湖北省荊州市公安縣第三中學2026屆高二數(shù)學第一學期期末質(zhì)量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某班級從5名同學中挑出2名同學進行大掃除，若小王和小張在這5名同學之中，則小王和小張都沒有被挑出的概率為（）A. B.C. D.2．已知△ABC的頂點B、C在橢圓＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是（）A.2 B.6C.4 D.123．《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學著作之一，書中有一道這樣的類似問題：把150個完全相同的面包分給5個人，使每個人所得面包數(shù)成等差數(shù)列，且使較大的三份面包數(shù)之和的是較小的兩份之和，則最大的那份面包數(shù)為（）A.30 B.40C.50 D.604．設是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且在內(nèi)可導，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的極值點一定是最值點B.的最值點一定是極值點C.在區(qū)間上可能沒有極值點D.在區(qū)間上可能沒有最值點5．在正方體中，P，Q兩點分別從點B和點出發(fā)，以相同的速度在棱BA和上運動至點A和點，在運動過程中，直線PQ與平面ABCD所成角的變化范圍為A. B.C. D.6．已知空間四邊形中，，，，點在上，且，為中點，則等于（）A. B.C. D.7．如圖，已知多面體，其中是邊長為4的等邊三角形，四邊形是矩形，，平面平面，則點到平面的距離是（）A. B.C. D.8．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則A. B.C. D.9．若直線與平行，則m的值為（）A.－2 B.－1或－2C.1或－2 D.110．已知雙曲線的左右焦點分別為、，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若的面積為，則的漸近線方程為A. B.C. D.11．用1，2，3，4這4個數(shù)字可寫出（）個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)A.24 B.12C.81 D.6412．計算復數(shù)：（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足，則的前20項和___________.14．已知數(shù)列an滿足，則__________15．已知點P是拋物線上一個動點，則點P到點M(0，2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為______________16．已知正數(shù)滿足，則的最小值是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的一個焦點坐標為，離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）O為坐標原點，點P在橢圓C上，若的面積為，求點P的坐標18．（12分）一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)（圓形區(qū)域的邊界上無暗礁），已知小島中心位于輪船正西處，港口位于小島中心正北處.（1）若，輪船直線返港，沒有觸礁危險，求的取值范圍?（2）若輪船直線返港，且必須經(jīng)過小島中心東北方向處補水，求的最小值.19．（12分）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（1）求B；（2）若，求的面積的最大值20．（12分）冬奧會的全稱是冬季奧林匹克運動會，是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運動會，每四年舉辦一屆．第24屆冬奧會將于2022年在中國北京和張家口舉行．為了弘揚奧林匹克精神，增強學生的冬奧會知識，廣安市某中學校從全校隨機抽取50名學生參加冬奧會知識競賽，并根據(jù)這50名學生的競賽成績，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間（1）求頻率分布直方圖中a的值：（2）求這50名學生競賽成績的眾數(shù)和中位數(shù)．（結(jié)果保留一位小數(shù)）21．（12分）（1）已知等軸雙曲線的上頂點到一條漸近線的距離為，求此雙曲線的方程；（2）已知拋物線的焦點為，設過焦點且傾斜角為的直線交拋物線于，兩點，求線段的長22．（10分）如圖，在三棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，，，平面平面，為的中點.（1）求證：；（2）若，求二面角的大小.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】記另3名同學分別為a，b，c，應用列舉法求古典概型的概率即可.【詳解】記另3名同學分別為a，b，c，所以基本事件為，，（a，小王），（a，小張），，（b，小王），（b，小張），（c，小王），（c，小張），（小王，小張），共10種小王和小張都沒有被挑出包括的基本事件為，，，共3種，綜上，小王和小張都沒有挑出的概率為故選：B.2、C【解析】根據(jù)題設條件求出橢圓的長半軸，再借助橢圓定義即可作答.【詳解】由橢圓＋y2＝1知，該橢圓的長半軸，A是橢圓一個焦點，設另一焦點為，而點在BC邊上，點B，C又在橢圓上，由橢圓定義得，所以的周長故選：C3、C【解析】根據(jù)題意得到遞增等差數(shù)列中，，，從而化成基本量，進行計算，再計算出，得到答案.【詳解】根據(jù)題意，設遞增等差數(shù)列，首項為，公差，則所以解得所以最大項.故選：C4、C【解析】根據(jù)連續(xù)函數(shù)的極值和最值的關系即可判斷【詳解】根據(jù)函數(shù)的極值與最值的概念知，的極值點不一定是最值點，的最值點不一定是極值點．