專題06圓錐曲線

內(nèi)容概覽

01命題探源·考向解密（分析近3年高考考向與命題特征）

02根基夯實(shí)·知識(shí)整合（核心知識(shí)必備、常用結(jié)論與技巧等）

03高頻考點(diǎn)·妙法指津（4大命題點(diǎn)+6道高考預(yù)測(cè)題，高考必考·（20-25）分）

考點(diǎn)一圓錐曲線基本性質(zhì)

命題點(diǎn)1雙曲線基本性質(zhì)

命題點(diǎn)2拋物線基本性質(zhì)

高考預(yù)測(cè)題3道

考點(diǎn)二圓錐曲線綜合問題

命題點(diǎn)1軌跡方程

命題點(diǎn)2存在性/定點(diǎn)/定值/定直線/最值問題

高考預(yù)測(cè)題3道

04好題速遞·分層闖關(guān)（精選15道最新名校模擬試題+10道高考闖關(guān)題）

考點(diǎn)考向命題特征

1.范圍：2.對(duì)稱性：關(guān)1.分層設(shè)題，梯度清晰選擇/填空題：前半部分考查基礎(chǔ)性質(zhì)

于軸對(duì)稱3.頂點(diǎn)：原點(diǎn)；（離心率、漸近線），難度低；后半部分考查定義應(yīng)用或小綜

圓錐曲線基本焦點(diǎn)，準(zhǔn)線4.離心合（如橢圓與圓的交匯），難度中等。

性質(zhì)率：5.定義性質(zhì)：拋物線2.側(cè)重代數(shù)運(yùn)算，強(qiáng)調(diào)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性

（3年3考）上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離=到準(zhǔn)線核心方法是“設(shè)線→聯(lián)立→判別式→韋達(dá)定理→代換化簡(jiǎn)”，

距離對(duì)計(jì)算能力要求高，需避免計(jì)算失誤。

含參問題需分類討論，如直線斜率存在與否、參數(shù)取值范圍對(duì)

交點(diǎn)個(gè)數(shù)的影響。

3.注重定義與幾何性質(zhì)的靈活應(yīng)用

部分題目用定義解題更簡(jiǎn)便（如拋物線的焦半徑、橢圓的焦點(diǎn)

三角形），可簡(jiǎn)化運(yùn)算步驟，避免復(fù)雜聯(lián)立。

圓錐曲線綜合1.直線與圓錐曲線的位置1.梯度分明，層層遞進(jìn)

問題關(guān)系解答題分2-3問，第一問多為求曲線方程或直線方程，考查基

（3年3考）2.定點(diǎn)、定值問題礎(chǔ)性質(zhì)，屬于送分題；第二、三問考查定點(diǎn)定值、最值范圍，

3.最值與范圍問題需綜合運(yùn)用韋達(dá)定理、代數(shù)變形，區(qū)分度強(qiáng)。

4.向量與圓錐曲線的交匯2.重運(yùn)算，輕技巧，強(qiáng)調(diào)通性通法

5.軌跡方程求解命題不依賴特殊技巧，核心方法是“設(shè)線→聯(lián)立→判別式→韋

達(dá)定理→代換化簡(jiǎn)”，對(duì)計(jì)算的準(zhǔn)確性和耐心要求高，避免因

計(jì)算失誤丟分。

3.注重幾何性質(zhì)與代數(shù)方法的結(jié)合

部分題目用幾何定義（如拋物線的焦半徑、橢圓的焦點(diǎn)三角形

性質(zhì)）可簡(jiǎn)化運(yùn)算，減少聯(lián)立方程的復(fù)雜度，體現(xiàn)“幾何優(yōu)先”

的解題思路。

4.考法穩(wěn)定，創(chuàng)新點(diǎn)集中在條件呈現(xiàn)

天津高考圓錐曲線綜合題命題套路固定，創(chuàng)新多體現(xiàn)在條件的

包裝（如結(jié)合新定義、幾何圖形），但解題的核心邏輯不變，

仍以韋達(dá)定理為核心工具。

【圓錐曲線基本性質(zhì)常用結(jié)論】

在橢圓的定義中條件2aF1F20不能少，這是根據(jù)三角形中的兩邊之和大于第三邊得出來的．

否則：①當(dāng)2aF1F2時(shí)，其軌跡為線段F1F2；②當(dāng)2aF1F2時(shí)，其軌跡不存在．

利用橢圓定義求距離和差的最值的兩種方法：

（1）抓住|PF1|與|PF2|之和為定值，可聯(lián)系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；

