第

一

章水靜力學水靜力學的任務：是研究液體平衡的規(guī)律及其實際應用。液體的平衡狀態(tài)有兩種：一種是靜止狀態(tài)；另一種是相對平衡狀態(tài)。流體內部無相對運動

dvx

dyT=0

□粘性作用表現(xiàn)不出來(采用理

想

流

體

模

型)T=μ0dvdy平衡1

-

1靜水壓強及其特性一、靜水壓力與靜水壓強如圖所示：在水庫岸邊的泄水洞前

設置有平板閘門TF△AAEDKP△PD靜

水

壓

力：靜止(或處于相對平衡狀態(tài))液體作用在與之接觸的表面上的水壓力稱為靜水壓力，常以字母F,表示。靜水壓強：取微小面積△A,令作用于△A的靜水壓力為△F。,則△A

面上單位面積所受的平均靜水壓力為靜水壓強

p=1

△A靜水壓力F。的單位：牛頓

(N);靜水壓強p的單位：牛頓/米2(N/m2),又稱為“帕斯卡”(Pa)。3二、靜水壓強的特性靜水壓強的兩個重要特性：1.靜水壓強的方向與受壓面垂直并指向受壓面。2.任一點靜水壓強的大小和受壓面方向無

關，或者說作用于同一點上各方向的靜

水壓強大小相等。h

hB/(b)△Fm為

作用在O'DB

面上的靜水壓力；AFm為

作用

在ODC面上的靜水壓力；△F?為作用在O

BC面上的靜水壓力；△Fm

為作用在DBC面

上的靜水壓力；ZD△z△Fpx0'△yBnFpn△Fpy△x

C△Fpz理論證明靜水壓力具有各項同性XZ理論證明靜水壓力具有各項同性四面體體積：DAz△Fpx△y0'B總質量力在三個坐標方向的投影為：按照平衡條件，所有作用于微小四面體上的外力在各坐標軸上投影的代數(shù)和應分別

為零。nFpn

△Fpy△x

C△FpzXnFpn△Fpy△x

C△Fpz同理可得所以△By0'由于△FpxAzX液體平衡微分方程

式

：是表征液體處于平衡狀態(tài)下，作

用于液體上各種力

之間的關系式。取平行六面體如圖：1-2液體的平衡微分方程式及其積分dP2

mdx0-p+gfAbdzdyhe一

、微分方程1.表面力X

方向：靜水壓力各為2.質量力X

方向：

pf

dxdydzpdxdydz除上式各項并化簡后為：同理，對于Y、Z方向可推出類似結果，從而得到歐拉平衡微分方程組：該式的物理意義為：平衡液體中，靜水壓強沿某一方向的變化率與該方向單位體積上的質量力相等。歐拉平衡微分方程式dy上式是不可壓縮均質液體平衡微分方程式的另一種表達形

式

。將歐拉方程前兩式分別對y和x取偏導數(shù)將歐拉平衡微分方程式各式分別乘以dx,dy,dz

然后相加得?！?0D=pf,op=pf?Ozdx+f,dy+f?dz)=dpdz=p(fdx上式表明：作用在液體上的質量力必是有勢力液體才能保持平衡故有

關，只與起點及終點的坐標有關。力勢函數(shù)的全微分應等于單位質量力在空間移動距離所滿足上式必然存在為勢函數(shù)U(x,y,z)有滿足(1-

10)關系的力稱為有勢力，有勢力所作的功與路徑無同理可得作的功：二

、積分方程對dp=pdU

進行積分可得

p=pU+C如果已知平衡液體邊界上(或液體內)某點的壓強為Po

、力勢函數(shù)為U?,則積分常數(shù)

C=

Po-pU。得

p=Po+pU-U?

