四川省綿陽市游仙區(qū)2025-2026學(xué)年九年級上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共12個小題，每小題3分，共36分．在每個小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．1.下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(

)A. B. C. D.2.下列事件中，屬于必然事件的是（）A.13個人中至少有兩個人出生月份相同B.擲一枚骰子，向上一面的點數(shù)一定大于3C.射擊運動員射擊一次，命中靶心D.2025年有366天3.將拋物線向右平移3個單位，再向上平移2個單位，則得到的拋物線解析式是（）A. B.C. D.4.若關(guān)于x的方程滿足，則必有一根為（）A9 B. C.3 D.5.如圖，中，，點在上，過點，且與相切于點，連接．若，，則的長為（）A.6 B. C. D.6.拋物線與x軸的一個交點坐標為，則它與x軸的另外一個交點的坐標為（）A. B. C. D.7.如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A，B兩點，點A的橫坐標為2，點B的橫坐標為，則不等式的解集是（）A.或 B.或 C.或 D.8.正六邊形蜂巢的建筑結(jié)構(gòu)密合度最高、用材最少、空間最大、也最為堅固．如圖，某蜂巢的房孔是邊長為6的正六邊形，點O是正六邊形的中心，則的長為（）A.12 B. C. D.9.一個兩位數(shù)等于它個位上數(shù)的平方，且個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)大3，則這個兩位數(shù)是（）A. B. C.或 D.無法確定10.唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，他設(shè)計的槳輪船在船的舷側(cè)或尾部裝有帶有槳葉的槳輪，通過人力踩動槳輪軸來推動船體前進．這種船的槳輪下半部浸入水中，上半部露出水面，因其推進方式類似車輪，故又被稱為“明輪船”或“輪船”．如圖，該槳輪船的輪子被水面截得線段為，輪子的吃水深度為，則該槳輪船輪子半徑為（）A B. C. D.11.如圖，圓錐的底面半徑，母線，為底面直徑，為底面圓周上一點，，為上一點，，現(xiàn)在有一只螞蟻，沿圓錐表面從點爬到點，則螞蟻爬行的最短路程是（）A. B. C. D.12.如圖，這是一個三角點陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點…，第n行有n個點………，前n行的點數(shù)和不能是以下哪個結(jié)果（）A.55 B.95 C.78 D.120二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分．把答案填寫在答題卡的橫線上．13.方程的根是______．14.在反比例函數(shù)y＝的圖象的每一支曲線上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，則m的取值范圍是_____．15.一個不透明口袋中裝有8個白球和若干個黑球，這些球除顏色外其余均相同，在不允許將球倒出來的前提下，為估計口袋中黑球的個數(shù)，采用了如下的方法：從口袋中隨機摸出1個球記下顏色后放回搖勻，不斷重復(fù)上述過程多次，發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.6，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，可估計口袋中大約有___________個黑球．16.如圖，過的中點作，垂足為，，，則所在圓的半徑長是_____．17.一個小球從水平面開始豎直向上發(fā)射，小球的高度h（m）關(guān)于運動時間t（s）的函數(shù)表達式為，其圖象如圖所示．若小球在發(fā)射后第2s與第6s時的高度相等，則小球從發(fā)射到回到水平面共需時間________（s）．18.如圖，點是⊙外一點，與⊙相切于點，交⊙于點，點，分別為線段，上的動點，若，，則的最小值為________.三、解答題：本大題共7個小題，共90分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19.（1）解方程：．（2）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點的坐標為，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，其中點與點對應(yīng)，點與點對應(yīng)，請直接寫出點和點的坐標，并求邊掃過形成扇形的弧長．20.九年級某班學(xué)生計劃到甲，乙兩個敬老院開展獻愛心活動，老師把該班學(xué)生分成兩個小組，通過游戲方式確定去哪個敬老院．游戲規(guī)則如下：在一個不透明的箱子中放了分別標有數(shù)字1，2的兩張卡片（除數(shù)字外，都相同），班長先從這個箱子里任意摸出一張卡片，卡片上的數(shù)字記為．在另一個不透明的箱子中放了分別標有數(shù)字1，2，3的三張卡片（除數(shù)字外，都相同），班長再從該箱子里任意摸出一張卡片，卡片上的數(shù)字記為．若，則組學(xué)生到甲敬老院，組學(xué)生到乙敬老院；若，則組學(xué)生到乙敬老院，組學(xué)生到甲敬老院．