2026年廣東中考數(shù)學(xué)寒假提分特訓(xùn)試卷（附答案解析）考試時間：90分鐘滿分：120分（核心目標(biāo)：對標(biāo)廣東中考課標(biāo)，聚焦寒假提分關(guān)鍵考點(diǎn)，強(qiáng)化解題技巧與易錯點(diǎn)突破，兼顧基礎(chǔ)夯實(shí)、中檔拔高與難點(diǎn)攻堅(jiān)，助力寒假高效提分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分?；A(chǔ)題5小題，中檔提分題4小題，難點(diǎn)題1小題，精準(zhǔn)覆蓋提分核心知識點(diǎn)）1.下列實(shí)數(shù)中，既是有理數(shù)又是正數(shù)的是（）A.√5B.-2.7C.3/4D.π2.下列運(yùn)算正確的是（）A.a3·a?=a12B.(a2)?=a?C.2a3+3a3=5a3D.a?÷a2=a?3.一次函數(shù)y=2x+1的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及y隨x的變化規(guī)律分別是（）A.(0,1)，y隨x增大而增大B.(0,1)，y隨x增大而減小C.(1,0)，y隨x增大而增大D.(1,0)，y隨x增大而減小4.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，則AB的長為（）A.2B.4C.2√3D.4√35.關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+k=0有兩個不相等實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A.k<1B.k>1C.k≤1D.k≥16.反比例函數(shù)y=8/x的圖象上有兩點(diǎn)A(x?,y?)、B(x?,y?)，若x?>x?>0，則y?與y?的大小關(guān)系是（）A.y?>y?B.y?<y?C.y?=y?D.無法確定7.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，OC⊥AB，若AB=8，則AC的長為（）A.4B.4√2C.8D.8√28.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，若OA=5，AD=8，則AB的長為（）A.3B.6C.8D.109.某小組8名同學(xué)的跳繩成績（單位：次/分鐘）分別為120、130、130、140、140、140、150、160，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A.140、140B.135、140C.140、130D.135、13010.已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)(0,3)，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)，則a的值為（）A.1B.-1C.2D.-2二、填空題（本大題共7小題，每小題4分，共28分?；A(chǔ)題3小題，中檔提分題3小題，難點(diǎn)題1小題，側(cè)重公式應(yīng)用與技巧突破）11.因式分解：x2-4x+4=__________；3x2-12=__________。12.計算：√18-√2+(π-3)?-(-1/2)?1=__________。13.若點(diǎn)P(m,4)在一次函數(shù)y=-x+6的圖象上，則m=__________，該點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為__________。14.直角三角形的兩直角邊長分別為5和12，斜邊上的高為__________。15.如圖，AB是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，OB=6，AB=3√3，則⊙O的半徑為__________。16.已知二次函數(shù)y=x2-4x+3，當(dāng)x__________時，y<0；該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為__________。17.從1、2、3、4這四個數(shù)中隨機(jī)抽取兩個數(shù)，組成一個兩位數(shù)（不放回），這個兩位數(shù)是偶數(shù)的概率為__________。三、解答題（本大題共8小題，共62分。基礎(chǔ)提分題4小題28分，中檔攻堅(jiān)題3小題24分，難點(diǎn)突破題1小題10分，聚焦綜合應(yīng)用與提分技巧）18.（6分）先化簡，再求值：(x/(x-1)-1/(x2-x))÷(x+1)/x，其中x=√2+1。19.（6分）解不等式組：{x-3(x-2)≥4①；(2x-1)/3<(x+1)/2②，并把解集在數(shù)軸上表示出來。20.（8分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，求證：BE=CE。21.（8分）為了解學(xué)生寒假期間的學(xué)習(xí)時長，某學(xué)校隨機(jī)抽取150名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下表：學(xué)習(xí)時長（小時/天）：1-2、3-4、5-6、7及以上；人數(shù)：30、60、45、15（1）求本次調(diào)查中學(xué)習(xí)時長為“3-4小時/天”的頻率；（2）估計全校1200名學(xué)生中，學(xué)習(xí)時長為“5-6小時/天”的人數(shù)；（3）求本次調(diào)查數(shù)據(jù)的平均數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)）。