/安徽省合肥市第四十五中學2025?2026學年九年級上學期期中考試數(shù)學試題一、單選題1．拋物線的頂點坐標是（）A．（2，1） B．（-2，1） C．（2，-1） D．（-2，-1）2．將拋物線先向右平移3個單位，再向上平移4個單位，得到的拋物線是（

）A． B．C． D．3．如果（x，y均不為0），那么下列各式中正確的是（）A． B． C． D．4．關于某個函數(shù)表達式，甲、乙、丙三位同學都正確地說出了該函數(shù)的一一個特征．甲：函數(shù)圖象經過點；乙：函數(shù)圖象經過第四象限；丙：當時，y隨x的增大而增大；則這個函數(shù)表達式可能是（

）A． B． C． D．5．如圖，直線，直線分別交，，于點，，，直線分別，，于點，，，若，，則的值等于（

）A． B． C． D．6．拋物線經過三點，則的大小關系正確的是（）A． B． C． D．7．如圖，下列條件中不能判定的是（

）A． B．C． D．8．二次函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標系中的大致圖象是（

）A． B．C． D．9．已知兩個負數(shù)滿足，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．如圖，已知四邊形是矩形，為邊上的動點，連接，過點作分別交于點，下列說法中，正確的有（）個①的最小值為；②的最小值為；③的最小值為；④的最小值為．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題11．已知線段，則線段a和b的比例中項為．12．大自然是美的設計師，一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”，如圖，為的黃金分割點，如果的長度為，那么的長度為（結果保留根號）13．如圖，已知反比例函數(shù)和在第二象限的圖象，過上任意一點作軸的垂線交于點，交軸于點，過點作軸的平行線交于點，交軸于點，連接，則．14．如圖，為內部一點，，、分別平分、．（1）．（2）連接，過作分別交、于點、，若，，則點的值為．三、解答題15．已知某二次函數(shù)的圖象的頂點為，且過點．（1）求此二次函數(shù)的關系式．（2）判斷點是否在這個二次函數(shù)的圖象上，并說明理由．16．如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別為，，．（1）以原點為位似中心，在第三象限內畫出使它與的相似比為，并寫出點的坐標．（2）用無刻度直尺在上找點，使得；（不寫作法，保留作圖痕跡）17．如圖，在和中，．（1）求證：．（2）求證：．18．圖①是一座拱橋的示意圖，相鄰兩支柱間的距離為米（即米），拱橋頂點到橋面的距離米，將其置于如圖②所示的平面直角坐標系中，拋物線的表達式為（1）求的值；（2）求支柱的高．19．如圖，在中，的平分線為，交于點E．（1）求證：（2）若，求的值20．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于、B兩點．垂直于y軸，垂足為D，連接．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式．（2）求的面積．（3）直接寫出使反比例函數(shù)值小于一次函數(shù)值的x的取值范圍．21．合肥市第四十五中學橡樹灣校區(qū)九年級社會實踐小組利用課余時間對某種農產生產和銷售進行了調研，收集了以下素材，請你完成探索任務．某種農產品的銷售方案制定問題素材1該種農產品的成本（元）與月份之間成本，近似符合二次函數(shù)關系，函數(shù)圖象如圖所示素材2該農產品的售價（元）與月份之間滿足一次函數(shù)關系，已知3月份的售價為6元，9月份的售價為2元素材3成員小王同學的爸爸對孩子們的調研很感興趣，決定在這種農產品每千克的收益最大的月份采購一批農產品進行銷售．任務1：該農產品一年共有___________個月份成本不高于4元．任務2：求售價（元）與月份之間的函數(shù)表達式任務3：小王爸爸應該在幾月份投資？22．如圖，在中，，，為邊上一點，連接，過點作交于點，交于點，連接．（1）求證：．（2）若，求證：．（3）在（2）的條件下，求的值．23．在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象過點，且與軸交于點．（1）求拋物線的解析式；（2）將該二次函數(shù)的圖象關于軸對稱，得到新的二次函數(shù)的圖象．當時，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；（3）是否存在實數(shù)，使得對于函數(shù)上任意的一點，也在函數(shù)圖象上，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．