（1）用列表法或畫樹狀圖法中的一種方法，求所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)；（2）求組學(xué)生到甲敬老院，組學(xué)生到乙敬老院開展獻愛心活動的概率．21.某公司投入研發(fā)費用80萬元（80萬元只計入第一年成本），成功研發(fā)出一種產(chǎn)品．公司按訂單生產(chǎn)（產(chǎn)量=銷售量），第一年該產(chǎn)品正式投產(chǎn)后，生產(chǎn)成本為6元/件．此產(chǎn)品年銷售量y（萬件）與售價x（元/件）之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=﹣x+26．（1）求這種產(chǎn)品第一年的利潤W1（萬元）與售價x（元/件）滿足的函數(shù)關(guān)系式；（2）該產(chǎn)品第一年的利潤為20萬元，那么該產(chǎn)品第一年的售價是多少？（3）第二年，該公司將第一年的利潤20萬元（20萬元只計入第二年成本）再次投入研發(fā)，使產(chǎn)品的生產(chǎn)成本降為5元/件．為保持市場占有率，公司規(guī)定第二年產(chǎn)品售價不超過第一年的售價，另外受產(chǎn)能限制，銷售量無法超過12萬件．請計算該公司第二年的利潤W2至少為多少萬元．22.等邊的邊長為4，D為的中點，繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，點A的對應(yīng)點為F，點D的對應(yīng)點為E，連接，．（1）求的度數(shù)；（2）求長度．23.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，與軸交于點C．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；（2）請直接寫出不等式的解集；（3）若點P在反比例函數(shù)圖象上，且點P的橫坐標為，在坐標平面內(nèi)是否存在一點Q，使得以A，B，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形？如果存在，請直接寫出點Q的坐標．24.已知內(nèi)接于圓，平分交圓于點，交于點，是上一點．（1）若，_______，求的度數(shù)．①；②．（作答第（1）題時，先選擇①或②填寫在橫線處，使題目完整，然后求解的度數(shù)．）（2）若，求長．（3）若，求證：．25.如圖（1），拋物線與軸交于，B兩點，與y軸交于C，頂點．（1）寫出拋物線的解析式，點B，點C的坐標；（2）直線交拋物線于點E，F(xiàn)（點E在點F的右邊），交直線于點G，若，求t的值；（3）如圖（2），點M是拋物線對稱軸上一點，且點M的縱坐標為m，當是銳角三角形時，求m的取值范圍．

四川省綿陽市游仙區(qū)2025-2026學(xué)年九年級上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共12個小題，每小題3分，共36分．在每個小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．1.下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心；根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可．【詳解】解：A、該圖形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故A符合題意；B、該圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故B不符合題意；C、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故C不符合題意；D、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故D不符合題意．故選：A2.下列事件中，屬于必然事件的是（）A.13個人中至少有兩個人出生月份相同B.擲一枚骰子，向上一面的點數(shù)一定大于3C.射擊運動員射擊一次，命中靶心D.2025年有366天【答案】A【解析】【分析】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機事件的概念對各個選項進行判斷即可，必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．【詳解】解：A、13個人中至少有兩個人出生月份相同是必然事件，因為一年有12個月，13個人即使平均分配12個月，還會多一個人，故是必然事件，符合題意；B、擲一枚骰子，向上一面的點數(shù)一定大于3是隨機事件，故該選項不符合題意；；C、射擊運動員射擊一次，命中靶心，是隨機事件，故該選項不符合題意；D、2025年有365天，故為不可能事件，不符合題意，故選：A．3.將拋物線向右平移3個單位，再向上平移2個單位，則得到的拋物線解析式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，掌握平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可．【詳解】解：將拋物線向右平移3個單位，再向上平移2個單位，則得到的拋物線解析式，故選：D．4.