專題07平面向量的綜合應(yīng)用(最值、范圍問題等)

目錄

01析·考情精解

02構(gòu)·知能框架

03破·題型攻堅

考點平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

真題動向

知識點1平面向量的數(shù)量積的定義

知識點2平面向量數(shù)量積的運算

必備知識

知識點3平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)

知識點4投影向量

題型1平面向量的數(shù)量積

題型2向量垂直與平行的坐標(biāo)表示

題型3向量的模

題型4向量的夾角

命題預(yù)測

題型5向量數(shù)量積的范圍問題

題型6與模有關(guān)的最值范圍問題

題型7線性運算中參數(shù)范圍問題

題型8平面向量在幾何中的應(yīng)用

平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用是核心考點之一，近年來的考查呈現(xiàn)出高頻、綜合、創(chuàng)新的特點。直

接或間接涉及該知識點的題目年均1-2題，占分約4-9分。

命題軌

填空題：側(cè)重基礎(chǔ)運算，如數(shù)量積計算、投影向量、夾角余弦值等。

跡透視選擇題：常考查向量共線、垂直條件或幾何意義。

解答題：綜合題居多，需結(jié)合幾何圖形或?qū)嶋H情境。

考點2025年2024年2023年

考點頻

平面向量數(shù)量積上海卷T2，4分

次總結(jié)上海卷T12，4分上海卷T5，4分

及其應(yīng)用

預(yù)計在2026年高考中，高考對平面向量的考查以平面向量的基礎(chǔ)知識、基本運算為主，考查與

平面向量基本定理相關(guān)的線性運算、向量的數(shù)量積運算、向量的夾角、向量的模。試題以中低檔

2026命

題為主，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，分值為4分。高考對本章的考查依然是基礎(chǔ)與能力并存，

題預(yù)測在知識的形成過程、知識的遷移中滲透數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)，重視函數(shù)與

方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想。

考點平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用

1,x0

1．（2025·上海·高考真題）已知f(x)0,x0，a、b、c是平面內(nèi)三個不同的單位向量．若

1,x0

rr

rrrr

f(ab)f(bc)f(ca)0，則|abc|的取值范圍是．

【答案】(1,5)

【分析】利用分段函數(shù)值分類討論，可得fab,fbc,fca1,0,1，再根據(jù)數(shù)量積關(guān)系設(shè)出a,b,c

坐標(biāo)，利用坐標(biāo)運算，結(jié)合三角恒等變換求解模的范圍可得.

【詳解】若fabfbcfca0，則abbcca0，

又三個向量均為平面內(nèi)的單位向量，故向量a,b,c兩兩垂直，顯然不成立；

故fab,fbc,fca1,0,1.

fab1

不妨設(shè)fbc0，則ab0,bc0,ca0，

fca1

不妨設(shè)b(1,0),c(0,1)，acos,sin,0,2π，

abcos03

則，則π,2π，

casin02

則abc(1cos,1sin)(1cos)2(1sin)232cos2sin

π

322sin()，

4

3π79

由π,2π，π,π，

2444

π22π

則sin(),，22sin()2,2

4224

故abc(1,5).

故答案為：(1,5).

2．（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題（網(wǎng)絡(luò)回憶版））已知kR,a2,5,b6,k，且a//b，則k的值

為．

【答案】15

【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.

【詳解】a//b，2k56，解得k15．

故答案為：15．

3．（2023·上?！じ呖颊骖}）已知a2,3,b1,2，求ab

【答案】4

【分析】

由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解.

【詳解】由題意得ab21324.

故答案為：4

知識點1平面向量的數(shù)量積的定義

1.向量的夾角

已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a

與b的夾角.?