第1章整式的乘除3乘法公式第3課時(shí)

完全平方公式的認(rèn)識(shí)北師版

七年級(jí)數(shù)學(xué)（下）導(dǎo)入新課什么是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則?平方差公式多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。(m+a)(n+b)=mn+mb+an+ab由下面的兩個(gè)圖形你能得到哪個(gè)公式?(a+b)(a–b)=a2–b2計(jì)算下列各式：（1）(m+3)2

；（2）(2+3x)2

。（1）(m+3)2=m2+6m+9=(m+3)(m+3)（2）(2+3x)2

=(2+3x)(2+3x)=4+12x+9x2觀察以上算式及其運(yùn)算結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)?

m2+2·3m+94+2·2·3x+9x2

兩個(gè)數(shù)的和的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加這兩個(gè)數(shù)乘積的2倍。平方式，兩項(xiàng)首平方，尾平方，積的2倍放中間新課探究你能再舉一些類似的例子驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)?

（1）(2x+y)2;（2）(3a+

2b)2。（1）(2x+y)2

=(2x+y)(2x+y)=2x·2x+2x·y+y·2x+y·y

=4x2+4xy+y2（2）(3a+2b)2=(3a+2b)

(3a+2b)=3a·3a+3a·2b+2b·3a+2b·2b

=9a2+12ab+4b2你能用字母表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎?

(a+b)2=a2+2ab+b2

你能用下圖解釋這一公式嗎?

baba思考探究baba=++a2ababb2(a+b)2=a2+2ab+b2如何計(jì)算(a–b)2?你是怎樣做的?

(a–b)2=(a–b)(a–b)=a2–2ab+b21

(a–b)2=[a+(–b)]2=a2+2a(–b)+(–b)2=a2–2ab+b22用自己的語(yǔ)言敘述這一公式！兩個(gè)數(shù)的差的平方，等于它們的平方和，減去它們的積的2倍。baba(a–b)2a2ababb2=–+(a–b)2=a2–2ab+b2請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)圖形解釋這一公式。探究思考(a+b)2=a2+2ab+b2(a–b)2=a2–2ab+b2完全平方公式：兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和加上(或減去)它們的積的2倍。口訣:首平方，尾平方，首尾二倍中間放。完全平方公式平方差公式整式乘法公式

利用完全平方公式計(jì)算：（1）(2x–3)2；（2）(4x+5y)2；（3）(mn–a)2

解：（1）(2x–3)2=(2x)2–2·2x·3+32（2）(4x+5y)2=(4x)2+2·4x·5y+(5y)2

=16x2+40xy+25y2

；（3）(mn–a)2=(mn)2–2·mn·a+a2

=m2n2–2amn+a2。

(a-b)2a2

-2ab+b2=4x2–12x+9；

探究思考如果將(a+b)n（n

為非負(fù)整數(shù)）的每一項(xiàng)按字母a

的次數(shù)由大到小排列，就可以得到下面的等式：(a+b)0=1，它只有一項(xiàng)，系數(shù)為1；(a+b)1=a+b，它有兩項(xiàng)，系數(shù)分別是1，1；(a+b)2=a2+2ab+b2，它有三項(xiàng)，系數(shù)分別是1，2，1；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四項(xiàng)，系數(shù)分別是1，3，3，1.

如果將上述每個(gè)式子的各項(xiàng)系數(shù)排成下表，那么你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

1111211331按照這個(gè)規(guī)律可以繼續(xù)將這個(gè)表寫下去：111121133114641151010511615201561……楊輝三角分析與示例命題角度1

直接運(yùn)用完全平方公式計(jì)算完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，口訣記憶為：首平方，尾平方，2倍之積在中央．【例1】計(jì)算(2x－y)2的結(jié)果是()A．4x2－4xy＋y2

B．4x2－2xy＋y2

C．4x2－y2

D．4x2＋y2A【例2】計(jì)算：(2a＋b)2.解：(2a＋b)2＝(2a)2＋2·2a·b＋b2＝4a2＋4ab＋b2.命題角度2綜合利用運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算

整式乘除的法則比較多，準(zhǔn)確地掌握各運(yùn)算法則的結(jié)構(gòu)特征才能靈活運(yùn)用．C【例4】下列計(jì)算錯(cuò)誤的是()A．x3÷x2＝x

B．a(chǎn)3·a2＝a5C．(a－b)2＝a2－b2

D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2C【例3】下列計(jì)算正確的是()A．a(chǎn)2·a3＝a6

B．(x＋y)2＝x2＋y2C．(a5÷a2)2＝a6

D．(－3xy)2＝9xy2命題角度3綜合運(yùn)用乘法公式進(jìn)行計(jì)算(1)對(duì)于三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的多項(xiàng)式乘法計(jì)算，如果具備乘法公式的特點(diǎn)，仍然可以用平方差公式或完全平方公式；(2)在此變形過(guò)程中，要運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律，正確添加括號(hào)，確定好a和b兩項(xiàng)，套用公式計(jì)算．【例5】為了應(yīng)用平方差公式計(jì)算(x＋3y－1)(x－3y＋1)，下列變形正確的是()A．[x－(3y＋1)]2

B．[x＋(3y＋1)]2C．[x＋(3y－1)][x－(3y－1)]

D．[(x－3y)＋1][(x－3y)－1]C【例6】計(jì)算：(x－y－z)2＝_______________________________．x2＋y2＋z2－2xy＋2yz－2xz命題角度4利用乘法公式化簡(jiǎn)求值

整式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題應(yīng)注意：(1)運(yùn)用公式時(shí)，括號(hào)前是負(fù)號(hào)的，去括號(hào)時(shí)要注意變號(hào)；(2)結(jié)果中有同類項(xiàng)的一定要合并同類項(xiàng)．

應(yīng)用舉例【例1】利用完全平方公式計(jì)算：(1)(2x－3)2；(2)(4x＋5y)2；【方法指導(dǎo)】引導(dǎo)學(xué)生利用公式特點(diǎn)寫出解答過(guò)程，規(guī)范解答過(guò)程．解：(1)原式＝(2x)2－2·2x·3＋32＝4x2－12x＋9；(2)原式＝(4x)2＋2·4x·5y＋(5y)2＝16x2＋40xy＋25y2；(3)原式＝(mn)2－2·mn·a＋a2＝m2n2－2amn＋a2.(3)(mn－a)2.【例2】如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一個(gè)完全平方式，求m的值．【方法指導(dǎo)】先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)完全平方公式確定m的值．解：因?yàn)?6x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，所以(m＋1)xy＝±2·6x·5y，所以m＋1＝±60，所以m＝59或－61.【例3】閱讀下列材料并解答后面的問(wèn)題：

34

4ab

(3)已知a－b＝2，ab＝3，分別求a2＋b2，a4＋b4的值．【方法指導(dǎo)】(3)靈活運(yùn)用完全平方公式的變式求代數(shù)式的值．解：(3)a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝22＋2×3＝10，a4＋b4＝(a2＋b2)2－2a2b2＝102－2(ab)2＝102－2×32＝82.課堂小結(jié)（a±b）2=a2±2ab+b2完全平方公式：語(yǔ)言敘述：兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和加上(或減去)它們的積的2倍。1．下列各式中哪些不可以運(yùn)用完全平方公式計(jì)算()A．(a＋b)(a＋b)

B．(x＋y)(－y＋x)C．(ab－3x)(－3x＋ab)

D．(－m－n)(m＋n)隨堂練習(xí)B2．指出下列各