若關(guān)于x的方程滿足，則必有一根為（）A.9 B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)可得，然后代入到原方程中得到，可得，由此即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴必有一根為3，故選C．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，根據(jù)題意把原方程化為是解題的關(guān)鍵．5.如圖，中，，點在上，過點，且與相切于點，連接．若，，則的長為（）A.6 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如圖所示，連接，過點作于點，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，可證是角平分線，可得，運用銳角三角函數(shù)的計算得到，由此得到，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，過點作于點，∵過點，且與相切于點，∴，又，即，∴，∴，∵，∴，∴，即平分，∵，∴，且，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∴，在中，，∴，∴，故選：B

．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的計算，掌握切線和銳角三角函數(shù)的計算方法是關(guān)鍵．6.拋物線與x軸的一個交點坐標為，則它與x軸的另外一個交點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，拋物線的對稱性．先根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出拋物線的對稱軸，再利用對稱性即可找出拋物線與軸的另一交點坐標．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線，且拋物線與軸的一個交點為，∴拋物線與軸另一交點坐標為．故選：A．7.如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A，B兩點，點A的橫坐標為2，點B的橫坐標為，則不等式的解集是（）A.或 B.或 C.或 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式的解集即為一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方時自變量的取值范圍進行求解即可．【詳解】解：由題意得不等式的解集即為一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方時自變量的取值范圍，∴不等式的解集為或，故選A．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．8.正六邊形蜂巢的建筑結(jié)構(gòu)密合度最高、用材最少、空間最大、也最為堅固．如圖，某蜂巢的房孔是邊長為6的正六邊形，點O是正六邊形的中心，則的長為（）A.12 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題根據(jù)正多邊形性質(zhì)得到，，利用等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和求得，作于點，利用等腰三角形性質(zhì)得到，根據(jù)30度所對直角邊等于斜邊一半求得，再利用勾股定理求得，即可解題．【詳解】解：由題知，，，，作于點，，，，，，故選：C．【點睛】本題考查了正多邊形性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、30度所對直角邊等于斜邊一半、勾股定理、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理并靈活運用，即可解題．9.一個兩位數(shù)等于它個位上的數(shù)的平方，且個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)大3，則這個兩位數(shù)是（）A. B. C.或 D.無法確定【答案】C【解析】【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)十位數(shù)字為，表示出個位數(shù)字，根據(jù)題意列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為，則個位數(shù)字為．依題意得：，解得:.∴這個兩位數(shù)為或．故選：C．10.唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，他設(shè)計的槳輪船在船的舷側(cè)或尾部裝有帶有槳葉的槳輪，通過人力踩動槳輪軸來推動船體前進．這種船的槳輪下半部浸入水中，上半部露出水面，因其推進方式類似車輪，故又被稱為“明輪船”或“輪船”．如圖，該槳輪船的輪子被水面截得線段為，輪子的吃水深度為，則該槳輪船輪子半徑為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．過圓心P作于點D，交于點C，連接，根據(jù)垂徑定理可得，設(shè)該槳輪船輪子的半徑為r，則，，在中，根據(jù)勾股定理即可列出方程，求解即可．【詳解】過圓心P作于點D，交于點C，連接．由題意可得，∵過圓心P，且，∴，設(shè)該槳輪船輪子的半徑為r，則，，∵在中，，即，解得，∴該槳輪船輪子半徑為.故選：B11.