)結論：平衡液體中，邊界上的壓強將等值地傳遞到液體內的一切點上；即當

Po

增大或減小時，液體內任意點的壓強也相應地增大或減小同樣數(shù)值。這就是物理學中著名的巴斯加原理。1

-

3等壓面等

壓

面

：靜水壓強值相等的點連接成的面(可能是平面也可能是曲面)。等壓面性質：1.在平衡液體中等壓面即是等勢面。2.

等壓面與質量力正交。151

-

3

等

壓

面等壓面性質：

dp=p0ax+odz)=pdU1.

在平衡液體中等壓面即是等勢面。等壓面上P=Const,

故

dp=0,亦即pdU=0。對不可壓縮均質液體，p

為常數(shù)，由此dU=0,

即U=Const1

-

3

等

壓

面等壓面性質：2.等壓面與質量力正交。證明：在平衡液體中任取一等壓面，質點M

質量為dm,

在質量力F

作用下沿等壓面移動。F=(fi+fyj+f?k)dmds=(dxi+dyj+dzk)ZMX等壓面性質2:等壓面與質量力正交。力F

沿

ds

移動所做的功可寫作矢量F與ds的數(shù)性積：W=F·ds=(f

dx+f,dy+f?dz)dm→

W=dUdm因等壓面上dU=0,

所

以W=F*ds=0

。也即質量力必須與等壓面正交。注意：(1)靜止液體質量力僅為重力時，等壓面必定是水平面；(2)平衡液體與大氣相接觸的自由表面為等壓面；(3)不同流體的交界面也是等壓面。1

-

4重力作用下靜水壓強的基本公式Z

Po實際工程中，作用于平衡液

體上的質量力

常常只有重力

,即所謂靜止液體

。一自由表面hZXZO重力作用下X=0,Y=0,Z=-

g

,代入平衡微分方程式

積分得而自由面上

得出靜止液體中任意點的靜水壓強計算公式：p=Po+Pg(Zo—Z)p=Po+pgh

(形式2)表示該點在自由面以下的淹沒深度。Po:

自由面上的氣體壓強。等壓面非等壓面

非等壓面等壓面(a)

(b)

(c)淹沒深度相同的各點靜水壓強相等，只適用于質量力只有重力的同一種連續(xù)介質。對不連續(xù)液體或

一個水平面穿過了兩種不同介質，位于同一水平面上的

各點壓強并不相等。等

壓

面

等高面如果液體相對于地球運動，但相對于容器仍保

持靜止的狀態(tài)為相對平

衡。ZG以繞中心軸作等角速度

旋轉的圓柱形容器中的ⅢghZZs1-5幾種質量力同時作用下的液體平衡對動平衡的物體進行受力分析時，須加上一個

與加速度相反的慣性力

,則作用于物體上的所

有外力(包括慣性力)

應保持平衡。對旋轉容器中的液體，所受質量力應包括重力

與離心慣性力。mF作用于圓筒內任一質點m(x,y,Z)

單位質量上的慣性力為

F=w2r

,將F

投影在x,y軸上得。XrR0

f?=-g上式表明繞中心軸作等角速度旋轉的平衡液體等壓面為等壓面上dp=0,

得：w2xdx+w2ydy-gdz=0積分可得拋

物

面。ZG2-gz=C自由面最低點x=0,y=0,z=Z?=Zo,則積分常數(shù)C=-gz?,由此可得自由

面方程為hZⅢZsgdp=pf、dx+f,dy+f?dz)=pw2xdx+w2ydy-gdz)(1.20)積分(1.20),得因為

代入自由面上邊界條件得常數(shù)ZGC?=Po+Pgz?C?值

：ⅢghZZs若

令h=z,-z,

為液體內部任意質點(x、y、Z在自由液面下的淹沒深度，則p=Po+pgh上式表明：相對平衡液體中任意點的靜水壓強仍然與該點淹沒深度成比例，等水深面仍是等壓面。代入上式整理后變?yōu)椋簆=Po+pg(z,-z)將自由面方程hZsZZGⅢg即在繞中心軸作等角速旋轉的液體中有：只有r值相同的那些點，即位于同心圓柱面上的各點

