2026屆甘肅省蘭州市七里河區(qū)蘭州五十五中數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)作直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，則能使點(diǎn)P為線段AB中點(diǎn)的直線l的條數(shù)為()A.0 B.1C.2 D.32．等比數(shù)列{}中，已知=8，+=4，則的值為（）A.1 B.2C.3 D.53．過(guò)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F分別作斜率為k1、k2的直線l1、l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，若|k1·k2|=2，則|AB|+|DE|的最小值為（）A.10 B.12C.14 D.164．已知圓C的方程為，點(diǎn)P在圓C上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（）A.3 B.C. D.5．設(shè)是雙曲線與圓在第一象限的交點(diǎn)，，分別是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.6．若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則最小值為（）A.-2 B.-1C.1 D.27．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足，則（）A. B.C.3 D.48．已知中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，成等比數(shù)列，則這個(gè)三角形的形狀是（）A.直角三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.鈍角三角形9．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇－1，5]，其部分自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)情況如下表：x－10245f（x）312.513f（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示．給出下列四個(gè)結(jié)論：①f（x）在區(qū)間[－1，0]上單調(diào)遞增；②f（x）有2個(gè)極大值點(diǎn)；③f（x）的值域?yàn)閇1，3]；④如果x∈[t，5]時(shí)，f（x）的最小值是1，那么t的最大值為4其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.③ B.①④C.②③ D.③④10．如圖，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的的值為（）A. B.2C. D.311．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且圓心是兩直線與的交點(diǎn)的圓的方程為（）A. B.C. D.12．中，三邊長(zhǎng)之比為，則為（）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不存在這樣的三角形二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若圓C：與圓D2的公共弦長(zhǎng)為，則圓D的半徑為_(kāi)__________.14．設(shè)，若不等式在上恒成立，則的取值范圍是______.15．某n重伯努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為p，事件A發(fā)生的次數(shù)記為X，，，則______16．我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一個(gè)原理“冪勢(shì)既同，則積不容異”，即夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.現(xiàn)有某幾何體和一個(gè)圓錐滿足祖暅原理的條件，若該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為2的半圓，則該幾何體的體積為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在多面體ABCEF中，和均為等邊三角形，D是AC的中點(diǎn)，（1）證明：（2）若平面平面ACE，求二面角余弦值.18．（12分）在中，是的中點(diǎn)，，現(xiàn)將該平行四邊形沿對(duì)角線折成直二面角，如圖：（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，和分別是和的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且.（1）證明：無(wú)論取何值，總有；（2）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．（12分）阿基米德（公元前年—公元前年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸與短半軸的乘積.已知平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn)，求面積的最大值.21．（12分）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值22．（10分）（1）敘述正弦定理；（2）在△中，應(yīng)用正弦定理判斷“”是“”成立的什么條件，并加以證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】先假設(shè)存在這樣的直線，分斜率存在和斜率不存在設(shè)出直線的方程，當(dāng)斜率k存在時(shí)，與雙曲線方程聯(lián)立，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則，，又根據(jù)是線段的中點(diǎn)，則，由此求出與矛盾，故不存在這樣的直線滿足題意；當(dāng)斜率不存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)的直線不滿足條件，故符合條件的直線不存在.詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為或，①當(dāng)斜率存在時(shí)有，得(*)當(dāng)直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則必有：，即又方程(*)的兩個(gè)不同的根是兩交點(diǎn)、的橫坐標(biāo)，又為線段的中點(diǎn)，，即，，使但使，因此當(dāng)時(shí)，方程①無(wú)實(shí)數(shù)解故過(guò)點(diǎn)與雙曲線交于兩點(diǎn)、且為線段中點(diǎn)的直線不存在②當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線不滿足條件.綜上，符合條件的直線不存在故選：A2、C【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)求出公比，將原式化簡(jiǎn)后計(jì)算【詳解】設(shè)等比數(shù)列{}的公比為，則＝，＝，所以＝=.又＋＝＋＝（＋）＝8×＝2，＋＝＋＝（＋）＝8×＝1，所以＋＋＋＝2＋1＝3.故選：C3、B【解析】設(shè)出l1的方程為，與拋物線聯(lián)立后得到兩根之和，兩根之積，用弦長(zhǎng)公式表達(dá)出，同理表達(dá)出，利用基本不等式求出的最小值.【詳解】拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F為，直線l1的方程為，則聯(lián)立后得到，設(shè)，，，則，同理設(shè)可得：，因?yàn)閨k1·k2|=2，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，等號(hào)成立，故選：B4、B【解析】化簡(jiǎn)判斷圓心和半徑，利用圓的性質(zhì)判斷連接線段OC，交圓于點(diǎn)P時(shí)最小，再計(jì)算求值即得結(jié)果.【詳解】化簡(jiǎn)得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故圓心是，半徑，則連接線段OC，交圓于點(diǎn)P時(shí)最小，因?yàn)樵c(diǎn)到圓心的距離，故此時(shí).