橢圓的題目及答案

一、單項選擇題（每題2分）1.橢圓的標準方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中\(zhòng)(a\)和\(b\)分別表示橢圓的長半軸和短半軸，那么\(a\)和\(b\)的關系是？A.\(a>b\)B.\(a<b\)C.\(a=b\)D.無關答案：A2.橢圓的離心率\(e\)定義為\(\frac{c}{a}\)，其中\(zhòng)(c\)是焦點到中心的距離，那么離心率的取值范圍是？A.\(0\leqe<1\)B.\(0<e\leq1\)C.\(e=1\)D.\(e>1\)答案：A3.橢圓的焦點在\(x\)軸上，且中心在原點，那么焦點到中心的距離\(c\)與長半軸\(a\)和短半軸\(b\)的關系是？A.\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)B.\(c=\sqrt{b^2-a^2}\)C.\(c=a+b\)D.\(c=a-b\)答案：A4.橢圓的焦點在\(y\)軸上，且中心在原點，那么焦點到中心的距離\(c\)與長半軸\(a\)和短半軸\(b\)的關系是？A.\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)B.\(c=\sqrt{b^2-a^2}\)C.\(c=a+b\)D.\(c=a-b\)答案：A5.橢圓的離心率\(e\)為0，那么這個橢圓是什么形狀？A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線答案：A6.橢圓的離心率\(e\)越接近1，那么這個橢圓看起來？A.越像圓B.越扁平C.越長D.越寬答案：B7.橢圓的方程為\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)，那么這個橢圓的焦點到中心的距離\(c\)是？A.5B.\(\sqrt{5}\)C.3D.\(\sqrt{13}\)答案：B8.橢圓的方程為\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)，那么這個橢圓的長半軸\(a\)是？A.4B.3C.5D.8答案：A9.橢圓的方程為\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)，那么這個橢圓的短半軸\(b\)是？A.4B.5C.3D.8答案：A10.橢圓的方程為\(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1\)，那么這個橢圓的離心率\(e\)是？A.\(\frac{1}{6}\)B.\(\frac{1}{5}\)C.\(\frac{5}{6}\)D.\(\frac{6}{5}\)答案：C二、多項選擇題（每題2分）1.橢圓的離心率\(e\)的取值范圍是？A.\(0\leqe<1\)B.\(0<e\leq1\)C.\(e=1\)D.\(e>1\)答案：A,B2.橢圓的標準方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中\(zhòng)(a\)和\(b\)的關系可以是？A.\(a>b\)B.\(a<b\)C.\(a=b\)D.無關答案：A,B,C3.橢圓的焦點到中心的距離\(c\)與長半軸\(a\)和短半軸\(b\)的關系是？A.\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)B.\(c=\sqrt{b^2-a^2}\)C.\(c=a+b\)D.\(c=a-b\)答案：A4.橢圓的離心率\(e\)為0，那么這個橢圓是什么形狀？A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線答案：A5.橢圓的離心率\(e\)越接近1，那么這個橢圓看起來？A.越像圓B.越扁平C.越長D.越寬答案：B,C6.橢圓的方程為\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)，那么這個橢圓的焦點到中心的距離\(c\)是？A.5B.\(\sqrt{5}\)C.3D.\(\sqrt{13}\)答案：B7.橢圓的方程為\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)，那么這個橢圓的長半軸\(a\)是？A.4B.3C.5D.8答案：A8.橢圓的方程為\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)，那么這個橢圓的短半軸\(b\)是？A.4B.5C.3D.8答案：A9.橢圓的方程為\(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1\)，那么這個橢圓的離心率\(e\)是？A.\(\frac{1}{6}\)B.\(\frac{1}{5}\)C.\(\frac{5}{6}\)D.\(\frac{6}{5}\)答案：C10.橢圓的焦點在\(x\)軸上，且中心在原點，那么焦點到中心的距離\(c\)與長半軸\(a\)和短半軸\(b\)的關系是？A.\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)B.\(c=\sqrt{b^2-a^2}\)C.\(c=a+b\)D.\(c=a-b\)答案：A三、判斷題（每題2分）1.橢圓的離心率\(e\)為0時，這個橢圓是一個圓。答案：正確2.橢圓的離心率\(e\)越大，橢圓越扁平。答案：正確3.橢圓的方程為\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)，那么這個橢圓的長半軸\(a\)是3。答案：錯誤4.橢圓的方程為\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)，那么這個橢圓的短半軸\(b\)是4。答案：錯誤5.橢圓的方程為\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)，那么這個橢圓的離心率\(e\)是\(\frac{3}{5}\)。答案：錯誤6.橢圓的方程為\(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1\)，那么這個橢圓的焦點到中心的距離\(c\)是\(\sqrt{11}\)。答案：錯誤7.橢圓的焦點在\(y\)軸上，且中心在原點，那么焦點到中心的距離\(c\)與長半軸\(a\)和短半軸\(b\)的關系是\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)。答案：錯誤8.橢圓的離心率\(e\)為1時，這個橢圓是一個拋物線。答案：錯誤9.橢圓的離心率\(e\)越小，橢圓越像圓。答案：正確10.橢圓的方程為\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)，那么這個橢圓的離心率\(e\)是\(\frac{2}{3}\)。答案：錯誤四、簡答題（每題5分）1.簡述橢圓的離心率\(e\)的定義及其取值范圍。答案：橢圓的離心率\(e\)定義為\(\frac{c}{a}\)，其中\(zhòng)(c\)是焦點到中心的距離，\(a\)是長半軸的長度。離心率的取值范圍是\(0\leqe<1\)。2.橢圓的方程為\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)，求這個橢圓的焦點到中心的距離\(c\)。答案：橢圓的方程為\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)，其中\(zhòng)(a^2=16\)，\(b^2=9\)。根據(jù)關系\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)，可以計算出\(c=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\)。3.橢圓的方程為\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)，求這個橢圓的長半軸\(a\)和短半軸\(b\)。答案：橢圓的方程為\(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\)，其中\(zhòng)(a^2=25\)，\(b^2=16\)。因此，長半軸\(a=5\)，短半軸\(b=4\)。4.橢圓的方程為\(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1\)，求這個橢圓的離心率\(e\)。答案：橢圓的方程為\(\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1\)，其中\(zhòng)(a^2=36\)，\(b^2=25\)。根據(jù)關系\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)，可以計算出\(c=\sqrt{36-25}=\sqrt{11}\)。離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{11}}{6}\)。五、討論題（每題5分）1.討論橢圓的離心率\(e\)對橢圓形狀的影響。答案：橢圓的離心率\(e\)越接近0，橢圓越像圓；離心率\(e\)越接近1，橢圓越扁平。離心率\(e\)的取值范圍是\(0\leqe<1\)，當\(e=0\)時，橢圓退化為一個圓。2.討論橢圓的焦點和中心的關系。答案：橢圓的焦點到中心的距離\(c\)與長半軸\(a\)和短半軸\(b\)的關系是\(c=\sqrt{a^2-b^2}\)。焦點在長半軸上，且焦點到中心的距離\(c\)越大，橢圓越扁平。3.討論橢圓的標準方程及其應用。答案：橢圓的標準方程為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中\(zhòng)(a\)和\(b\)分別表示橢圓的長半