22.（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，∠BCD=45°，AB=6，求BD的長及四邊形ABCD的面積（結(jié)果保留根號）。23.（8分）某商店寒假期間計劃購進(jìn)A、B兩種年貨，已知購進(jìn)A種年貨4件、B種年貨3件共需230元；購進(jìn)A種年貨2件、B種年貨5件共需290元。（1）求A、B兩種年貨的單價；（2）該商店計劃購進(jìn)兩種年貨共60件，總費(fèi)用不超過2700元，且A種年貨的數(shù)量不超過B種年貨數(shù)量的1.5倍，求該商店有幾種進(jìn)貨方案。24.（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，連接AD，若AC=3，AB=5，求DE的長。25.（10分）如圖，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)、C(0,3)，與x軸另一交點(diǎn)為B，點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)。（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時，求△PAB面積的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)Q在拋物線的對稱軸上，且△QBC為等腰三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)。參考答案及解析（寒假提分特訓(xùn)解析）一、選擇題1.C解析：有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，正數(shù)大于0。3/4是分?jǐn)?shù)（有理數(shù)）且為正數(shù)；A、D是無理數(shù)，B是有理數(shù)但為負(fù)數(shù)。提分點(diǎn)睛：熟練掌握實(shí)數(shù)分類，快速區(qū)分有理數(shù)與無理數(shù)，是基礎(chǔ)題得分關(guān)鍵。2.C解析：A項(xiàng)，同底數(shù)冪相乘指數(shù)相加，得a?，錯誤；B項(xiàng)，冪的乘方指數(shù)相乘，得a1?，錯誤；C項(xiàng)，同類項(xiàng)合并，系數(shù)相加字母及指數(shù)不變，正確；D項(xiàng)，同底數(shù)冪相除指數(shù)相減，得a?，錯誤。提分點(diǎn)睛：牢記冪的三大運(yùn)算法則，避免公式混淆，此類題是中考基礎(chǔ)得分點(diǎn)，務(wù)必滿分拿下。3.A解析：令x=0，得y=1，故與y軸交點(diǎn)為(0,1)；k=2>0，y隨x增大而增大。提分點(diǎn)睛：一次函數(shù)k、b符號決定函數(shù)性質(zhì)，此類題高頻出現(xiàn)，掌握“k定增減性，b定與y軸交點(diǎn)”即可快速解題。4.B解析：直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，BC是∠A對的直角邊，故AB=2BC=4。提分點(diǎn)睛：牢記直角三角形特殊角性質(zhì)，可快速求解邊長，比勾股定理更高效。5.A解析：方程有兩個不相等實(shí)數(shù)根，Δ=(-2)2-4k>0，解得4-4k>0，k<1。提分點(diǎn)睛：判別式與根的關(guān)系是中考必考點(diǎn)，牢記“Δ>0兩不等實(shí)根、Δ=0兩相等實(shí)根、Δ<0無實(shí)根”。6.B解析：k=8>0，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)y隨x增大而減小，x?>x?>0（均在第一象限），故y?<y?。提分點(diǎn)睛：反比例函數(shù)增減性需限定“同一象限”，跨象限判斷易出錯，此為高頻易錯點(diǎn)。7.B解析：AB是直徑，OA=OC=4；OC⊥AB，△AOC是等腰直角三角形，AC=√(OA2+OC2)=4√2。提分點(diǎn)睛：直徑性質(zhì)與等腰直角三角形結(jié)合，是圓的基礎(chǔ)提分題，構(gòu)造直角三角形用勾股定理求解。8.B解析：矩形對角線相等且互相平分，AC=2OA=10；由勾股定理得AB=√(AC2-AD2)=√(100-64)=6。提分點(diǎn)睛：矩形性質(zhì)與勾股定理綜合是中考中檔題，熟練掌握矩形對角線性質(zhì)是解題關(guān)鍵。9.A解析：數(shù)據(jù)排序后，中位數(shù)是第4、5名的平均數(shù)，即(140+140)/2=140；眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的140。提分點(diǎn)睛：中位數(shù)需先排序，根據(jù)數(shù)據(jù)個數(shù)確定中間位置，眾數(shù)直接找高頻數(shù)據(jù)，此類統(tǒng)計題難度不大，確保得分。10.B解析：設(shè)拋物線頂點(diǎn)式為y=a(x-1)2+4，代入(0,3)得3=a(0-1)2+4，解得a=-1。提分點(diǎn)睛：頂點(diǎn)式可快速求解二次函數(shù)系數(shù)，比一般式更簡便，是解決二次函數(shù)頂點(diǎn)相關(guān)問題的核心技巧。二、填空題11.(x-2)2；3(x+2)(x-2)解析：x2-4x+4是完全平方公式；3x2-12先提公因式3，再用平方差公式。提分點(diǎn)睛：因式分解遵循“先提公因式，再用公式法”，確保分解徹底，是分式化簡、方程求解的基礎(chǔ)。2√2+3解析：√18=3√2，(π-3)?=1，(-1/2)?1=-2，原式=3√2-√2+1-(-2)=2√2+3。