才保持不變。般不存在。由可得到在有幾種質量力同時作用的相對平衡液體中這種關系一注

意：質量力只有重力作用的靜止液體中對任意點有例1-1有一圓柱形容器，內徑為R,

原

盛水深度為H,將容器以等角速度W繞中心軸oz旋轉，試求運動穩(wěn)定后容器

中心及邊壁處的水深。0200

2—2—30由幾何學可知，旋轉拋物體的體積為同底、等高的圓柱形體積的一半，

同時容器旋轉后的水體體積應與靜

止時的水體體積相等，故解：在容器邊壁處r=R,Zs=Zw,由(1-24)式可求出容器邊壁處與中心

處水深的差值為(1.30)(①)—R-圖1

-

10(1.24)將左式代入

(1.30),得把當?shù)卮髿鈮鹤鳛榱泓c計量的壓強，稱為相對壓強?？烧韶?。以

p'表示絕對壓強，p表示相對壓強，P

a

則

表示當?shù)氐拇髿鈮簭?。則有

p=p'-Pa=pgh以絕對真空狀態(tài)作為零點計量的壓強，稱為絕對壓強?？偸钦摹６?、相對壓強1-

6絕對壓強與相對壓強一、絕對壓強

p鑒大氣壓強p=pa<pa完全真空p=0(真空)計示壓強絕對壓強壓強絕

對地球表面大氣所產生的壓強為大氣壓強。海拔高程不同，大氣壓強也有差異。我國法定計量單位

中，把98223.4

Pa稱為一個標準大氣壓。水利工程中，自由面上的氣體壓強等于當?shù)卮髿鈮簭?，故靜止液體內任意點的相對壓強為p=(Pa+pgh)-Pa=pgh絕對壓強總是正值，相對壓強可能為正也可能為負。相對壓強為負值時，則稱該點存在真空。真空度是指該點絕對壓強小于當?shù)卮髿鈮簭姷臄?shù)值。Pk=Pa-p大氣壓強p=pap<pa完全真空p=0三、真空及真空度鑒留(真空)絕對壓強壓強壓強絕對計示p解：

①作等壓線a-b,

則Pae=Pbe②

應用靜力學基本方程，得到

Pae=pg(H+h)例1

在密閉的水容器中，有一d=12cm的圓柱體，重G=520N,在力F=588N作用下，當淹深h=0

.5m時處于靜止，試求測壓管中水柱高度H

。a)求解Wbh例1-2:一封閉水箱(見圖),自由面上氣體壓強為85kN/m2,求液面下淹沒深度h為1m

處點C

的

絕對靜水壓強、相對靜水壓強和真空度。解：C點絕對靜水壓強為C點的相對靜水壓強為p=p-Pa=94.8-98=-3.2kPa相對壓強為負值，說明C

點存在真空。Pk=Pa-p=98-94.8=3.2kPap=Po+pgh=85000+1000×9.8×1=94800(Pa)=94.8(kPa)p=p-Pa=Po+pgh-Pa代入已知值后可算得h=(P-Po+Pa)

(9.8-85+98)×1000

=2.33m1000×9.8例1-3:

情況同上例，試問當C

點相對壓強p

為9.8kN/m2時

，C點在自由面下的淹沒入度h為多少?解：相對靜水壓強：PoPB=Po+pgh=25+9.8×2=44.6kPa故A

點靜水壓強比B點大。實際上本題不必計算也可得出此結論(因淹沒深度大的點，其壓強必大)。已知h,為5m,h?