（2）利用定義|PF1|＋|PF2|＝2a轉(zhuǎn)化或變形，借助三角形性質(zhì)求最值

1、利用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟

（1）定位：確定焦點(diǎn)在那個(gè)坐標(biāo)軸上；

（2）定量：依據(jù)條件及a2b2c2確定a,b,c的值；

（3）寫出標(biāo)準(zhǔn)方程；

x2y2

2、求橢圓方程時(shí)，若沒有指明焦點(diǎn)位置，一般可設(shè)所求方程為1(m0,n0,mn)；

mn

3、當(dāng)橢圓過兩定點(diǎn)時(shí)，常設(shè)橢圓方程為Ax2By21(A0,B0,且AB)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解方程

組求得系數(shù)。

22

一般利用橢圓的定義、余弦定理和完全平方公式等知識(shí)，建立AF1+AF2，AF1+AF2，AF1AF2之間

的關(guān)系，采用整體代入的方法解決焦點(diǎn)三角形的面積、周長(zhǎng)及角的有關(guān)問題（F1AF2=）

性質(zhì)1：AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a.（兩個(gè)定義）

拓展：?AF1F2的周長(zhǎng)為AF1+AF1+F1F2=2a+2c

?ABF1的周長(zhǎng)為AF1+AF2+BF1+BF2=4a

2222

性質(zhì)2：4c=F1F2=AF1+AF2?2AF1AF2cosθ（余弦定理）

1、求橢圓離心率的3種方法

（1）直接求出a，c來求解e.通過已知條件列方程組，解出a，c的值．

（2）構(gòu)造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的

一元二次方程求解．

（3）通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．

2、求橢圓離心率范圍的2種方法

x2y2

（1）幾何法：利用橢圓的幾何性質(zhì)，設(shè)P(x0，y0)為橢圓＋＝1(a>b>0)上一點(diǎn)，則|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a

a2b2

＋c等，建立不等關(guān)系，或者根據(jù)幾何圖形的臨界情況建立不等關(guān)系，適用于題設(shè)條件有明顯的幾何關(guān)系；

（2）直接法：根據(jù)題目中給出的條件或根據(jù)已知條件得出不等關(guān)系，直接轉(zhuǎn)化為含有a，b，c的不等關(guān)系

式，適用于題設(shè)條件直接有不等關(guān)系。

（1）在雙曲線定義中若去掉定義中的“絕對(duì)值”，常數(shù)a滿足約束條件：

PF1PF22aF1F2（a0），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)F2的一支；

若PF2PF12aF1F2（a0），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)F1的一支；

（2）若常數(shù)a滿足約束條件：PF1PF22aF1F2，

則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；

（3）若常數(shù)a滿足約束條件：PF1PF22aF1F2，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；

（4）若常數(shù)a0，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線。

1、由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求參數(shù)范圍

x2y2

（1）對(duì)于方程1，當(dāng)mn0時(shí)表示雙曲線；

mn

當(dāng)m0,n0時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；當(dāng)m0,n0時(shí)表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線.

x2y2

（2）對(duì)于方程1，當(dāng)mn0時(shí)表示雙曲線；

mn

當(dāng)m0,n0時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；當(dāng)m0,n0時(shí)表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線.

（3）已知方程所代表的曲線，求參數(shù)的取值范圍時(shí)，應(yīng)先將方程轉(zhuǎn)化為所對(duì)應(yīng)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，再

根據(jù)方程中參數(shù)取值范圍的要求，建立不等式（組）求解參數(shù)的取值范圍。

2、待定系數(shù)法求雙曲線方程的五種類型

x2y2x2y2

（1）與雙曲線－＝1有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為－＝λ(λ≠0)；

a2b2a2b2

bbx2y2

（2）若已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝x或y＝－x，則可設(shè)雙曲線方程為－＝λ(λ≠0)；

aaa2b2

x2y2x2y2

（3）與雙曲線－＝1共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為－＝1(－b2＜k＜a2)；

a2b2a2－kb2＋k

x2y2x2y2

（4）過兩個(gè)已知點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為－＝1(mn＞0)或者＋＝1(mn＜0)；

mnmn

x2y2x2y2

（5）與橢圓＋＝1(a＞b＞0)有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為－＝1(b2＜λ＜a2)

a2b2a2－λλ－b2

求雙曲線中的焦點(diǎn)三角形PF1F2面積的方法

（1）①根據(jù)雙曲線的定義求出PF1PF22a；

②利用余弦定理表示出PF1、PF2、F1F2之間滿足的關(guān)系式；

③通過配方，利用整體的思想求出PF1PF2的值；

1

④利用公式SPFPFsinFPF求得面積。

21212

1

（2）利用公式SFFy求得面積；

212p

b2

S

（3）若雙曲線中焦點(diǎn)三角形的頂角FPF，則面積，結(jié)論適用于選擇或填空題。

12tan

2

1、求雙曲線的離心率或其范圍的方法

c2a2＋b2b2

（1）求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.

a2a2a2

（2）列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等

式)求解，注意e的取值范圍．

（3）因?yàn)殡x心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相應(yīng)c的值，進(jìn)而求出離心率，能

