拔尖專訓(xùn)9相似三角形中的變換探究問題1．【問題情境】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，奮飛組的同學(xué)用兩張矩形紙片進(jìn)行探究活動(dòng)．該小組同學(xué)準(zhǔn)備了兩張矩形紙片ABCD和EBGF(共頂點(diǎn)B)，其中AB＝8，BC＝6，將它們按如圖①所示的方式放置，點(diǎn)E，G分別落在AB，BC邊上時(shí)，點(diǎn)E，G恰好為邊AB，BC的中點(diǎn)．然后將矩形紙片EBGF繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，連結(jié)AE，CG. 【觀察發(fā)現(xiàn)】(1)如圖②所示，當(dāng)α＝90°時(shí)，小組成員發(fā)現(xiàn)AE與CG存在的數(shù)量關(guān)系為________，位置關(guān)系為________；

AE⊥CG【探索猜想】(2)如圖③所示，當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，(1)中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由；

【解】當(dāng)90°＜α＜180°時(shí)，(1)中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論仍然成立．理由：設(shè)AE與BC，CG分別交于點(diǎn)P，O.∵四邊形ABCD和四邊形EBGF都是矩形，∴∠ABC＝∠EBG＝90°.∴∠ABC＋∠CBE＝∠EBG＋∠CBE，即∠ABE＝∠CBG.【拓展延伸】(3)如圖③所示，在矩形EBGF的旋轉(zhuǎn)過程中，連結(jié)AG，CE，得AG2＋CE2為定值，請(qǐng)直接寫出此定值. AG2＋CE2的定值為125.2．【問題呈現(xiàn)】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，連接AD，BE，探究AD，BE的位置關(guān)系．【問題探究】(1)如圖①，當(dāng)m＝1時(shí)，直接寫出AD，BE的位置關(guān)系：__________．AD⊥BE(2)如圖②，當(dāng)m≠1時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．3．【問題情境】在課外小組活動(dòng)中，創(chuàng)新小組以“菱形紙片中的圖形變換”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．如圖①，邊長(zhǎng)為

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cm的菱形紙片ABCD(∠BAD>90°)，對(duì)角線AC＝8cm.【實(shí)踐探究】(1)成員甲：將圖①中的△ABC折疊，使點(diǎn)B落在線段BC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)G處，得到折痕AH，如圖②，求折痕AH的長(zhǎng)；

【點(diǎn)撥】(2)成員乙：將圖①中菱形紙片ABCD(∠BAD>90°)沿對(duì)角線AC剪開，得到△ABC和△ACD.再將△ACD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α，使α＝2∠BAC，得到如圖③所示的△AEF，點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)FB，EC，得到四邊形BCEF，請(qǐng)判斷四邊形BCEF的形狀，并證明；【拓展提高】(3)小組組長(zhǎng)根據(jù)圖③，在成員乙發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，提出一個(gè)平移問題：將△AEF沿著射線FB方向平移acm，得到△A′E′F′，連結(jié)BF′，CE′，使四邊形BCE′F′恰好為正方形，請(qǐng)求出a的值.【點(diǎn)撥】4．【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動(dòng)中，小亮同學(xué)選用了矩形紙張，即如圖①所示的矩形ABCD.他先通過對(duì)折找到AB邊的中點(diǎn)E，再將△AED沿著直線DE翻折得到△A′ED，連結(jié)A′B，小亮猜想A′B∥DE. 【問題解決】小亮對(duì)上面A′B∥DE的猜想進(jìn)行了證明，下面是部分證明過程：

證明：∵E為AB邊的中點(diǎn)，∴AE＝EB.∵將△AED沿著直線DE翻折得到△A′ED，∴AE＝A′E，∠DEA＝∠DEA′，∴A′E＝BE，∴∠EA′B＝∠EBA′. 請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過程. 【解】由翻折的性質(zhì)知，∠DEA＝∠DEA′，∴2∠DEA＝∠AEA′＝∠EA′B＋∠EBA′＝2∠EBA′.∴∠DEA＝∠EBA′.∴A′B∥DE.【結(jié)論應(yīng)用】(1)如圖①，在【探索發(fā)現(xiàn)】的基礎(chǔ)上，若A′B：DE＝3：5，△A′EB的面積為6，求矩形ABCD的面積；

【解】40【點(diǎn)撥】【點(diǎn)撥】5．[2025成都青羊區(qū)模擬]在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AD，DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A，D關(guān)于直線BE的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)A′，D′，連接A′D′，BA′，ED′.【初步感知】(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)D′落在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，則DE的長(zhǎng)為________；【點(diǎn)撥】【深入探究】(2)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AD的中點(diǎn)時(shí)，連接A′D，則A′D的長(zhǎng)為________；【點(diǎn)撥】【拓展運(yùn)用】(3)當(dāng)直線A′D′恰好經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求DE的長(zhǎng)．6．【解】成立．理由：如圖，延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，取NP的中點(diǎn)M，連接AM.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠N＝∠ECD，∠EDC