/湖南省常德市多校2026屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．已知集合，則（）A． B．C． D．2．復(fù)數(shù)的虛部為（

）A．-3 B． C． D．3．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．4．已知圓柱的底面半徑為1，體積為，則該圓柱的表面積為（

）A． B． C． D．5．光束是由一粒一粒運(yùn)動(dòng)著的粒子流組成的，這種粒子被稱為光量子，簡稱光子．已知在某次光學(xué)實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)組相關(guān)人員用感光設(shè)備捕獲了從同一光源發(fā)射出來的兩個(gè)光子A，B，通過數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析得知，在平面直角坐標(biāo)系中它們的位移所對應(yīng)的向量分別為，設(shè)光子相對光子的位移為，則在上的投影向量的坐標(biāo)表示為（

）A． B． C． D．6．盒中有5個(gè)紅球，3個(gè)黑球，今隨機(jī)地從中取出一個(gè)，觀察其顏色后放回，并放入同色球2個(gè)，再從盒中任取一球，則第二次取出的是黑球的概率是（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，則“為遞增數(shù)列”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件8．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若圓上存在點(diǎn)使得的中點(diǎn)在的漸近線上，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．人類的四種血型與基因類型的對應(yīng)為：O型的基因類型為，A型的基因類型為或，B型的基因類型為或，型的基因類型為，其中，a和b是顯性基因，i是隱性基因.則下列說法正確的是（

）A．若父親的血型為型，則孩子的血型可能為O型B．若父母的血型不相同，則父母血型的基因類型組合有26種C．若孩子的爺爺、奶奶、母親的血型均為型，孩子與父親血型相同的概率為D．若孩子的爺爺、奶奶、母親的血型均為型，則孩子也是型的概率為10．已知無窮數(shù)列滿足，設(shè)其前n項(xiàng)和為，記，則（

）A．存在等差數(shù)列，使得是遞增數(shù)列；B．存在等比數(shù)列，使得是遞增數(shù)列；C．若是遞減數(shù)列，則且；D．若是遞減數(shù)列，則可能存在且，使得．11．已知函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．有最大值B．C．若時(shí)，恒成立，則D．設(shè)為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，則三、填空題12．的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（用數(shù)字作答）.13．已知橢圓的上頂點(diǎn)為，直線交于兩點(diǎn).若的重心為，則實(shí)數(shù)的值是.14．函數(shù)的值域?yàn)椋?、解答題15．已知向量，函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在中，分別是角的對邊，的面積為，求的周長.16．如圖，在四邊形中，，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，，.將四邊形沿翻折至四邊形，使得面與面EFCB所成的二面角為．（1）證明：平面；（2）求面與面所成的二面角的正弦值．17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為分別是的左、右焦點(diǎn)，是上位于軸上方的兩點(diǎn)，且直線與直線平行，與交于點(diǎn).當(dāng)軸時(shí)，.（1）求橢圓的方程.（2）證明：為定值.（3）記點(diǎn)的軌跡為，動(dòng)直線與交于兩點(diǎn)，求面積的最大值.18．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線與軸平行，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)的極大值為，求證：；（3）設(shè)，若函數(shù)與共有4個(gè)不同的零點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得這4個(gè)零點(diǎn)在調(diào)整順序后成為等差數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.19．設(shè)函數(shù)，證明：（1）對每個(gè)，存在唯一的，滿足；（2）對于任意，由（1）中構(gòu)成數(shù)列滿足.