提分點(diǎn)睛：零次冪（底數(shù)不為0得1）、負(fù)指數(shù)冪（倒數(shù)的正指數(shù)冪）是易錯點(diǎn)，根式化簡要化為最簡二次根式。2；2解析：將P(m,4)代入y=-x+6，得4=-m+6，m=2；點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為橫坐標(biāo)的絕對值，即2。提分點(diǎn)睛：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足解析式，點(diǎn)到坐標(biāo)軸距離為對應(yīng)坐標(biāo)絕對值，基礎(chǔ)題型切勿失分。60/13解析：斜邊長=√(52+122)=13，直角三角形面積=1/2×5×12=30，斜邊上的高=2×30/13=60/13。提分點(diǎn)睛：利用面積法求斜邊上的高，是直角三角形的高頻提分技巧，避免復(fù)雜計算。3解析：AB是切線，OA⊥AB，由勾股定理得OA=√(OB2-AB2)=√(36-27)=3，即半徑為3。提分點(diǎn)睛：切線性質(zhì)（垂直于過切點(diǎn)的半徑）構(gòu)造直角三角形，結(jié)合勾股定理求解，是圓的中檔提分題核心思路。1<x<3；(2,-1)解析：令y=0，解得x?=1，x?=3，拋物線開口向上，故1<x<3時y<0；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4/(2×1),(12-16)/4)=(2,-1)。提分點(diǎn)睛：二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)、頂點(diǎn)坐標(biāo)是中考重點(diǎn)，掌握求根公式與頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可快速解題。1/2解析：隨機(jī)抽取兩個數(shù)組成兩位數(shù)共12種情況，偶數(shù)有21、32、42、14、24、34，共6種，概率=6/12=1/2。提分點(diǎn)睛：列舉法求概率是基礎(chǔ)，注意“不放回”條件，避免重復(fù)或遺漏情況。三、解答題18.解：原式=[x2/(x(x-1))-1/(x(x-1))]×x/(x+1)=[(x2-1)/(x(x-1))]×x/(x+1)=[(x+1)(x-1)/(x(x-1))]×x/(x+1)=1。當(dāng)x=√2+1時，原式=1。提分技巧：分式化簡先通分再因式分解約分，本題化簡后結(jié)果為常數(shù)，大幅簡化求值過程，避免代入復(fù)雜計算出錯。19.解：解不等式①：x-3x+6≥4，-2x≥-2，x≤1；解不等式②：2(2x-1)<3(x+1)，4x-2<3x+3，x<5。解集為x≤1。數(shù)軸表示：原點(diǎn)右側(cè)標(biāo)1（實(shí)心圓點(diǎn)），向左延伸。提分技巧：解不等式時注意去括號、去分母的符號變化，數(shù)軸表示需規(guī)范實(shí)心（包含）與空心（不包含）圓點(diǎn)，此類題步驟清晰，避免計算失誤即可得分。20.證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC。又∵AE⊥BC，∴△ABE和△ACE均為直角三角形。在Rt△ABE和Rt△ACE中，AB=BC，AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△ACE（HL），∴BE=CE。提分技巧：菱形性質(zhì)（四條邊相等）與全等三角形（HL）結(jié)合，證明線段相等的核心思路是構(gòu)造全等，熟練掌握特殊四邊形性質(zhì)是解題關(guān)鍵。21.解：（1）頻率=60/150=0.4；（2）估計人數(shù)=1200×45/150=360名；（3）平均數(shù)=(1.5×30+3.5×60+5.5×45+7.5×15)/150=(45+210+247.5+112.5)/150=615/150≈4.1小時。提分技巧：頻率=頻數(shù)/總數(shù)，樣本估計總體用樣本占比，平均數(shù)加權(quán)計算，統(tǒng)計題步驟固定，確保計算準(zhǔn)確即可滿分。22.解：AB是直徑，∠ADB=∠ACB=90°；∠BCD=45°，故∠BAD=45°，△ABD是等腰直角三角形，BD=AB/√2=3√2。連接AC，AC=BD=3√2，四邊形ABCD面積=△ABC面積+△ABD面積=1/2×AC×BC+1/2×AD×BD，代入得面積=9+9=18。提分技巧：直徑所對圓周角為直角，結(jié)合45°角判定等腰直角三角形，分割四邊形為兩個直角三角形求面積，是圓的綜合提分題常用方法。23.解：（1）設(shè)A單價x元，B單價y元，列方程組{4x+3y=230；2x+5y=290}，解得x=20，y=50。（2）設(shè)購進(jìn)A種m件，列不等式組{20m+50(60-m)≤2700；m≤1.5(60-m)}，解得10≤m≤36，m為整數(shù)，故m=10、11、…、36，共27種方案。提分技巧：方程組求解單價，不等式組結(jié)合實(shí)際問題求整數(shù)解，注意變量取值范圍的實(shí)際意義，此類應(yīng)用題是中考中檔題，掌握解題步驟即可得分。24.解：BC=√(AB2-AC2)=√(25-9)=4，D是BC中點(diǎn)，故CD=BD=2。連接AD，△ABD面積=1/2×△ABC面積=1/2×1/2×3×4=3。又△ABD面積=1/2×AB×DE，即3=1/2×5×DE，解得DE=6/5。提分技巧：利用面積法求線段長度，避免構(gòu)造復(fù)雜全等，是直角三角形綜合題的簡便提分技巧，大幅提升解題效率。25.解：（1）代入A、C得{-1-b+c=0；c=3}，解得b=2，c=3，解析式y(tǒng)=-x2+2x+3，令y=0，解得x=3，故B(3,0)。（2）設(shè)P(t,-t2