如圖，圓錐的底面半徑，母線，為底面直徑，為底面圓周上一點，，為上一點，，現(xiàn)在有一只螞蟻，沿圓錐表面從點爬到點，則螞蟻爬行的最短路程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先得到弧的長，然后求得弧所對的圓心角的度數(shù)，從而得到直角三角形，利用勾股定理求得的長即可．【詳解】解：如圖：∵，∴設(shè)弧所對圓心角的度數(shù)為n，∴，解得，∴，∴．故選：D．【點睛】求立體圖形中兩點之間的最短路線長，一般應(yīng)放在平面內(nèi)，構(gòu)造直角三角形，求兩點之間的線段的長度．解題的關(guān)鍵是理解并掌握圓錐的弧長等于底面周長．12.如圖，這是一個三角點陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點…，第n行有n個點………，前n行的點數(shù)和不能是以下哪個結(jié)果（）A.55 B.95 C.78 D.120【答案】B【解析】【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，前n行的點數(shù)之和為，再分別求出該代數(shù)式的值分別為55、95、78、120時n的值即可判斷．【詳解】解：前n行的點數(shù)之和為，若前n行的點數(shù)之和為55，則，解得或（舍），即前10行的點數(shù)之和為55，不符合題意；若前n行的點數(shù)之和為95，則，解得，n不是整數(shù)，即不存在前n行的點數(shù)之和為95，符合題意；若前n行的點數(shù)之和為78，則，解得或（舍），即前12行的點數(shù)之和為78，不符合題意；若前n行的點數(shù)之和為120，則，解得或（舍），即前15行的點數(shù)之和為120，不符合題意；故選：B．二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分．把答案填寫在答題卡的橫線上．13.方程的根是______．【答案】，【解析】【分析】先移項，再將左邊利用提公因式法因式分解，繼而可得兩個關(guān)于的一元一次方程，分別求解即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∴，即，∴或，解得：，．故答案為：，．【點睛】本題考查解一元二次方程—因式分解法．因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，只有當方程的一邊能夠分解成兩個一次因式，而另一邊是的時候，才能應(yīng)用因式分解法解一元二次方程．分解因式時，要根據(jù)情況靈活運用學(xué)過的因式分解的幾種方法．熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．14.在反比例函數(shù)y＝的圖象的每一支曲線上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，則m的取值范圍是_____．【答案】m＜2【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的增減性，列出關(guān)于m的不等式，進而即可求解．【詳解】解：∵在反比例函數(shù)的圖象的每一支曲線上，函數(shù)值隨自變量的增大而增大，∴m-2＜0，即：m＜2．故答案是：m＜2．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)，在反比例函數(shù)的圖象的每一支曲線上，函數(shù)值隨自變量的增大而增大，則k＜0，是解題的關(guān)鍵．15.一個不透明口袋中裝有8個白球和若干個黑球，這些球除顏色外其余均相同，在不允許將球倒出來的前提下，為估計口袋中黑球的個數(shù)，采用了如下的方法：從口袋中隨機摸出1個球記下顏色后放回搖勻，不斷重復(fù)上述過程多次，發(fā)現(xiàn)摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.6，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，可估計口袋中大約有___________個黑球．【答案】12【解析】【分析】本題考查利用頻率估算概率，利用概率求數(shù)量，根據(jù)摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.6，得到摸到黑球的概率為0.6，設(shè)黑球有個，根據(jù)黑球的數(shù)量等于總量乘以概率，列出方程進行求解即可．【詳解】解：∵摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.6，∴摸到黑球的概率為0.6，設(shè)黑球有個，則：，解得：；故答案為：12．16.如圖，過的中點作，垂足為，，，則所在圓的半徑長是_____．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了垂徑定理的推論，勾股定理，解一元一次方程等知識點，熟練掌握垂徑定理的推論及勾股定理是解題的關(guān)鍵．由“點是的中點，”，根據(jù)垂徑定理的推論可知，所在圓的圓心在所在的直線上，延長到圓心，連接，設(shè)所在圓的半徑長為，則，，在中，根據(jù)勾股定理可得，即，解方程即可求出所在圓的半徑長．【詳解】解：如圖，延長到圓心，連接，設(shè)所在圓的半徑長為，則，，，在中，根據(jù)勾股定理可得：，，解得：，所在圓的半徑長為，故答案為：．17.一個小球從水平面開始豎直向上發(fā)射，小球的高度h（m）關(guān)于運動時間t（s）的函數(shù)表達式為，其圖象如圖所示．若小球在發(fā)射后第2s與第6s時的高度相等，則小球從發(fā)射到回到水平面共需時間________（s）．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)題意可求得函數(shù)的對稱軸，從而根據(jù)函數(shù)的對稱性，可以解答本題．【詳解】解：由題意可得，

