2025年線性代數(shù)技術(shù)資格考試卷考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿(mǎn)分：100分試卷名稱(chēng)：2025年線性代數(shù)技術(shù)資格考試卷考核對(duì)象：線性代數(shù)技術(shù)相關(guān)行業(yè)從業(yè)者及高等院校相關(guān)專(zhuān)業(yè)學(xué)生題型分值分布：-判斷題（總共10題，每題2分）總分20分-單選題（總共10題，每題2分）總分20分-多選題（總共10題，每題2分）總分20分-案例分析（總共3題，每題6分）總分18分-論述題（總共2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.行列式等于其任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)代數(shù)余子式乘積之和。2.若矩陣A可逆，則其轉(zhuǎn)置矩陣A^T也可逆，且(A^T)^-1=(A^-1)^T。3.齊次線性方程組Ax=0一定有零解。4.若向量組α1,α2,α3線性無(wú)關(guān)，則α1+α2,α2+α3,α3+α1也線性無(wú)關(guān)。5.矩陣的秩等于其非零子式的最高階數(shù)。6.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值一定是實(shí)數(shù)。7.若向量組α1,α2,α3線性相關(guān)，則α1,α2,α3中任意兩個(gè)向量都線性相關(guān)。8.行列式為零的矩陣一定是奇異矩陣。9.線性變換的核（零空間）與像（值域）的維數(shù)之和等于原向量空間的維數(shù)。10.若A和B是同階可逆矩陣，則AB也是可逆矩陣。二、單選題（每題2分，共20分）1.設(shè)A為3階矩陣，|A|=2，則|3A|等于（）。A.3B.6C.18D.542.矩陣A的秩為2，則其伴隨矩陣A的秩為（）。A.0B.1C.2D.33.向量組α1=(1,0,0),α2=(0,1,0),α3=(0,0,1)的秩為（）。A.1B.2C.3D.44.若矩陣A的行列式為零，則（）。A.A必為零矩陣B.A可能有非零行C.A的秩為0D.A的秩等于其階數(shù)5.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征向量之間（）。A.必然正交B.必然線性相關(guān)C.必然線性無(wú)關(guān)D.必然平行6.齊次線性方程組Ax=0有非零解的條件是（）。A.|A|≠0B.|A|=0C.A可逆D.A不可逆7.矩陣A的秩為r，則其非零子式的最高階數(shù)為（）。A.r-1B.rC.r+1D.08.若向量β可由向量組α1,α2,α3線性表示，則（）。A.α1,α2,α3線性無(wú)關(guān)B.α1,α2,α3線性相關(guān)C.β與α1,α2,α3共面D.β與α1,α2,α3垂直9.行列式|A|的元素按行展開(kāi)等于（）。A.對(duì)角線元素之和B.任意一行（列）元素與其代數(shù)余子式乘積之和C.主對(duì)角線元素之積D.副對(duì)角線元素之積10.線性變換f(x)=Ax的核是（）。A.f(x)的值域B.f(x)的零空間C.A的像空間D.A的核空間三、多選題（每題2分，共20分）1.下列命題正確的有（）。A.若A可逆，則|A|≠0B.若|A|=0，則A必為奇異矩陣C.矩陣的秩等于其行向量組的秩D.矩陣的秩等于其列向量組的秩E.矩陣的秩等于其非零子式的最高階數(shù)2.向量組α1,α2,α3線性無(wú)關(guān)的充要條件是（）。A.α1,α2,α3中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)B.α1,α2,α3的秩為3C.α1,α2,α3的行列式不為零D.α1,α2,α3不能由其他向量線性表示E.α1,α2,α3的秩小于33.矩陣A的伴隨矩陣A的性質(zhì)有（）。A.AA=|A|EB.AA=|A|A^-1（當(dāng)A可逆時(shí)）C.AA=A^2D.AA=|A|E（當(dāng)A可逆時(shí)）E.AA=0（當(dāng)A為零矩陣時(shí)）4.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值具有的性質(zhì)有（）。A.必為實(shí)數(shù)B.必為復(fù)數(shù)C.必為正數(shù)D.必為負(fù)數(shù)E.可以是零5.齊次線性方程組Ax=0的解的情況有（）。A.只有零解B.有非零解C.無(wú)解D.解唯一E.解不唯一6.矩陣的秩與其子式的關(guān)系有（）。A.秩等于非零子式的最高階數(shù)B.秩小于等于其階數(shù)C.秩大于其階數(shù)D.秩等于其行向量組的秩E.秩等于其列向量組的秩7.向量組α1,α2,α3線性相關(guān)的充要條件是（）。A.α1,α2,α3中至少一個(gè)向量可由其他向量線性表示B.α1,α2,α3的秩小于3C.α1,α2,α3的行列式為零D.α1,α2,α3中任意兩個(gè)向量線性相關(guān)E.α1,α2,α3的秩等于38.行列式的性質(zhì)有（）。A.行列式等于其任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)代數(shù)余子式乘積之和B.