故選：B.5、B【解析】先由雙曲線定義與題中條件得到，，求出，，再由題意得到，即可根據(jù)勾股定理求出結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)雙曲線定義：，，∴，∴，，，∴是圓的直徑，∴，中，，得故選【點(diǎn)睛】本題主要考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可，屬于常考題型.6、B【解析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案【詳解】由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得，由，得，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)時(shí)，直線在軸上的截距最小，有最小值為故選：B7、C【解析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再由，可求出的關(guān)系式，然后求【詳解】由，得，因?yàn)椋?，所以，故選：C8、B【解析】根據(jù)題意求出，結(jié)合余弦定理分情況討論即可.【詳解】解：因?yàn)椋?由題意得，利用余弦定理得：.當(dāng)，即時(shí)，，即，解得：.此時(shí)三角形為等邊三角形；當(dāng)，即時(shí)，,不成立.所以三角形的形狀是等邊三角形.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用余弦定理判斷三角形的形狀，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】直接利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像，進(jìn)一步畫(huà)出函數(shù)的圖像，進(jìn)一步利用函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的極值和端點(diǎn)值可得結(jié)論【詳解】解：由f（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖像，畫(huà)出的圖像，如圖所示，對(duì)于①，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以①錯(cuò)誤，對(duì)于②，有1個(gè)極大值點(diǎn)，2個(gè)極小值點(diǎn)，所以②錯(cuò)誤，對(duì)于③，根據(jù)函數(shù)的極值和端點(diǎn)值可知的值域?yàn)椋寓壅_，對(duì)于④，如果x∈[t，5]時(shí)，由圖像可知，當(dāng)f（x）的最小值是1時(shí)，t的最大值為4，所以④正確，故選：D10、B【解析】根據(jù)程序流程圖依次算出的值即可.【詳解】，第一次執(zhí)行，，第二次執(zhí)行，，第三次執(zhí)行，，所以輸出.故選：B11、B【解析】求出圓心坐標(biāo)和半徑后，直接寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由得，即所求圓的圓心坐標(biāo)為.由該圓過(guò)點(diǎn)，得其半徑為1，故圓的方程為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】利用余弦定理可求得最大角的余弦值小于零，由此可知最大角為鈍角.【詳解】設(shè)三邊分別為，，，中的最大角為，，為鈍角，為鈍角三角形.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】首先根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系得到公共弦方程，再根據(jù)弦長(zhǎng)求解即可.【詳解】根據(jù)得公共弦方程為：.因?yàn)楣蚕议L(zhǎng)為，所以直線過(guò)圓的圓心.所以，解得.故答案為：14、【解析】構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，結(jié)合已知不等式恒成立，即可確定的范圍.【詳解】令，則且，若得：；若得：；所以在上遞增，在上遞減，故，要使在上恒成立，即.故答案為：.15、##0.2【解析】根據(jù)二項(xiàng)分布的均值和方差的計(jì)算公式可求解【詳解】依題意得X服從二項(xiàng)分布，則，解得，故答案為：16、【解析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為2的半圓，由，求得底面半徑，進(jìn)而得到高，再利用錐體的體積公式求解.【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，高為h，底面半徑為r，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為2的半圓，所以，解得，所以，所以圓錐的體積為：，故該幾何體的體積為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到、，即可得到平面，再根據(jù)，即可得證；（2）由面面垂直的性質(zhì)得到平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，即可得到點(diǎn)，，的坐標(biāo)，最后利用空間向量法求出二面角的余弦值；【小問(wèn)1詳解】證明：連接DE因?yàn)?，且D為AC的中點(diǎn)，所以因?yàn)?，且D為AC的中點(diǎn)，所以因?yàn)槠矫鍮DE，平面BDE，且，所以平面因?yàn)?，所以平面BDE，所以【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可知因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，所以DC，DB，DE兩兩垂直以D為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)．則，，．從而，設(shè)平面BCE的法向量為，則令，得平面ABC的一個(gè)法向量為設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，則18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）先求出BD，通過(guò)勾股定理的逆定理得，再由面面垂直的性質(zhì)得線面垂直，從而得線線垂直；（2）作出二面角，然后再解直角三形即可.【小問(wèn)1詳解】在中，，，由余弦定理有：，∴，∴，即.又∵二面角是直二面角，平面ABD平面BCD＝BD，AB?平面ABD，∴AB⊥平面BCD.又CD?平面BCD，∴AB⊥CD.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，在中，由（1）易知,.過(guò)點(diǎn)作垂直的延長(zhǎng)線于，再連接.由（1）有AB⊥平面BCD，又平面BCD，所以，又，平面，平面，且,所以平面，又平面，所以，因此的大小即二面角的大小.而在中有,，可得，所以，所以.所以二面角的余弦值是.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）不存在，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算得出，即可得出結(jié)論；（2）計(jì)算出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，所以，，則，因此，無(wú)論取何值，總有；（2），設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以，平面的一個(gè)法向量為，易知平面的一個(gè)法向量為，由題意可得，整理可得，，此方程無(wú)解，因此，不存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的角為.20、(1)；(2).【解析】（1）根據(jù)題意計(jì)算得到，得到橢圓方程.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到，，表示出，解得答案.【詳解】(1)依題意有解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.(2)由題意直線的斜率不能為，設(shè)直線的方程為，由方程組得，設(shè)，，所以，，所以，所以，令（），則，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)，即時(shí)，面積取得最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程，橢圓內(nèi)三角形面積的最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.21、，【解析