為2m。解：A、B

兩點的絕對靜水壓強分別為PA=Po+pgh?=25+9.8×5=74kPa例1-4:如圖，

一封閉水箱，其自由面上氣體壓強為25kN/m2,

試問水箱中A、B

兩點的靜水壓強何處為大Poh?h

BAh=Lsin30°=6×1/2

=3m。底板絕對壓強：p=Pa+pgh=98+0.816×9.8×3=122kN/m2

底板相對壓強：

p=p-Pa=pgh=0.816×9.8×3=24kN/m2因為底板外側也同樣受到大氣壓強的作用，故底板上的實際荷載只有相對壓強部份。例1-5:如圖，有一底部水平側壁傾斜之油槽，側壁傾角為30°,被油淹沒部分壁長L

為6m,

自由面上的壓強Pa=98kPa

,

油的密度P

為863kg/m3,問槽底板上壓強為多少?

PP。解

：槽底板為水平面為等壓面，底板上各處壓強相等。

底板在液面下的淹沒深度L油30°Bh求測壓管水面比水箱水面高出的h值多解

：因水箱和測壓管內是互相連通的同種液體，故和水箱自由表面同高程的測壓管內N

點，應與自由表面位于

同一等壓面上，其壓強應等于自由表

面上的大氣壓強，即Pn=Pa從測壓管來考慮

PN=Po+pgh=pgh

因

(Po=0

)Pa=pgh→例1-6:如圖，

一開口水箱，自由表面上的當?shù)卮髿鈮簭姙?8kN/m2,

在水箱右下側連接一根封閉的測壓管，今用抽氣機將管中氣體抽凈(即為絕對真空),少

?P。十

中=00十N4

B計。一、測壓管若欲測容器中

A

點的液體壓強，

可在容器上設置一開口細管。則A、

B

點位于同一等壓面，兩點壓強相

等。PA=pgh→h=

P式中h

稱為測壓管高度或壓強高度。1

-

7

壓

強

的

測

量測量液體(或氣體)壓強的儀器很多，這里

只是介紹一些利用靜水力學原理設計的液體測壓B當A

點壓強較小時增大測壓管標

尺

讀

數(shù)

，來提高測量精度：1.在測壓管中放入輕質

液

體(

如

油

)

。2.把測壓管傾斜放置(見圖)。

A

點的相對壓強為PA=PgLsin

αPaBα當被測點壓強很大時：

所需測壓管很長，這時可以改

用U

形水銀測壓計。水NI

N水

銀二

、U

形水銀測壓計在U

形管內，水銀面N-N

為等壓面，因而1點和2點壓強相等。對測壓計右支對測壓計左支

A

點的絕對壓強A

點的相對壓強p'=Pa+PmghP'=PA+pgbPA=Pa+Pmgh-pgbPA=Pmgh-pgb水N水銀式中，P

與pm分別為水和水銀的密度。三、差壓計差壓計是直接測量兩點壓強差的裝置。若左、右兩容器內各盛一種介質，其密度分別為PA

和因c-c面是等壓面，于是PA+PAgh=PB+PBghB+Pmgh

S

hgPA-PB=Pmgh+PBgh-PAghAhhA+s=h+hhA=h+h-s水銀PA-PB=(Pmg-PAg)h+(PBg-PA8)hB+PAgs1-8

壓強的液柱表示法，水頭與單位勢能一、壓強的液柱表示法

壓強大小的表示：1.

以單位面積上的壓力數(shù)值即千帕(KPa)

來表

示

。2.用液柱高表示。98kPa=1個工程大氣壓=10m水

柱

=

7

3

6mm

水銀柱二

、流體靜力學基本方程式物理意義：在重力作用下的連續(xù)均質不可壓縮靜止流體中，各點的單位重力流體的總勢能(位勢能+

壓強勢能)保持不變。單位重力流的位勢能壓強所做的功一增如位勢能單位重力流體的壓強勢能三

、

流體靜力學基本方程式幾何意義：z

Poh。Z+Pg

zx位置水頭：某點所在位置到基準面的高度。壓強水頭：壓強作用下在完全真空的測壓管中測得的高度位置水頭與壓強水頭的和稱為靜水頭§2.3.1流體靜力學基本方程式幾何意義：中，靜水頭線和計示靜水頭線均為水平線。1-9