交換兩行（列）行列式變號(hào)C.某行（列）全為零，行列式為零D.某行（列）乘以常數(shù)k，行列式也乘以kE.行列式等于其轉(zhuǎn)置行列式9.線性變換的性質(zhì)有（）。A.f(α+β)=f(α)+f(β)B.f(cα)=cf(α)C.f(α)=0對(duì)任意α成立D.f(α+β)=f(α)·f(β)E.f(α)·f(β)=f(α+β)10.矩陣的秩與其行列式的關(guān)系有（）。A.若|A|≠0，則A可逆B.若A可逆，則|A|≠0C.若|A|=0，則A不可逆D.若A不可逆，則|A|=0E.矩陣的秩等于其非零子式的最高階數(shù)四、案例分析（每題6分，共18分）1.已知矩陣A為3階矩陣，且A的秩為2，|A|的值為-3。求A的伴隨矩陣A的秩，并說(shuō)明理由。2.設(shè)向量組α1=(1,1,1),α2=(1,2,3),α3=(1,3,6)。判斷該向量組是否線性無(wú)關(guān)，并說(shuō)明理由。3.已知線性變換f(x)=Ax，其中A為2階矩陣，且f(α1)=β1，f(α2)=β2，其中α1=(1,0),α2=(0,1),β1=(1,2),β2=(3,4)。求矩陣A。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述矩陣的秩與其子式的關(guān)系，并舉例說(shuō)明。2.論述實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)，并說(shuō)明其在實(shí)際應(yīng)用中的意義。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√2.√3.√4.√5.√6.√7.×8.√9.√10.√解析：1.行列式按行（列）展開(kāi)定理。2.伴隨矩陣的性質(zhì)。3.齊次線性方程組恒有零解。4.線性無(wú)關(guān)向量組的線性組合仍線性無(wú)關(guān)。5.秩的定義。6.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為實(shí)數(shù)。7.線性相關(guān)向量組不一定所有向量都線性相關(guān)。8.行列式為零的矩陣為奇異矩陣。9.線性變換的秩-零維定理。10.可逆矩陣乘積仍可逆。二、單選題1.C2.B3.C4.B5.A6.B7.B8.C9.B10.B解析：1.|3A|=3^3|A|=27×2=54。2.伴隨矩陣的秩為1（當(dāng)原矩陣秩為n-1時(shí)）。3.三階單位矩陣的秩為3。4.行列式為零的矩陣為奇異矩陣。5.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征向量正交。6.齊次線性方程組有非零解的條件是|A|=0。7.秩等于非零子式的最高階數(shù)。8.向量β可由α1,α2,α3線性表示，說(shuō)明β與α1,α2,α3共面。9.行列式按行（列）展開(kāi)定理。10.線性變換的核是f(x)=0的解集。三、多選題1.A,B,C,D,E2.A,B,C,D3.A,B,D4.A5.A,B6.A,B,D,E7.A,B,C8.A,B,C,D,E9.A,B10.A,B,C,D,E解析：1.A.可逆矩陣行列式不為零。B.奇異矩陣行列式為零。C.秩等于行向量組秩。D.秩等于列向量組秩。E.秩等于非零子式的最高階數(shù)。2.A.線性無(wú)關(guān)向量組任意兩個(gè)線性無(wú)關(guān)。B.秩為3說(shuō)明向量組線性無(wú)關(guān)。C.行列式不為零說(shuō)明向量組線性無(wú)關(guān)。D.線性無(wú)關(guān)向量組不能由其他向量線性表示。E.秩小于3說(shuō)明向量組線性相關(guān)。3.A.伴隨矩陣性質(zhì)。B.伴隨矩陣性質(zhì)（可逆時(shí)）。D.伴隨矩陣性質(zhì)（可逆時(shí)）。4.A.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣特征值為實(shí)數(shù)。5.A.齊次線性方程組恒有零解。B.齊次線性方程組有非零解的條件是系數(shù)矩陣行列式為零。6.A.秩等于非零子式的最高階數(shù)。B.秩小于等于階數(shù)。D.秩等于行向量組秩。E.秩等于列向量組秩。7.A.線性相關(guān)向量組至少一個(gè)向量可由其他向量線性表示。B.秩小于3說(shuō)明向量組線性相關(guān)。C.行列式為零說(shuō)明向量組線性相關(guān)。8.A.行列式按行（列）展開(kāi)定理。B.交換兩行（列）行列式變號(hào)。C.某行（列）全為零，行列式為零。D.某行（列）乘以常數(shù)k，行列式也乘以k。E.行列式等于其轉(zhuǎn)置行列式。9.A.線性變換的加法性質(zhì)。B.線性變換的數(shù)乘性質(zhì)。10.A.可逆矩陣行列式不為零。B.行列式不為零的矩陣可逆。C.奇異矩陣行列式為零。D.不可逆矩陣行列式為零。E.秩等于非零子式的最高階數(shù)。四、案例分析1.解：A為3階矩陣，秩為2，則|A|=0，A的秩為1。理由：伴隨矩陣A的秩為n-r+1，其中n為階數(shù)，r為秩。2.解：計(jì)算向量組的行列式：|111||123||136|=1×(2×6-3×3)-1×(1×6-3×1)+1×(1×3-2×1)=0行列式為零，向量組線性相關(guān)。3.解：A為2階矩陣，設(shè)A=(a,b;c,d)。