第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2025-2026學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市榆樹(shù)市慧望中學(xué)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A. B. C. D.2.將一元二次方程x（x-3）=4化成一般形式正確的是（）A.x2-3x-4=0 B.x2+3x+4=0 C.x2-3x+4=0 D.x2+3x-4=03.大自然是美的設(shè)計(jì)師，即使是一個(gè)小小的盆景，也會(huì)產(chǎn)生最具美感的黃金分割比.如圖，B為AC的黃金分割點(diǎn)（即）.若AC=100cm,則BC的長(zhǎng)約為（）A.42cm

B.38.2cm

C.61.8cm

D.70cm4.吉林省于2025年12月3日至7日面向全省義務(wù)教育階段學(xué)生設(shè)立了為期5天的“冰雪假期”，許多學(xué)生都來(lái)到了滑雪場(chǎng).如圖，滑雪場(chǎng)有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC長(zhǎng)為500米，則滑雪道的坡頂?shù)狡碌椎呢Q直高度AB為（）米.A. B. C.500cos20° D.500sin20°5.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠BCD=125°，則∠BOD的度數(shù)是（）A.130°

B.110°

C.115°

D.125°6.某小組做“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)時(shí)，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖所示的折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖，則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)最有可能的是（）A.擲一枚一元硬幣，落地后正面朝上

B.擲一個(gè)正六面體的骰子，朝上的面的點(diǎn)數(shù)是2的倍數(shù)

C.一個(gè)不透明的袋子中裝有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取1球，取出的球是紅球

D.在紅燈30秒、綠燈60秒、黃燈10秒的十字路口，人或車(chē)隨意經(jīng)過(guò)路口時(shí)，遇到的恰好是紅燈7.拋物線(xiàn)y=4x2-1的圖象上兩點(diǎn)A（m,3）、（n,3）、（m≠n），當(dāng)x=m+n時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為（）A.-1 B.3 C.0 D.無(wú)法確定8.如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，連接OA，OB，AB.若AO⊥BO，且，則k的值為（）A.1

B.

C.-1

D.-2

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。9.計(jì)算：=

.10.二次函數(shù)y=（x+1）2-2的最小值是______．11.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-kx-6=0的一個(gè)根為x=-3，則k的值為

.12.如圖，△ABC和△A′B′C是以點(diǎn)C為位似中心的位似圖形，且△A′B′C和△ABC的面積之比為1：4，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的橫坐標(biāo)為-2，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為

.

13.長(zhǎng)春市正在進(jìn)行地鐵五號(hào)線(xiàn)的建設(shè)，為了緩解市區(qū)一些主要路段的交通擁堵現(xiàn)狀，交警大隊(duì)在主要路口設(shè)置了交通路況指示牌（如圖）.小明在離指示牌水平距離3m的點(diǎn)A處測(cè)得指示牌頂端點(diǎn)D和底端點(diǎn)E的仰角分別為60°和30°，則路況指示牌的高DE為

m.

14.如圖所示，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A（m,0），有以下四個(gè)結(jié)論：①b＜0；②m＞-2；③ax2+bx+c=-1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④.其中正確的結(jié)論有

（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）.

三、解答題：本題共10小題，共78分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題6分)

計(jì)算：（-1）2025+2sin245°-cos30°+tan60°.16.(本小題6分)

解方程：

（1）x2+8x-12=0；

（2）（x+2）（x-1）=2-2x.17.(本小題6分)

凈月潭國(guó)家森林公園計(jì)劃新建一段長(zhǎng)方形的森林徒步道，供游客休閑觀景.已知這段徒步道的長(zhǎng)比寬多4米，徒步道的面積為45平方米，求該徒步道的長(zhǎng)和寬各是多少米？18.(本小題7分)

第33屆世界大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2027年在長(zhǎng)春舉辦，某班級(jí)為宣傳大運(yùn)文化選拔志愿者，制作了背面完全相同，正面分別寫(xiě)著“賽事服務(wù)”“禮儀引導(dǎo)”“后勤保障”三個(gè)志愿崗位的三張卡片.

（1）若小紅隨機(jī)抽取一張卡片，恰好正面是“文藝表演”的事件是______.

A.必然事件

B.隨機(jī)事件

C.不可能事件

（2）若小紅隨機(jī)抽取一張卡片，記下正面內(nèi)容，放回并洗勻，小明再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張，求兩人恰好抽中同一志愿崗位的概率.19.(本小題7分)

圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn).△ABC內(nèi)接于⊙O，且點(diǎn)A、B、C、O均在格點(diǎn)上.只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖.

（1）在圖①中找一個(gè)格點(diǎn)D（點(diǎn)D不與點(diǎn)C重合），畫(huà)出∠ADB，使∠ADB=∠ACB.

（2）在圖②中找一個(gè)格點(diǎn)E，畫(huà)出∠AEC，使∠AEC+∠ABC=180°.

