減；時(shí)單調(diào)遞增；時(shí)單調(diào)遞減；2、當(dāng)時(shí)對稱軸為當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減；3、當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減；4、當(dāng)時(shí)：無單調(diào)性.三、提升訓(xùn)練1.答案：B解析：由，得.由題意知有小于零的實(shí)數(shù)根，即，則.因?yàn)椋?，所?2.答案：C解析：由題得.令，則.令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以實(shí)數(shù)a的最大值為.3.答案：A解析：當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以的大致圖象如圖所示.由存在四個不同的零點(diǎn)知，直線與的圖象有四個不同的交點(diǎn)，故.故選A.4.答案：B解析：因?yàn)?，所以，顯然在上單調(diào)遞增.又，所以在上有唯一的零點(diǎn)，設(shè)為，且，則為的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，且，即.故.設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以，即.故選B.5.答案：ABD解析：由題圖知可，當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)所以在上遞增在上遞減，在上遞增對A，故A錯誤；對B，函數(shù))在上遞增，在上遞增，在上遞減，故B錯誤；對C，函數(shù)的極值點(diǎn)為c，e，故C正確；對D，函數(shù)的極大值為，故D錯誤.故選：ABD.6.答案：解析：令，則所以所以.令，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)