2025—2026學(xué)年度第一學(xué)期福九聯(lián)盟（高中）期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷完卷時(shí)間：120分鐘滿分：150分第=1\*ROMANI卷單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．直線的一個(gè)方向向量為（）．

A． B． C． D．兩平行直線與的距離為（）．

A． B． C． D．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，則（）．

A． B． C． D．已知，，，若，，三向量共面，則實(shí)數(shù)（）．

A．3 B． C．4 D．已知圓，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）．

A． B．

C． D．已知橢圓以及橢圓內(nèi)一點(diǎn)，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為（）．

A． B． C． D．2在平面直角坐標(biāo)系中，與點(diǎn)距離為1，且與點(diǎn)距離為2的直線共有（）．

A．1條 B．2條 C．3條 D．4條已知圓與橢圓，若在橢圓上存在一點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，且，則橢圓離心率的取值范圍為（）．

A． B． C． D．多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）．

A．任意向量，滿足

B．若三個(gè)非零空間向量滿足，則有

C．若直線l的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則

D．若空間向量，則在上的投影向量為已知圓，直線，則（）．

A．直線恒過定點(diǎn)

B．直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)

C．當(dāng)時(shí)，圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1

D．直線與圓相交得到的最短弦長(zhǎng)為已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，是線段的中點(diǎn)，則（）．

A．若是的中點(diǎn)，則平面

B．若是的中點(diǎn)，則平面

C．的最大值是

D．的最小值為第Ⅱ卷填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，是上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則的周長(zhǎng)為．人教A版選擇性必修一習(xí)題1.4拓廣探索第17題中提到“在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn)，若平面經(jīng)過點(diǎn)，且以為法向量，點(diǎn)的方程為”．現(xiàn)已知平面的方程為，直線l是平面與平面的交線，則平面的一個(gè)法向量可以為（只需寫出一個(gè)滿足條件的向量即可），直線l與平面所成角的正弦值為．解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．（13分）已知直線的方程為，若直線在y軸上的截距為，且．（1）求直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）已知直線經(jīng)過與的交點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積為3，求直線的方程．（15分）如圖，在正四面體中，，為棱的中點(diǎn)，為棱（靠近點(diǎn)）的三等分點(diǎn)，設(shè)．（1）用表示；（2）求；（3）求的長(zhǎng)．（15分）已知圓經(jīng)過和，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）若直線l過點(diǎn)，與圓交于M，N兩點(diǎn)，，求直線l的方程．（15分）如圖（1），在直角梯形中，，過的中點(diǎn)作交于點(diǎn)，，現(xiàn)將四邊形沿著翻折至位置，使得，如圖（2）所示．（1） （2）（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．（17分）已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線相交于點(diǎn)，它們的斜率之積是．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)．(ⅰ)求的取值范圍；(ⅱ)若直線分別與直線相交于兩點(diǎn)，求的值．2025—2026學(xué)年度第一學(xué)期福九聯(lián)盟（高中）期中聯(lián)考高中二年數(shù)學(xué)科試卷評(píng)分細(xì)則第=1\*ROMANI卷選擇題:單選8題，每小題5分；多項(xiàng)選擇3題，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．題號(hào)1234567891011答案CBDDCADBCDABDACD第Ⅱ卷三、填空題：本大題共3小題，每小題5分．12.13.1414.（答案不唯一，均可），四、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．（共5題，13分+15分+15分+17分+17分，共77分）15.【解析】（方法一）（1）因?yàn)橹本€的斜率且，所以直線的斜率，

2分因?yàn)樵谳S上的截距為，所以直線方程：，即， 3分聯(lián)立方程得：，解得， 5分故交點(diǎn)為． 6分（2）依據(jù)題意可知：直線的斜率，設(shè)直線：， 7分與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為， 9分則直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積， 10分解得， 12分故方程為：，即. 13分（方法二）（1）同方法一． 6分（2）依據(jù)題意可知：直線的截距存在且不為，設(shè)直線：…7分在直線上， 8分則直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積， 9分聯(lián)立方程得：， 11分又解得， 12分故方程為：，即. 13分16.【解析】（1）……4分（2）…………9分（3）……………………11分…………15分17.【解析】（方法一）（1）設(shè)圓的方程為， 1分因?yàn)閳AC經(jīng)過和，且圓心在直線上，所以, 3分解得：， 5分所以圓C的方程為：． 6分（2）,且=弦長(zhǎng)， 7分①當(dāng)l斜率不存在時(shí)，l的方程為，易知此時(shí)被圓C截得的弦長(zhǎng)為2，符合題意． 9分②當(dāng)l斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為，即， 10分又直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2，所以，則． 11分所以，解得， 13分所以直線l的方程為，即． 14分綜上，l的方程為或． 15分（方法二）（1）依題意，設(shè)圓心的坐標(biāo)為， 1分則圓的半徑， 2分所以，解得． 3分所以圓心，， 4分所以圓的方程為． 6分（2）因?yàn)?，所以圓心到直線的距離， 8分依題意，直線的斜率不為0，設(shè)的方程為， 9分所以， 12分解得，或． 14分所以l的方程為，或，即或 15分（方法三）（1）依題意，的中點(diǎn)坐標(biāo)為， 1分直線的斜率， 2分所以線段的垂直平分線必過圓心，其方程為．由得即， 3分所以半徑， 4分所以圓的方程為． 6分（2）同方法一． 12分（方法四）（1）設(shè)圓的方程為， 1分已知圓C經(jīng)過和，且圓心在直線上.則即 3分解得：， 5分所以圓C的方程為． 6分（2）,且=弦長(zhǎng)， 7分依題意，直線的斜率不為0，設(shè)的方程為， 8分由得， 9分設(shè)，則，， 11分所以， 13分即，即，解得，或． 14分所以l的方程為，或，即或 15分18.【解析】（1）證明：在直角梯形中，，所以四邊形為矩形，故，，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，， 1分在中，，所以所以，故， 2分因?yàn)?，故，即?3分因?yàn)椋酆笥?，因?yàn)?，平面，所以平面?5分因?yàn)槠矫?，所以?6分因?yàn)?，平面，所以平面?7分（2）由（1）可得平面，，所以兩兩相互垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以， 8分假設(shè)存在點(diǎn)符合題意，可設(shè)，（） 10分因?yàn)?，所以，即，所以?11分因?yàn)?，設(shè)是平面的法向量，則取，則，故， 13分因?yàn)檩S垂直于平面，所以是平面的一個(gè)法向量， 14分設(shè)平面與平面所成角為，則，解得或（舍去） 16分所以，即，故當(dāng)點(diǎn)位于靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)有平面與平面的夾角的余弦值為.

17分19.【解析】（方法一）（1）設(shè)，則直線的斜率，直線， 2分因?yàn)橹本€和直線的斜率乘積為，所以， 3分整理的方程為． 4分（2）(ⅰ)依題意，設(shè)直線的方程為（）．由得， 5分設(shè)，則，即， 6分 7分． 8分因?yàn)椋?，所以的取值范圍為?10分(ⅱ)直線的方程為，直線的方程為， 11分令得，即． 12分所以， 14分因?yàn)?，所以，即?16分所以，即的值為1． 17分（方法二）（1）同方法一． 4分（2）(ⅰ)依題意，直線的斜率不為0，設(shè)的方程為．由得， 5分設(shè)，則，解得，， 6分