答案1．【正確答案】B【分析】根據(jù)拋物線的頂點式可直接得到頂點坐標．【詳解】∵，∴拋物線的頂點坐標為（-2，1），故選B．2．【正確答案】A【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移問題，根據(jù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律求解即可．【詳解】解：將拋物線先向右平移3個單位，再向上平移4個單位，得到的拋物線是，故選A．3．【正確答案】B【分析】本題主要考查了比例的性質，根據(jù)題意可設，（），再把，代入各選項中計算求解即可．【詳解】解：∵，且，∴可設，（），∴，，，，∴四個選項中，只有B選項中的式子正確，符合題意，故選B．4．【正確答案】D【分析】結合給出的函數(shù)的特征，在四個選項中依次判斷即可．【詳解】解：A．函數(shù)的圖象過二，四象限，經過點，當時，y隨x的增大而減小，選項A不符合題意；B．函數(shù)的圖象在一，三象限，不經過點，當時，y隨x的增大而減小，選項B不符合題意；C．函數(shù)的圖象過一，三象限，不經過點，當時，y隨x的增大而增大，選項C不符合題意；D．函數(shù)的圖象過二，四象限，經過點，當時，y隨x的增大而增大，選項D符合題意；故選D．5．【正確答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比列得到，代入數(shù)值即可求解．【詳解】直線，，，，．故．6．【正確答案】D【分析】本題考查二次函數(shù)的性質．通過直接計算各點函數(shù)值，比較大小即可．【詳解】∵拋物線解析式為，∴對于點，有；對于點，有；對于點，有．∵，∴．故選：D．7．【正確答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定．熟記相關判定定理即可求解．【詳解】解：∵與中，，A.，∴能判定；B.，∴不能判定；