參考答案1．【答案】A【詳解】由題意知，又，所以．故選A．2．【答案】C【詳解】由題復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選C3．【答案】A【詳解】由題意是偶函數(shù)，所以，解得，又，所以.故選A.4．【答案】C【詳解】設(shè)圓柱的高為，底面半徑為1，由圓柱的體積為可得：，所以該圓柱的表面積為，故選C.5．【答案】C【詳解】由向量，可得，所以在上的投影向量為．．故選C．6．【答案】C【詳解】設(shè)第一次取到黑球?yàn)槭录嗀，第二次取到黑球?yàn)槭录﨎，則，所以.故選C.7．【答案】B【詳解】已知函數(shù)，數(shù)列滿足.①充分性：若為遞增數(shù)列，則對于所有，滿足，即.當(dāng)時(shí)，成立，即：，：，：，：需要滿足，即，當(dāng)，，要使在時(shí)單調(diào)遞增，則.綜上，若數(shù)列遞增，則，所以“數(shù)列遞增”不能推出“”，不滿足充分性.②必要性：若，則，由①知當(dāng)時(shí)為遞增數(shù)列，所以“”能滿足“數(shù)列遞增”，即“數(shù)列遞增”是“”的必要條件.所以“為遞增數(shù)列”是“”的必要不充分條件.故選B.8．【答案】B【詳解】因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)為，則，即，且雙曲線的漸近線方程為，設(shè)為圓上一點(diǎn)，且圓心為，半徑，則的中點(diǎn)在其漸近線上，可得，即，所以點(diǎn)在直線上，因?yàn)閳A心到直線的距離為，因?yàn)閳A上存在點(diǎn)滿足條件，所以直線與圓有公共點(diǎn)，所以，即，可得，可得，所以，又因?yàn)殡p曲線的離心率，所以，所以雙曲線的離心率的取值范圍為.故選B.9．【答案】BC【詳解】若父親的血型為型，即基因類型為，則母親的可以是：，，，，，，則孩子的血型的基因類型為，，，，，沒有，即孩子的血型不可能為O型，故A錯(cuò)誤；若父母的血型不相同，當(dāng)父親血型的基因類型為時(shí)，母親的可以是：，，，，共5種；當(dāng)父親血型的基因類型為時(shí)，母親的可以是：，，，共4種；當(dāng)父親血型的基因類型為時(shí)，母親的可以是：，，，共4種；當(dāng)父親血型的基因類型為時(shí)，母親的可以是：，，，共4種；當(dāng)父親血型的基因類型為時(shí)，母親的可以是：，，，共4種；當(dāng)父親血型的基因類型為時(shí)，母親的可以是：，，，，共5種，所以父母血型的基因類型組合有種，故B正確；若孩子的爺爺、奶奶、母親的血型均為型，即基因類型為，則父親血型的基因類型可能是，，，其對應(yīng)的概率分別為，，，當(dāng)父親血型的基因類型是，母親的為，則孩子的可能是，，對應(yīng)的概率分別為，，故此時(shí)孩子與父親血型相同的概率為；當(dāng)父親血型的基因類型是，母親的為，則孩子的可能是，，對應(yīng)的概率分別為，，，故此時(shí)孩子與父親血型相同的概率為；當(dāng)父親血型的基因類型是，母親的為，則孩子的可能是，，對應(yīng)的概率分別為，，故此時(shí)孩子與父親血型相同的概率為；綜上，若孩子的爺爺、奶奶、母親的血型均為型，孩子與父親血型相同的概率為，故C正確，D錯(cuò)誤.故選BC.10．【答案】BC【詳解】對于A,當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，設(shè)首項(xiàng)和公差分別為，則，則，當(dāng)時(shí)，，由于，由于，故當(dāng)時(shí)，，故，不滿足為遞增數(shù)列，故A錯(cuò)誤，對于B,當(dāng)為等比數(shù)列時(shí)，設(shè)，則，，由于單調(diào)遞減，故為遞增數(shù)列，故B正確，對于C,是遞減數(shù)列，則時(shí)，，即，故，故C正確，對于D,是遞減數(shù)列，則時(shí)，，即，故不存在且，使得．故D錯(cuò)誤，故選BC11．【答案】ACD【詳解】對于選項(xiàng)A,由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，解得；令，解?則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有最大值，故A正確；對于選項(xiàng)B,因?yàn)?，則，所以，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C,構(gòu)建，則，因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，恒成立，則，解得，若，則當(dāng)時(shí)恒成立，則在上單調(diào)遞減，則，符合題意.綜上,符合題意，故C正確；對于選項(xiàng)D,因?yàn)?，整理得，即，由選項(xiàng)A可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)x趨近于0時(shí)，趨近于0，且令，解得，不妨設(shè)，構(gòu)建，因?yàn)樵谏虾愠闪?，則在上單調(diào)遞增，可得，所以，即，可得，注意到在上單調(diào)遞減，且，所以，即，故D正確.故選ACD.【方法總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟：（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地，當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問題．12．【答案】【詳解】由題可得二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式為，所以當(dāng)時(shí)得展開式常數(shù)項(xiàng)為.13．