的對稱軸為直線，∴當x=4，h取得最大值，∴由函數(shù)的對稱性可得：小球從發(fā)射到回到水平面共需時間.故答案為：8.【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．18.如圖，點是⊙外一點，與⊙相切于點，交⊙于點，點，分別為線段，上的動點，若，，則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】延長PO交⊙于Q，過點A作AA＇⊥OP于C，過A＇作A＇N⊥AP于N，延長PB交⊙于Q，根據(jù)切割線定理，得到，先求出圓的半徑，再求出，由和求出AC，2AC=AA＇，AN=，求出AN，即AM=MN的最小值；【詳解】延長PO交⊙于Q，過點A作AA＇⊥OP于C，過A＇作AN⊥AP于N，延長PB交⊙于Q，設(shè)⊙半徑為r，根據(jù)切割線定理得，，∴，∴r=3；∴OA=3，OP=5；∴；∵AA＇⊥OP，∴°，∴P+PAA＇=90°，2+PAA＇=90°，1+PAA＇=90°，即1=2=P，∴，∴，∴AC=，∴AA＇=，又，∴AN=.∴AM+MN的最小值為：.故答案為.【點睛】本題主要考查了切割線定理，三角函數(shù)的性質(zhì)，掌握切割線定理，三角函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.三、解答題：本大題共7個小題，共90分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19.（1）解方程：．（2）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點的坐標為，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，其中點與點對應(yīng)，點與點對應(yīng)，請直接寫出點和點的坐標，并求邊掃過形成扇形的弧長．【答案】（1）；（2）圖見解析，；【解析】【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程，坐標與圖形—旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理，求弧長，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）利用公式法解一元二次方程即可；（2）根據(jù)坐標的旋轉(zhuǎn)變換寫出點和點的坐標，再由勾股定理求出的長，再由弧長公式計算即可得解．【詳解】解：（1），移項得，，，，∴原方程的解為；（2）如圖，即為所求，由圖可知，；，，∴邊掃過形成扇形的弧長．20.九年級某班學(xué)生計劃到甲，乙兩個敬老院開展獻愛心活動，老師把該班學(xué)生分成兩個小組，通過游戲方式確定去哪個敬老院．游戲規(guī)則如下：在一個不透明的箱子中放了分別標有數(shù)字1，2的兩張卡片（除數(shù)字外，都相同），班長先從這個箱子里任意摸出一張卡片，卡片上的數(shù)字記為．在另一個不透明的箱子中放了分別標有數(shù)字1，2，3的三張卡片（除數(shù)字外，都相同），班長再從該箱子里任意摸出一張卡片，卡片上的數(shù)字記為．若，則組學(xué)生到甲敬老院，組學(xué)生到乙敬老院；若，則組學(xué)生到乙敬老院，組學(xué)生到甲敬老院．（1）用列表法或畫樹狀圖法中的一種方法，求所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)；（2）求組學(xué)生到甲敬老院，組學(xué)生到乙敬老院開展獻愛心活動概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了用列表法或畫樹狀圖法求概率，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．（1）畫樹狀圖，得到共有種等可能的結(jié)果；（2）根據(jù)樹狀圖得到的結(jié)果有種，利用概率公式計算即可．【小問1詳解】解：根據(jù)題意畫樹狀圖如下，共有共種等可能的結(jié)果；【小問2詳解】解：由樹狀圖得，的結(jié)果有種，組學(xué)生到甲敬老院，組學(xué)生到乙敬老院開展獻愛心活動的概率．21.某公司投入研發(fā)費用80萬元（80萬元只計入第一年成本），成功研發(fā)出一種產(chǎn)品．公司按訂單生產(chǎn)（產(chǎn)量=銷售量），第一年該產(chǎn)品正式投產(chǎn)后，生產(chǎn)成本為6元/件．此產(chǎn)品年銷售量y（萬件）與售價x（元/件）之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=﹣x+26．（1）求這種產(chǎn)品第一年的利潤W1（萬元）與售價x（元/件）滿足的函數(shù)關(guān)系式；（2）該產(chǎn)品第一年的利潤為20萬元，那么該產(chǎn)品第一年的售價是多少？