2026屆湖南省長沙市一中高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知是上的單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍是A.﹣1b2 B.﹣1b2C.b﹣2或b2 D.b﹣1或b22．函數(shù)在單調(diào)遞增的一個(gè)必要不充分條件是（）A. B.C. D.3．橢圓中以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線斜率為（）A. B.C. D.4．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線為，，過的直線與垂直，且交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.5．已知，，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B.C. D.6．如圖，棱長為1的正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A.B.平面平面C.的最大值為D.的最小值為7．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，直線過點(diǎn)且與直線垂直.若直線與圓交于兩點(diǎn)，則的面積為A.1 B.C.2 D.8．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù)，則的虛部為（）A. B.C. D.9．已知過點(diǎn)的直線l與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．?dāng)?shù)列滿足，且，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的值是（）A.2 B.3C.4 D.511．若曲線f(x)＝x2的一條切線l與直線平行，則l的方程為（）A.4x－y－4＝0 B.x＋4y－5＝0C.x－4y＋3＝0 D.4x＋y＋4＝012．已知，向量，，若，則x的值為（）A.-1 B.1C.-2 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列則是這個(gè)數(shù)列的第________項(xiàng).14．如圖，按照以下規(guī)律排列的數(shù)陣中，第i行從左向右第j個(gè)數(shù)記為，如，，則______；令則______15．已知函數(shù)，則函數(shù)在上的最大值為_______16．如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x=_____________，y=_____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓的方程為：.（1）求的值，使圓的周長最小；（2）過作直線，使與滿足（1）中條件的圓相切，求的方程，并求切線段的長.18．（12分）已知雙曲線與有相同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在圓上，求實(shí)數(shù)的值.19．（12分）設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，其離心率為，且點(diǎn)在C上.（1）求C的方程；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為C上任意一點(diǎn).若M為的中點(diǎn)，過M且平行于的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求值；若不存在，說明理由.20．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，為拋物線C上的點(diǎn)，且.（1）求拋物線C的方程；（2）若直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，求弦長.21．（12分）如圖，在四棱柱中，平面，底面ABCD滿足∥BC，且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）已知橢圓，其焦點(diǎn)為，，離心率為，若點(diǎn)滿足.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的重心滿足：，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】利用三次函數(shù)的單調(diào)性，通過其導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究，求出導(dǎo)數(shù)，利用其導(dǎo)數(shù)恒大于0即可解決問題【詳解】∵∴∵函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)∴在上恒成立∴，即.∴故選A.【點(diǎn)睛】可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上（或）（在該區(qū)間的任意子區(qū)間都不恒等于0）恒成立，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，從而獲得參數(shù)的取值范圍，本題是根據(jù)相應(yīng)的二次方程的判別式來進(jìn)行求解.2、D【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，由于函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，可得在區(qū)間上恒成立，求出的范圍，再根據(jù)充分必要條件的定義即可判斷得解.【詳解】由題得，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間上恒成立，而在區(qū)間上單調(diào)遞減，選項(xiàng)中只有是的必要不充分條件.選項(xiàng)AC是的充分不必要條件，選項(xiàng)B是充要條件.故選：D3、A【解析】先設(shè)出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入橢圓方程，兩式相減后整理即可求得弦所在的直線的斜率【詳解】設(shè)弦的兩端點(diǎn)為，，代入橢圓得兩式相減得，即，即，即，即，弦所在的直線的斜率為，故選:A4、C【解析】由題設(shè)易知是的中垂線，進(jìn)而可得，結(jié)合雙曲線參數(shù)關(guān)系及離心率公式求雙曲線的離心率即可.【詳解】由題意，是的中垂線，故，由對(duì)稱性得，則，故，∴.故選：C.5、B【解析】根據(jù)不等式的同向可加性求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所?故選：B.6、C【解析】∵，，∴面，面，∴，A正確；∵平面即為平面，平面即為平面，且平面，∴平面平面，∴平面平面，∴B正確；當(dāng)時(shí)，為鈍角，∴C錯(cuò)；將面與面沿展成平面圖形，線段即為的最小值，在中，，利用余弦定理解三角形得，即，∴D正確，故選C考點(diǎn)：立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題【思路點(diǎn)睛】立體幾何問題的求解策略是通過降維，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，具體方法表現(xiàn)為：

求空間角、距離，歸到三角形中求解；2．對(duì)于球的內(nèi)接外切問題，作適當(dāng)?shù)慕孛?，既要能反映出位置關(guān)系，又要反映出數(shù)量關(guān)系；求曲面上兩點(diǎn)之間的最短距離，通過化曲為直轉(zhuǎn)化為同一平面上兩點(diǎn)間的距離7、A【解析】∵圓的方程為，即，∴圓的圓心為，半徑為2.∵直線過點(diǎn)且與直線垂直∴直線.∴圓心到直線的距離.∴直線被圓截得的弦長，又∵坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為，∴的面積為.考點(diǎn)：1、直線與圓的位置關(guān)系；2、三角形的面積公式.8、D【解析】先設(shè)，代入化簡，由純虛數(shù)定義求出，即可求解.【詳解】設(shè)，所以，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得，所以的虛部為：.故選：D.9、D【解析】經(jīng)判斷點(diǎn)在圓內(nèi)，與半徑相連，所以與垂直時(shí)弦長最短，最長為直徑【詳解】將代入圓方程得：，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，連接，當(dāng)時(shí)，弦長最短，，所以弦長，當(dāng)過圓心時(shí)，最長等于直徑8，所以的取值范圍是故選：D10、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)的極值點(diǎn)，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)及其對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可【詳解】由，得，因?yàn)?