作用于平面上的靜水總壓力水工建筑物常常都與水體直接接觸，計算某一受壓面上的靜水壓力是經常遇到的實際問題。一、作用在矩形平面上的靜水總壓力壓力圖法：

Pa

A1.靜水壓強分布圖的繪制：(1)按一定比例，用線段長度

H

代表該點靜水壓強的大小。(2)用箭頭表示靜水壓強的方

F

B向

，并與作用面垂直。絕對壓強分布圖HYH

B(a)AhYhYhYH

B(b)

(c)

相對壓強分布圖YH2.

靜水總壓力的計算：平面上靜水總壓力的大小應等于分布在平面上各點靜水壓強的總和：

Fp=bΩ壓強分布圖為梯形作

用

點

：F,作用點位于縱向對稱軸O-0上，同

時還應通過壓強分布圖

的形心點Q。Fp77

T7TT則靜水總壓力離底部距離為

Fp作用點：1、當壓強為三角形分布時，壓力中心DAe2、當壓強為梯形分布時，壓力中心離底的距離

Fp77777777777V777777777777二、作用于任意平面上的靜水總壓力受壓面為任意形狀，靜水總壓力的計算較為復雜。取一任意形

狀平面EF,

傾斜置放于水中，與水平面的

夾角a,

平面面積為A

,平面形心點在C。LbdAMαELDbDhhPLcAdp1.總壓力的大小作用在圍繞點M的微分面積dA

的靜水壓力dF,=pdA=pghdA整個平面EF上的靜水總壓力為：F,=?dF,=JpghdA=pg

sin

a?LdA而

平面EF對Ob軸的面積矩Fp=pg

sina·LcA=pgh·A=p.Ah。為形心點C在液面下的淹沒深度為形心點C

的靜水壓強。dpLDbDbMDPcLcACyl2.總壓力的作用點令平面EF

對Ob軸的慣性矩b/2設總壓力作用點的位置在D,它在坐標系中的坐標值為Lo,bLcMbD于是有a12a12dpLDIzyc=0S=bab/2Px由此看出

Lo>L,即總壓力作用點D在平面形心C之下再將靜水壓力對OL

軸取矩：平面EF對Ob及OL軸的慣性積令

可得

只要求出Lp及bp,

LD則壓力中心D

的位置即可確定。d4

LcMD

AbDOdp平面在水中位置*平面形式靜水總壓力P值壓力中心距水面的斜距矩

形·

sinaLD=L?+等腰梯形又P=pgsinα

·LD=L?+圓

形·pg

sinaLD=L?+半圓形·pg

sinaLD=L?+*當閘門為鉛垂置放時，α=90°

,

此時L?為h?,L為

ho**對等腰三角形平面，相當于等腰梯形平面中令b=0的情況。表1

-

1

幾種常見平面靜水壓力及作用點位置表【例2

-

6】

如圖2-24所示，

一矩形閘門兩面受到水的壓力，左邊水深H?=4.5m,右邊

水深H?=2.5m,閘門與水平面成a=45°

傾斜角，假設閘門的寬度b=1m。試求作用在閘門上的總壓力及其作用點。圖2

-

24

兩面受壓的閘門所

以

這就是作用在閘門上的總壓力的作用點距閘門下端的距離

?！?/p>

解】作用在閘門上的總壓力為左右兩邊液體總壓力之差，即F,=Fp?-Fp2=97085(N)由于矩形平面的壓力中心的坐標為根

據(jù)