（3）第二年，該公司將第一年利潤20萬元（20萬元只計入第二年成本）再次投入研發(fā)，使產(chǎn)品的生產(chǎn)成本降為5元/件．為保持市場占有率，公司規(guī)定第二年產(chǎn)品售價不超過第一年的售價，另外受產(chǎn)能限制，銷售量無法超過12萬件．請計算該公司第二年的利潤W2至少為多少萬元．【答案】（1）W1=﹣x2+32x﹣236；（2）該產(chǎn)品第一年的售價是16元；（3）該公司第二年的利潤W2至少為88萬元．【解析】【分析】（1）根據(jù)總利潤=每件利潤×銷售量﹣投資成本，列出式子即可；（2）構(gòu)建方程即可解決問題；（3）根據(jù)題意求出自變量的取值范圍，再根據(jù)二次函數(shù)，利用而學(xué)會設(shè)的性質(zhì)即可解決問題.【詳解】（1）W1=（x﹣6）（﹣x+26）﹣80=﹣x2+32x﹣236．（2）由題意：20=﹣x2+32x﹣236．解得：x=16，答：該產(chǎn)品第一年的售價是16元．（3）由題意：14≤x≤16，W2=（x﹣5）（﹣x+26）﹣20=﹣x2+31x﹣150，∵14≤x≤16，∴拋物線的對稱軸x=15.5,又14≤x≤16.x=14時，W2有最小值，最小值=88(萬元)，答：該公司第二年的利潤W2至少為88萬元．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會構(gòu)建方程或函數(shù)解決問題.22.等邊的邊長為4，D為的中點，繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，點A的對應(yīng)點為F，點D的對應(yīng)點為E，連接，．（1）求的度數(shù)；（2）求的長度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，可得，，由平行線的性質(zhì)可求解；（2）過點C作于H，由直角三角形的性質(zhì)可得，，由勾股定理可求解．【小問1詳解】解：∵是等邊三角形，D為的中點，∴，，，∵繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，，∵，∴，∴；【小問2詳解】解：如圖，過點C作于H，∵，∴，∵，∴，∴，∴由勾股定理得：，∵等邊的邊長為4∴，∵D為的中點，∴，∵，∴，解得：（負值舍去），∴．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解一元二次方程等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)．23.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，與軸交于點C．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；（2）請直接寫出不等式的解集；（3）若點P在反比例函數(shù)圖象上，且點P的橫坐標為，在坐標平面內(nèi)是否存在一點Q，使得以A，B，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形？如果存在，請直接寫出點Q的坐標．【答案】（1）反比例函數(shù)的解析式為；一次函數(shù)解析式為（2）不等式的解集為或（3）滿足條件的點的坐標為或或【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并靈活運用，采用數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法計算即可得解；（2）由函數(shù)圖象即可得解；（3）先求出點的坐標，設(shè)點，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，分三種情況，建立方程求解即可．【小問1詳解】解：將代入得：，解得：，∴反比例函數(shù)的解析式為；將代入反比例函數(shù)解析式可得，∴，將，代入反比例函數(shù)解析式可得，解得：，∴一次函數(shù)解析式為；【小問2詳解】解：由圖象可得：不等式的解集為或；【小問3詳解】解：∵點P在反比例函數(shù)圖象上，且點P的橫坐標為，∴點的縱坐標為，∴，設(shè)點，∵以A，B，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，∴當為對角線時，與互相平分，∴，∴，∴；當為對角線時，與互相平分，∴，解得：，∴；當為對角線時，與互相平分，∴，解得：，∴；綜上所述，滿足條件的點的坐標為或或．24.已知內(nèi)接于圓，平分交圓于點，交于點，是上一點．（1）若，_______，求的度數(shù)．①；②．（作答第（1）題時，先選擇①或②填寫在橫線處，使題目完整，然后求解的度數(shù)．）（2）若，求的長．（3）若，求證：．【答案】（1）若選擇①，；若選擇②，（2）（3）見詳解【解析】【分析】（1）當選擇①時，由題意易得，，然后可得是直徑，則有點M是圓心，且四邊形是平行四邊形，進而問題可求解；若選擇②，由題意易得，，設(shè)，則有，然后可得方程，進而問題可求解；（2）由題意易得，則可證，則有，進而問題可求解；（3）先證明，，則有，，然后根據(jù)可得，進而問題可求證．【小問1詳解】解：當選擇①時，∵，平分，∴，，∴，∴是直徑，∵，∴，∴點M是圓心，且四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形，∴，∴都為等邊三角形，∴，∴；若選擇②，∵，平分，∴，，由可設(shè)，則有，∴，∵，∴，即，∴，