，是函?shù)的極值點(diǎn)，所以，是方程兩個(gè)實(shí)根，所以，因?yàn)閿?shù)列滿足，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以，所以，故選：C11、D【解析】設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率為，然后根據(jù)條件可得的值，然后可得答案.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以切線的斜率為因?yàn)榍€f(x)＝x2的一條切線l與直線平行，所以，即所以l的方程為，即故選：D12、D【解析】根據(jù)給定條件利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【詳解】因向量，，，則，解得，所以x的值為2.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、12【解析】根據(jù)被開方數(shù)的特點(diǎn)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后利用通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】數(shù)列中每一項(xiàng)被開方數(shù)分別為：6，10，14，18，22，…，因此這些被開方數(shù)是以6為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列為，其通項(xiàng)公式為：，設(shè)數(shù)列為，所以，于是有，故答案為：14、①.55②.【解析】令易知是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式，再應(yīng)用累加法求及通項(xiàng)公式，結(jié)合求通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得，最后兩次應(yīng)用錯(cuò)位相減法求即可.【詳解】由題設(shè)知：令，則是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，故，所以，即，由上可得：，則，而，所以，則，所以，，所以，令，則，所以，故，綜上，，則.故答案為：，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：通過圖總結(jié)規(guī)律，易知是等差數(shù)列，應(yīng)用累加法求，再由求通項(xiàng)公式，最后應(yīng)用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和.15、【解析】利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性求出的單調(diào)性，比較極小值與兩端點(diǎn)，的大小求出在上的最大值.【詳解】因?yàn)?，則，令，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.令，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值也是函數(shù)的最小值.，兩端點(diǎn)為，，即最大值為.故答案為：.16、①.3②.5【解析】根據(jù)莖葉圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，列方程求出x、y.【詳解】由題意，甲組數(shù)據(jù)為56，62，65，70+x，74；乙組數(shù)據(jù)為59，61，67，60+y，78.要使兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相等，有65=60+y，所以y=5.又平均數(shù)相同，則，解得x=3.故答案為：3；5.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）直線方程為或，切線段長度為4【解析】（1）先求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由半徑最小則周長最小；（2）由，則圓的方程為：，直線和圓相切則圓心到直線的距離等于半徑，分直線與軸垂直和直線與軸不垂直兩種情況進(jìn)行討論即可得解.進(jìn)一步，利用圓的幾何性質(zhì)可求解切線的長度.【小問1詳解】，配方得：，當(dāng)時(shí)，圓的半徑有最小值2，此時(shí)圓的周長最小.【小問2詳解】由（1）得，，圓的方程為：.當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，，此時(shí)直線與圓相切，符合條件；當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)為，由直線與圓相切得：，解得，所以切線方程為，即.綜上，直線方程為或.圓心與點(diǎn)的距離，則切線長度為.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)所求雙曲線與有共同的漸近線可設(shè)出所求雙曲線方程為，在根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上，代入雙曲線方程中即可求解.（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理得出的關(guān)系，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，代入圓方程即可求解.【小問1詳解】由題意，設(shè)雙曲線的方程為，則又因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，，所以雙曲線的方程為：【小問2詳解】由，消去整理，得，設(shè)，則因?yàn)橹本€與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，所以，解得.，所以則中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入圓得，解得.實(shí)數(shù)的值為19、（1）；（2）.【解析】(1)列出關(guān)于a、b、c的方程組求解即可；(2)直線l斜率不存在時(shí)，易得λ的值；斜率存在時(shí)，設(shè)l方程為，聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，求出；求出OP方程，聯(lián)立OP方程與橢圓C的方程，求出；代入即可求得λ.【小問1詳解】由已知可得，解得，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】若直線的斜率不存在時(shí)，，∴；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為.聯(lián)立直線l與橢圓方程，消去y，得，∴.∵，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y，得，解得.∴，∴，同理，∴，∵，∴，故，存在滿足條件，綜上可得，存在滿足條件.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于弦長公式的運(yùn)用，AB斜率為k，，M(1，0)，則，，，將弦長之積轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理求解.20、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線定義可得，從而得到拋物線C的方程；（2）設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，消去，可得的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，計(jì)算可得所求值【詳解】（1），所以，即拋物線C的方程.（2）設(shè)，由得所以，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：計(jì)算拋物線弦長方法，(1)若直線過拋物線的焦點(diǎn)，則弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)(2)若直線不過拋物線的焦點(diǎn)，則用|AB|＝·|x1－x2|求解21、(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)證明，根據(jù)得到，得到證明.(Ⅱ)如圖所示，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量，，計(jì)算向量夾角得到答案.【詳解】(Ⅰ)平面，平面，故.，，故，故.，故平面.(Ⅱ)如圖所示：分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平面的法向量，則，即，取得到，，設(shè)直線與平面所成角為故.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直，線面夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.22、（1）（2）【解析】（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式，結(jié)合橢圓的定義可得在橢圓上，代入橢圓方程，求出，，即可求橢圓的方程；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系、以