【答案】/0.75【詳解】已知橢圓，上頂點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)，，因?yàn)榈闹匦臑?，所以?由可得；由可得.直曲聯(lián)立，將直線代入橢圓，可得.展開并整理得.根據(jù)韋達(dá)定理可知.又因?yàn)椋?，所?由可得①；由可得②.由②可得，將其代入①可得：，則，解得.當(dāng)時(shí)，代入②可得，，此時(shí)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意.14．【答案】【詳解】令，則，由于是奇函數(shù)且周期為，只需考慮（值域?qū)ΨQ）.令，，則，（時(shí)，）變?yōu)榱顚η髮?dǎo)得：，令，得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的最大值是，的最大值為由于是奇函數(shù)，故最小值為，值域?yàn)?5．【答案】（1）（2）【詳解】（1），令，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2），則，則，即，又，故，則，故，，即，則，即有，故的周長為.16．【答案】（1）見詳解（2）【詳解】（1）設(shè)，所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，，所以是平行四邊形，所以，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．?）因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，以為原點(diǎn)，以及垂直于平面的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，平面與平面所成二面角為60°，所以.則，，，，，.所以.設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，則，則.設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，則，所以.所以.所以平面與平面夾角的正弦值為.17．【答案】（1）（2）見詳解（3）【詳解】（1）當(dāng)軸時(shí)，，所以，此時(shí)由對稱性可知，因?yàn)檩S，為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，所以，且，所以，解得，所以橢圓的方程為.（2）證明：延長交橢圓于點(diǎn)，由對稱性可知關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)，，所以，聯(lián)立，可得，且，所以，所以，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，，即，?lián)立的方程可解得，所以，因?yàn)樵谳S上方，所以且，所以，又因?yàn)?，所以，解得，所以，又因?yàn)闀r(shí)，恒成立，所以，所以為定值.（3）由（2）可知，為以為焦點(diǎn)，以為長軸長的半橢圓，設(shè)半橢圓的方程為，所以，所以，設(shè)，聯(lián)立和的方程，可得，則，且，即，到直線的距離為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以面積的最大值為.18．【答案】（1）；（2）見詳解；（3）不存在.【詳解】（1），.（2），當(dāng)時(shí)，令，則或，則當(dāng)，；當(dāng)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故.當(dāng)時(shí)，在上遞增，不存在極大值.當(dāng)時(shí)，令，則或，則當(dāng)，；當(dāng)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故.，設(shè)，，，當(dāng)，；當(dāng)，；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增..證畢！（3）由于，所以與的零點(diǎn)個(gè)數(shù)相同.依題意共有個(gè)不同的零點(diǎn)，所以有兩個(gè)零點(diǎn).，當(dāng)，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，不符合題意.當(dāng)，則在上，在上；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，所以有.不妨設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)為，的兩個(gè)零點(diǎn)為，則有，.若四個(gè)零點(diǎn)成等差數(shù)列，則有兩種情況.①當(dāng)時(shí)，有可得①即，可得.即，②代回原式可得代入①可得，即這與②矛盾，故不存在.②當(dāng)時(shí)，有可得③即，可得.即，④代回原式可得代入③可得，即這與④矛盾，故不存在.綜上所述，不存在實(shí)數(shù)使得四個(gè)零點(diǎn)成等差數(shù)列.19．【答案】見詳解【詳解】（1）對每個(gè)，當(dāng)時(shí)，，則在內(nèi)單調(diào)遞增，而，當(dāng)時(shí)，，故，又，所以對每個(gè)，存在唯一的，滿足（2）當(dāng)時(shí)，，并由（1）知由在內(nèi)單調(diào)遞增知，，故為單調(diào)遞減數(shù)列，從而對任意,對任意，①②①②并移項(xiàng)，利用，可得.綜上可得，對于任意，由（1）中構(gòu)成數(shù)列滿足.本題考查的是數(shù)列函數(shù)，而且含雙變量，考生在做題的過程中需要冷靜的處理好每個(gè)變量.第（1）題考查函數(shù)的零點(diǎn)問