第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學(xué)年吉林省長春市慧澤高中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.雙曲線x2?y2A.y=12x B.y=±2x C.y=2x2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，aA.3 B.5 C.7 D.93.數(shù)列{an}滿足a1=3，aA.?23 B.?12 C.4.若直線l1平行于直線x+2y=0，且垂直于直線l2：mx?3y?1=0，則m=(

)A.32 B.?32 C.65.若雙曲線x2?y2=1的弦被點A.3x?4y?2=0 B.x+2y?4=0 C.3x+2y?8=0 D.2x?y?3=06.已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S3=1，A.7 B.8 C.15 D.167.在直三棱柱ABC?A′B′C′中，側(cè)棱長為3，底面是邊長為4的正三角形，則異面直線AB′與BC′所成角的余弦值為(

)A.12 B.13 C.1208.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F，關(guān)于原點對稱的兩點A、BA.2 B.102 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是(

)A.在數(shù)列1，3，5，7，3，…中，第8個數(shù)可能是15

B.數(shù)列{an}的通項公式為an=n(n+1)，則110是該數(shù)列的第10項

C.等比數(shù)列{an}中，a3=1，a10.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差為d，a1>0，aA.d<0 B.Sn的最大值為S6

C.當(dāng)Sn>0時，n的最大值為12 D.數(shù)列{Snn11.已知P為拋物線C：x2=4y上一點，F(xiàn)為C的焦點，直線l的方程為3x+4y+6=0，則下列說法正確的有(

)A.若A(3,4)，則|AP|+|PF|≥5

B.點P到直線l與到直線y=?2的距離之和的最小值為2

C.若M，N是拋物線C上的兩點且滿足OM⊥ON，則直線MN過定點(0,4)

D.若存在點P，使得過點P可作兩條垂直的直線與圓x2+(y?4)2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.圓心為(5,3)，且與x軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

．13.如圖，在棱長為4的正方體ABCD?A1B1C1D1中，F(xiàn)，G分別是AB，CC114.已知數(shù)列{an}滿足a12+a222+?+四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1=1，a9=4a7．

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式；

(Ⅱ)16.(本小題15分)

已知拋物線C：y2=2px的焦點F到準(zhǔn)線的距離為4，過F的直線l與C交于A，B兩點．

(Ⅰ)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)若直線l的傾斜角為45°，求|AB|17.(本小題15分)

在數(shù)列{an}中，a1=12，an+1an+an+1?an=0．

(Ⅰ)求證：數(shù)列{1a18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，且AD=BD，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=2，E是BC的中點，點Q在側(cè)棱PC上，PQ=tPC．

(Ⅰ)求證：直線DE⊥平面PAD；

(Ⅱ)求t的值，使得平面ABCD與平面QDE夾角的余弦值為1019.(本小題17分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，點(1,32)在橢圓C上，過點P(4,0)的直線交橢圓C于A，B兩點．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)求△OAB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點)；

(Ⅲ)已知點Q(52,0)，連接BQ，過點A作直線AD//x軸，且與直線BQ交于點參考答案1.B

2.C

3.D

4.C

5.D

6.C

7.D

8.B

9.AB

10.ABD

11.ACD

12.(x?5)13.814.(315.解：(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由題知q>0，

由a9=4a7?a7q2=4a7，所以q=2，16.(Ⅰ)拋物線C：y2=2px的焦點到準(zhǔn)線的距離為p，

由已知該距離為4，故p=4，

則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=8x；

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，拋物線焦點F(2,0)，

由直線l傾斜角為45°，得斜率k=tan45°=1，

故直線l的方程為y=x?2，

聯(lián)立y=x?2y2=8x，消去y得x2?12x+4=0，

顯然Δ>0，設(shè)A(x117.證明：(Ⅰ)因為an+1an+an+1?an=0，

所以1+1an?1an+1=0，

所以1a18.解：(Ⅰ)證明：因底面ABCD是邊長為2的菱形，且AD=BD，則△DBC是等邊三角形，

又因E是BC的中點，則DE⊥BC，

因AD//BC，則DE⊥AD，

因平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，DE?平面ABCD，

故直線DE⊥平面PAD；

(Ⅱ)取AD的中點為O，連OP，OB，

因PA=PD=2，AD=2，則OP⊥AD，且OP=1，

因平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OP?平面PAD，則OP⊥平面ABCD，

易得OB⊥AD，且OB=32×2=3，

則OA，OB，OP兩兩垂直，故可以點O為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)A，OB，OP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則D(?1,0,0)，P(0,0,1)，E(?1,3,0)，C(?2,3,0)，

因點Q在側(cè)棱PC上，PQ=tPC，則PQ=tPC=t(?2,3,?1)=(?2t,3t,?t)，t∈[0,1]，

所以DQ=DP+PQ=(1,0,1)+(?2t,3t,?t)=(1?2t,3t,1?t)，DE=(0,19.解：(I)因為橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，點(1,32)在橢圓C上，

所以ca=121a2+94b2=1a2=b2+c2，解得a=2b=3c=1，橢圓C的方程為x24+y23=1；

(Ⅱ)因為過點P(4,0)的直線交橢圓C于A，B兩點，

當(dāng)直線AB與x軸重合時△OAB的面積為0，不符合題意，所以直線AB與x軸不重合，

設(shè)直線AB的方程為x=my+4，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立直線和橢圓方程x=my+4x24+y