可能是區(qū)間的端點，連續(xù)可導函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最值，所以選項A，B，D都不正確，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則函數(shù)在區(qū)間上沒有極值點，所以C正確故選：C.【點睛】本題主要考查函數(shù)的極值與最值的概念辨析，屬于容易題5、C【解析】先過點作于點，連接，根據(jù)題意，得到即為直線與平面所成的角，設正方體棱長為，設，推出，進而可求出結(jié)果.【詳解】過點作于點，連接，因為四棱柱為正方體，所以易得平面，因此即為直線與平面所成的角，設正方體棱長為，設，則，，因為兩點分別從點和點出發(fā)，以相同的速度在棱和上運動至點和點，所以，因此，所以，因為，所以，則，因此.故選：C.【點睛】本題主要考查求線面角的取值范圍，熟記線面角的定義即可，屬于?？碱}型.6、B【解析】利用空間向量運算求得正確答案.【詳解】.故選：B7、C【解析】利用面面垂直性質(zhì)結(jié)合已知尋找兩兩垂直的三條直線建立空間直角坐標系，用向量法可解.【詳解】取的中點O，連接OB，過O在平面ACDE面內(nèi)作交DE于F∵平面平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，平面ACDE，∴平面ABC∴∵是邊長為4的等邊三角形，四邊形ACDE是矩形，∴以O為原點，OA，OB，OF分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系則，，，設平面ABD的單位法向量，，由解得取，則∴點C到平面ABD的距離.故選：C8、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合已知條件，求得，進而求得的值.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列，故，所以，故.故選B.【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對數(shù)運算，屬于基礎題.9、C【解析】利用兩直線平行的判定有，即可求參數(shù)值.【詳解】由題設，，可得或.經(jīng)驗證不重合，滿足題意，故選：C.10、D【解析】求得，根據(jù)的面積列方程，由此求得，進而求得雙曲線的漸近線方程.【詳解】依題意，雙曲線的一條漸近線為，則，所以，所以，所以.所以雙曲線漸近線方程為.故選：D【點睛】本小題主要考查雙曲線漸近線的有關計算，屬于中檔題.11、A【解析】由題意，從4個數(shù)中選出3個數(shù)出來全排列即可.【詳解】由題意，從4個數(shù)中選出3個數(shù)出來全排列，共可寫出個三位數(shù).故選：A12、D【解析】直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡可得結(jié)論.【詳解】故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、135【解析】直接利用數(shù)列的遞推關系式寫出相鄰四項之和，進而求出數(shù)列的和.【詳解】數(shù)列滿足，所以，故，當時，，當時，，，當時，，所以.故答案為：135.14、2019【解析】將已知化為代入可以左右相消化簡，將已知化為，代入可以上下相消化簡，再全部代入求解即可.【詳解】由知故所以故答案為：201915、【解析】由拋物線的定義得：，所以，當三點共線時，最小可得答案.【詳解】如圖所示：，由拋物線的定義得：，所以，由圖象知：當三點共線時，最小，.故答案為：.16、8【解析】利用“1”代換，結(jié)合基本不等式求解.【詳解】因為，，所以，當且僅當，即時等號成立，所以當時，取得最小值8.故答案為：8.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或或或【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的標準方程.（2）根據(jù)三角形的面積列方程，化簡求得點的坐標.【小問1詳解】設橢圓C的焦距為，由題意有，得，，故橢圓C的標準方程為；【小問2詳解】設點P的坐標為，由的面積為，有，得，有，得，故點P的坐標為或或或18、（1）（2）120【解析】（1）建立平面直角坐標系設直線方程，根據(jù)點到直線的距離公式可得；（2）先求補水點的坐標，根據(jù)直線過該點，結(jié)合所求，根據(jù)基本不等式可得.【小問1詳解】根據(jù)題意，以小島中心為原點，建立平面直角坐標系，當時，則輪船返港的直線為，因為沒有觸礁危險，所以原點到的距離，解得.【小問2詳解】根據(jù)題意可得，，點C在直線上，故點C，設輪船返港的直線是，則，所以.當且僅當時取到最小值.19、（1）（2）【解析】（1）：根據(jù)正弦定理由邊化角和三角正弦和公式即可求解；（2）：根據(jù)余弦定理和均值不等式求得最大值，利用面積公式即可求解【小問1詳解】由正弦定理及，得，∵，∵，∴【小問2詳解】由余弦定理，∴，∴，當且僅當時等號成立，∴的面積的最大值為20、（1）（2）眾數(shù)；中位數(shù)【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖矩形面積和為1列式即可；（2）根據(jù)眾數(shù)即最高矩形中間值，中位數(shù)左右兩邊矩形面積各為0.5列式即可.【小問1詳解】由,得【小問2詳解】50名學生競賽成績的眾數(shù)為設中位數(shù)為,則解得所以這50名學生競賽成績的中位數(shù)為76.421、（1）；（2）8.【解析】（1）由等軸雙曲線的一條漸近線方程為，再由點到直線距離公式求解即可；（2）求得直線方程代入拋物線，結(jié)合焦點弦長求解即可.【詳解】（1）由等軸雙曲線的一條漸近線方程為，且頂點到漸近線的距離為，可得，解得，故雙曲線方程（2）拋物線的焦點為直線的方程為，即與拋物線方程聯(lián)立，得，消，整理得，設其兩根為，，且由拋物線的定義可知，所以，線段的長是【點睛】(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系；(2)有關直線與拋物線弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取中點，由面面垂直和線面垂直性質(zhì)可證得，結(jié)合，由線面垂直判定可證得平