合

力

矩

定

理；

對

通

過

o點

垂

直

于圖

面的

軸

取

矩

，

得所

以因例1-9

某泄洪隧洞，在進口傾斜設置一矩形平板閘門(見圖),傾角為60°,門寬b為4m,門長L為6m,

門頂在水面下淹沒深度h?為10m,若不計閘門自重時，

問沿斜面拖動閘門所需的拉力T

為多少(已知閘門與

門槽之間摩擦系數(shù)f為0.25)?門上靜水總壓力的作用

點在哪里?α=60°Thp

A/B

爹

B解：當不計門重時，拖動門的拉力至少需克服閘門與門槽間的摩擦力，故F=

Fpf

。為此須首先求出作用于門上靜水總壓力Fp

。

α=60°(1)用壓力圖法求Fp及作用點位置首先畫出閘門AB上靜水壓強分布圖門頂處靜水壓強為pgh?=9.8×10=98kPa門底處靜水壓強為壓強分布圖為梯形，其面積靜水總壓力(2)用解析法計算Fp及

L,

以便比較Fp=p。A=pghebL

Fp=9.8×12.61×4×6=2964kN靜水總壓力作用點距閘門底部的斜距總壓力P距水面的斜距(3)沿斜面拖動閘門的拉力FT=Fp

f·=2964×0.25=741kNα=60°hp

ADB

多對矩形平面，繞形心軸的面積慣h2可見，采用上述兩種方法計算其結果完全相同。求P的作用點距水面的斜距B1-10作用于曲面上的靜水總壓力在水利工程上常遇到受壓面為曲面的情況，如拱壩壩面、弧形閘墩或邊墩、弧形閘門等等。h?p

gh?p

ghpgh?作用于曲面上任意點的相對的靜水壓強，其大小仍等于

pgh,

其方向也是垂直指向作用面的.這里著重分析二向曲面的靜水總壓力計算如圖：M

PF壓力體NEdF,=pghdAdFpx=pghdAcosa=pghdF?=pghdAsima=pghdA一、靜水總壓力的水平分力取微元面積dA,

作用于面上的靜水壓力為dFp,yNXE

dp.

dpapL

(dA)faa?Z

hdAx

dpdFpzdA

adA?dFp

αdFpFpx

等于曲面在

yOz

平面上的投影面

A,

上的靜水總壓力。很明顯，水平分力

Fpx

的作用線應通過

A.平面的壓

力中

心

。dF,

在水平方向上的分力為則有一

、靜水總壓力的水平分力dB,K

ap

(d4)[a4?dp

EZ

hF一X二

、靜水總壓力的垂直分力靜水壓力dP沿鉛垂方向的分力為dF=dF,sin

a

則合力而

所以

壓力體Fpz=±pgV三

、壓力體壓力體是從積分式得到的一個體積，它是一個純數(shù)學概念，與這個體積內

是否充滿液體無關。IPapz

Fm(b)m§2.7

靜止液體作用在曲面上的總壓力F?

±psY}Pa實壓力體虛壓力體FpFm4b(a)莊力體V:

稱為壓力體。Fp的作用線，應通過壓力體的體積形心。72BB○DBDB總壓力F的作用線應通過Fp與Fp?的交點K,

過K點沿F的方向延長交曲面于D,D點即為總壓力F,在AB上的作用點。

74三

、靜水總壓力由二力合成定理，曲面所受靜水總壓力的大小為F,=√F+F2FpaFpxAFpzK例1-11韶山灌區(qū)引水樞紐泄洪閘共裝5孔弧形閘門，每孔門寬b為10m

,

弧門半徑R

為12m,

其余尺

寸見圖。試求當上游為正常引水位66.50m、閘門

關

閉情況下，作用于一孔弧形門上靜水總力大小及方

向。b=10m□66.50F65.5057.50

FP(2)求垂直分力

Fpz=-P8VV=bΩ如圖所示，壓力體的底面積為Ω=

弓形面積EGF

十三角形面積EFLb=10m766.50F65.50

Im8m解

：(1)首先求水平分力

FpxFpx=pghc·A=9.8×4.5×10×9=3969