（3）在圖③中的圓上找一點(diǎn)F，使得BF平分∠ABC.20.(本小題7分)

如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C、點(diǎn)D為⊙O上異于A、B的兩點(diǎn)，連接CD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DB，交DB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接AC、AD．

（1）若∠ABD=2∠BDC，求證：CE是⊙O的切線(xiàn)．

（2）若⊙O的半徑為，tan∠BDC=，求AC的長(zhǎng)．21.(本小題8分)

某農(nóng)戶(hù)種植有如圖1所示的蔬菜大棚，其截面示意圖如圖2所示，其橫截面塑料頂棚可以近似看作是拋物線(xiàn)，其中OA是地面所在的水平線(xiàn)，點(diǎn)O是塑料頂棚與地面的交點(diǎn)，AB是保溫墻，并且塑料頂棚最高點(diǎn)到點(diǎn)O的水平距離是6米，到地面OA的高度是3米.現(xiàn)以O(shè)A所在直線(xiàn)為x軸，過(guò)點(diǎn)O垂直于OA的直線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；

（2）若保溫墻AB到點(diǎn)O的距離OA=8米，求出保溫墻AB的高度.22.(本小題9分)

【模型初識(shí)】“一箭穿心”是圓中最值問(wèn)題的核心解題模型，其核心結(jié)論是：過(guò)圓外定點(diǎn)和圓心的直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)到圓外定點(diǎn)的距離分別為該定點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最大值和最小值.

【探究證明】（1）如圖①，P是⊙O外的一點(diǎn)，直線(xiàn)PO分別交⊙O于點(diǎn)A、B，則線(xiàn)段PA是點(diǎn)P到⊙O上各點(diǎn)的距離中最短的線(xiàn)段.

證明：如圖②，在⊙O上任意取一個(gè)不同于點(diǎn)A的點(diǎn)C，連接OC、CP.

則有OP＜OC+PC（▲）請(qǐng)補(bǔ)全▲處缺失的依據(jù).

即OP-OC＜PC.

由OA=OC得OP-OA＜PC，即PA＜PC.

從而得出線(xiàn)段PA是點(diǎn)P到⊙O上各點(diǎn)的距離中最短的線(xiàn)段.

（2）小琳認(rèn)為在圖①中，線(xiàn)段PB是點(diǎn)P到⊙O上各點(diǎn)的距離中最長(zhǎng)的線(xiàn)段，你認(rèn)為小琳的說(shuō)法正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【直接運(yùn)用】

（3）如圖③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，以BC為直徑的半圓交AB于D，P是CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則AP的最小值是______.

（4）如圖④，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，5），⊙A的半徑為3，P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，PB切⊙A于點(diǎn)B，則PB最小值是______.

【靈活運(yùn)用】

（5）如圖⑤，⊙O的半徑為6，弦AB=6，點(diǎn)C為優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，AM⊥AC交直線(xiàn)CB于點(diǎn)M，則△ABM面積的最大值是______.

23.(本小題10分)

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，BC=10，點(diǎn)P在邊AC上，點(diǎn)Q在邊BC上，且AP=CQ，連接PQ，以PQ為斜邊作等腰直角△PQR（∠PRQ=90°），使點(diǎn)R與點(diǎn)C在直線(xiàn)PQ的同側(cè).

（1）AC邊的長(zhǎng)為_(kāi)_____.

（2）當(dāng)點(diǎn)P為AC中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)Q到直線(xiàn)AB的距離；

（3）當(dāng)點(diǎn)R在△ABC的邊上時(shí)，求AP的長(zhǎng)；

（4）當(dāng)點(diǎn)P到直線(xiàn)BC的距離是點(diǎn)R到直線(xiàn)BC的距離的3倍時(shí)，直接寫(xiě)出AP的長(zhǎng).24.(本小題12分)

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)y=x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-5），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），點(diǎn)A、B是該拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為m、，已知點(diǎn)E（2，0），作點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)E的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，作點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)E的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，構(gòu)造四邊形ABCD.

（1）求該拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

（2）設(shè)拋物線(xiàn)在A、B兩點(diǎn)之間的部分（含A、B兩點(diǎn)）為圖象G，若圖象G的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為3，求m的值.

（3）當(dāng)m＞1時(shí)，若拋物線(xiàn)在四邊形ABCD內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大，求m的取值范圍.

（4）當(dāng)四邊形ABCD是矩形時(shí)，直接寫(xiě)出m的值.

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】

10.【答案】-2

11.【答案】-1

12.【答案】7

13.【答案】

14.【答案】①③④

15.【答案】．

16.【答案】解：（1）x2+8x-12=0，

（x-2）（x-6）=0，

∴x-2=0或x-6=0，

∴x1=2，x2=6；

（2）（x+2）（x-1）=2-2x,

（x+2）（x-1）-2（1-x）=0，

（x-1）（x+2+2）=0

∴x+4=0或x-1=0，

∴x1=-4，x2=1．

17.【答案】長(zhǎng)為9米，寬為5米．

18.【答案】C

19.【答案】如圖，∠ADB即為所求；

如圖，∠AEC即為所求；

如圖，點(diǎn)F即為所求．

20.【答案】解：（1）連接OC，

∵OC=OA，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠COB=2∠OAC，

∵∠BDC=∠OAC，∠ABD=2∠BDC，

∴∠COB=∠ABD，

∴OC∥DE，

∵CE⊥DB，∠CED=90°，

∴∠OCE=90°，OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切線(xiàn)．

（2）連接BC，

∵∠BDC=∠BAC，

∴tan∠BAC=tan∠BDC=，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠BCA=90°，

∴=，

設(shè)BC=x,AC=2x,

∴AB=x,

∵⊙O的半徑為，

∴x=2，

∴x=2，

∴A