C.，∴，∴能判定；D.，∴能判定．故選B．8．【正確答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象的綜合判斷；分別根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象，判斷出a，c與0的大小關系，看是否矛盾即可．【詳解】解：A、一次函數(shù)的圖象與y軸交于負半軸，；二次函數(shù)的圖象開口向上，，相矛盾，故A錯誤；B、一次函數(shù)的圖象過一、二、四象限，，；二次函數(shù)的圖象開口向上，頂點為，在第四象限，，，故B正確；C、二次函數(shù)的對稱軸為，在y軸右側，故C錯誤；D、一次函數(shù)的圖象過一、二、三象限，；拋物線的頂點在第四象限，，相矛盾，故D錯誤；故選B．9．【正確答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質，推導出二次函數(shù)是解決本題的關鍵．通過消去參數(shù)，得到和的關系式，結合和均為負數(shù)的條件，推導出，代入得到關于的二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質，求出時的的取值范圍即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，，∴，∴∴，代入中，得，∴二次函數(shù),∴函數(shù)圖象開口向上，且對稱軸為直線，在時，k隨著a的增大而減小，當時，，∴當時，的取值范圍是，故選C．10．【正確答案】B【分析】設，則，證明，得出，求出，得出，根據(jù)x的范圍即可得出的最小值，判斷①正確；根據(jù)，，求出最小值，判斷②正確；根據(jù)，得出點G在以為直徑的圓上運動，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)當M、G、D三點共線時，最小，求出最小值即可判斷③錯誤；根據(jù)勾股定理，根據(jù)二次函數(shù)性質求出最值即可，判斷④錯誤．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，，，設，則，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，即，∴，∴，∴當時，最小，且最小值為，故①正確；∵，，∴當時，有最小值，且最小值為，故②正確；∵，∴點G在以為直徑的圓上運動，如圖，以的中點M為圓心，為半徑畫弧，連接，則，根據(jù)勾股定理得：，當M、G、D三點共線時，最小，且最小值為：，故③錯誤；連接，如圖所示：∵，，∴根據(jù)勾股定理得：，∵，∴當時，有最小值，且最小值為，∴的最小值為，故④錯誤；綜上分析可知：正確的有2個；故選B．11．【正確答案】6【分析】本題考查成比例線段，掌握比例中項的定義是解題關鍵．根據(jù)比例中項的定義列比例式即可得解，注意線段不能為負．【詳解】解：設線段a和b的比例中項為c，∴，解得：，（舍）.12．【正確答案】【分析】本題考查黃金分割，解題的關鍵是掌握黃金分割：把線段分成兩條線段和，且使是和的比例中項（即），叫做把線段黃金分割，點叫做線段的黃金分割點，黃金分割的比值是，即．直接利用黃金分割的定義計算即可．【詳解】解：∵為的黃金分割點（），的長度為，∴，∴，∴．13．【正確答案】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)與幾何的綜合、相似三角形的判定與性質等知識點，掌握數(shù)形結合思想是解題的關鍵．設，則，則，易得，進而證明可得，即，然后求解即可．【詳解】解：設，則，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得：．14．【正確答案】；【分析】（1）結合三角形內角和性質以及角平分線的定義進行分析，即可作答．（2）先得出平分（三角形的角平分線交于點），再證明，是等邊三角形，結合兩組對角相等，得出，再作圖，根據(jù)切線長定理得，再根據(jù)勾股定理以及30度角的直角三角形的性質進行分析，列式計算，即可作答．【詳解】解：（1）∵，∴∵、分別平分、．∴，∴，則.（2）∵、分別平分、．∴平分（三角形的角平分線交于點），∴，∵過作分別交、于點、，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，由（1）得，∴，∴，∴，∴，∴，∵是等邊三角形，，∴，∵，∴，即，∵點P是的角平分線的交點，∴點P是的內心，分別過點P作，如圖所示：則，結合切線長定理得，∵，∴，設∵是等邊三角形，，∴∵，∴，∵在中，，∴，同理得，∵，∴，∴，∴，∵，∴.15．【正確答案】（1）；（2）點不在這個二次函數(shù)的圖象上，理由見詳解．【分析】（1）由題意，設二次函數(shù)的解析式是，再把點代入，即可求出，即可得出解析式；（2）把點P的坐標分別代入，看看兩邊是否相等即可．【詳解】解：（1）由頂點，可設關系式為：，將點代入上式可得：，解得：，∴此二次函數(shù)的關系式為．（2）點不在這個二次函數(shù)的圖象上．∵當時，，∴點不在這個二次函數(shù)的圖象上．16．【正確答案】（1）見詳解，（2）見詳解【分析】本題考查了畫位似圖形，求位似圖形的點的坐標，相似三角形的判定與性質，無刻度作圖．（1）利用關于以原點為位似中心的對應點的坐標特征，把點A、B、C的橫縱坐標都乘以得到點、、的坐標，然后順次連接即可；（2）取格點，連接與交點即為點，此時，則，故．【詳解】（1）解：如圖即為所求，點；（2）解：如圖，點即為所求；17．【正確答案】（1）見詳解（2）見詳解【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、角的和差等知識點，掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．（1）先證明可得，再根據(jù)角的和差即可證明結論；（2）直接運用兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似即可證明結論．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵，，∴．18．【正確答案】（1）（2）【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用，關鍵是特定點坐標的確定；（1）由已知可得點的坐標，代入解析式即可求出的值；（2）由已知可得點的橫坐標，代入解析式可得其縱坐標，因此的高即可求得．【詳解】（1）解：由題意得：，即：，∵點在拋物線上，∴，即：；（2）由（1）可知，∵，∴點的橫坐標是當時，，當時，，即，∵，∴，即：點的縱坐標是，∴．19．【正確答案】（1）見詳解（2）【分析】本題重點考查了相似三角形的判定與性質，平行線分線段成比例定理，兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例，相似三角形的面積比等于相似比的平方，本題中熟練掌握相似三角形的判定與性質以及常用結論是解題的關鍵．（1）根據(jù)可以得到，同時根據(jù)角平分線的性質和平行線的性質得到，進而得到，即完成求證．（2）先令，根據(jù)三角形相似以及，可以推導得到，然后利用角平分線上的點到線段兩邊距離相等推到得到的值，利用得到的值，最后得到的值，即完成求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，，∵是的角平分線，∴，∴，∴，∴．（2）解：設，由已知條件可得，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的角平分線，∴和在和邊上的高相等，∴，∴，∵，∴，∴，∴．答：的值為．20．【正確答案】（1），（2）（3）或【分析】（1）直接根據(jù)待定系數(shù)法求兩個函數(shù)解析式即可；（2）求出點的坐標，則可知，然后得出邊上的高根據(jù)三角形面積公式計算即可；（3）根據(jù)函數(shù)圖象找出一次函數(shù)在反比例函數(shù)上方的部分即可．【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，∴將分別代入，，得，即，∴一次函數(shù)解析式為，反比例函數(shù)解析式為；（2）聯(lián)立，即，解得：，（即為點），經檢驗，，是原方程的解，∴點，∴，邊上的高為，∴；（3）根據(jù)函數(shù)圖象可得反比例函數(shù)值小于一次函數(shù)值的x的取值范圍即為一次函數(shù)在反比例函數(shù)上方的部分，∴反比例函數(shù)值小于一次函數(shù)值的x的取值范圍為或．21．【正確答案】任務1：7；任務2：（，且為正整數(shù)）；任務3：小王爸爸應該在5月份投資【分析】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的應用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質是解題關鍵．任務1：先求出當時，或，再結合函數(shù)圖象可得當時，，則當時，的所有可能的取值為，由此即可得；任務2：根據(jù)點，，利用待定系數(shù)法求解即可得；任務3：設這種農產品每千克的收益為元，根據(jù)求出與之間的函數(shù)關系式，再利用二次函數(shù)的性質求解即可得．【詳解】解：任務1：令，則，解得或，即二次函數(shù)的圖象經過點和，∵二次函數(shù)圖象的開口向上，對稱軸為直線，∴當時，隨的增大而減??；當時，隨的增大而增大，∴當時，，又∵為正整數(shù)，∴當時，的所有可能的取值為，∴該農產品一年共有7個月份成本不高于4元．任務2：設售價（元）與月份之間的函數(shù)表達式為，將點，代入得：，解得，所以售價（元）與月份之間的函數(shù)表達式為（，且為正整數(shù)）．任務3：設這種農產品每千克的收益為元，則，由二次函數(shù)的性質可知，當時，的值最大，答：小王爸爸應該在5月份投資．22．【正確答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）的