有效簡(jiǎn)化計(jì)算．

（4）通過特殊位置求出離心率．

x2y2

2、雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線的斜率k與離心率e的關(guān)系：

a2b2

bc2－a2c2b

當(dāng)k>0時(shí)，k＝＝＝－1＝e2－1；當(dāng)k<0時(shí)，k＝－＝－e2－1.

aaa2a

解決中點(diǎn)弦問題的兩種方法：

1、根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立方程，消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行舍而不求，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算；

2、點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入雙曲線方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)

x2y2

坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：直線l(不平行于y軸)過雙曲線1上兩點(diǎn)A、B，其中AB中點(diǎn)為

a2b2

2

，b

P(x0y0)，則有kk.

ABOPa2

x2y2

111

222222

abx1x2y1y2

證明：設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則有，上式減下式得，

x2y2a2b2

221

a2b2

y2y2b2yyyyyy2yb2b2

∴12，∴1212120，∴.

2222kABkOP2

x1x2ax1x2x1x2x1x22x0aa

1、利用拋物線的定義解決問題，應(yīng)靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化．即“看

到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”．

pp

2、注意靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)P(x，y)到焦點(diǎn)F的距離|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.

22

與拋物線有關(guān)的最值問題的轉(zhuǎn)換方法

(1)將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問題得解．

(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原

理解決．

1、定義法：根據(jù)拋物線的定義，確定p的值(系數(shù)p是指焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，求出拋物

線方程．標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，要注意選擇．

2、待定系數(shù)法

（1）根據(jù)拋物線焦點(diǎn)是在x軸上還是在y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于p的方

程，解出p，從而寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，有兩種方法解決．一種是分情況討論，注意要對(duì)四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行討論，

對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，若開口方向不確定需分為y2＝－2px(p>0)和y2＝2px(p>0)兩種情況求解．

另一種是設(shè)成y2＝mx(m≠0)，若m>0，開口向右；若m<0，開口向左；若m有兩個(gè)解，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方

程有兩個(gè)．同理，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線可以設(shè)成x2＝my(m≠0)．

，，，2

設(shè)直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A(x1y1)、B(x2y2)，中點(diǎn)坐標(biāo)為P(x0y0)，代入拋物線方程，y12px1，

yy2pp

212

y22px2，將兩式相減，可得y1y2y1y22px1x2，整理可得：kAB1、

x1x2y1y2y0

2

一般弦長(zhǎng)：設(shè)AB為拋物線y2px(p0)的弦，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

1

AB1k2xx1yy（k為直線AB的斜率，且k0）.

12k212

2

2、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：如圖，AB是拋物線y2px(p0)過焦點(diǎn)F的一條弦，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中

點(diǎn)M(x0,y0)，過點(diǎn)A，M，B分別向拋物線的準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為點(diǎn)A1，B1，M1，

根據(jù)拋物線的定義有AFAA1，BFBB1，ABAFBFAA1BB1

故ABAFBFAA1BB1.

又因?yàn)镸M1是梯形AA1B1B的中位線，所以ABAA1BB12MM1，

從而有下列結(jié)論；

（1）以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線l相切.

p

（2）AB2x0(焦點(diǎn)弦長(zhǎng)與中點(diǎn)關(guān)系)

2

（3）ABx1x2p.

2p

（4）若直線AB的傾斜角為，則AB.

sin2

p2

（5）A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積均為定值，即xx，yyp2.

12412

112

（6）為定值.

AFBFP

【圓錐曲線綜合問題常用結(jié)論】

1、解析幾何中的定值問題是指某些幾何量（線段長(zhǎng)度，圖形面積，角度，直線的斜率等）的大小或某些代

數(shù)表達(dá)式的值和題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定的值，

求定值問題常見的解題方法有兩種：

法一、先猜后證（特例法）：從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)定值與變量無關(guān)；

法二、引起變量法（直接法）：直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理過程中消去參數(shù)，從而得到定值。

2、直接法解題步驟

第一步設(shè)變量：選擇適當(dāng)?shù)牧慨?dāng)變量，一般情況先設(shè)出直線的方程：ykxb或xmyn、點(diǎn)的坐標(biāo)；

第二步表示函數(shù)：要把證明為定值的量表示成上述變量的函數(shù)，一般情況通過題干所給的已知條件，進(jìn)行

正確的運(yùn)算，將需要用到的所有中間結(jié)果（如弦長(zhǎng)、距離等）用引入的變量表示出來；

第三步定值：將中間結(jié)果帶入目標(biāo)量，通過計(jì)算化簡(jiǎn)得出目標(biāo)量與引入的變量無關(guān)，是一個(gè)常數(shù)。

1、參數(shù)無關(guān)法：把直線或者曲線方程中的變量x，y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點(diǎn)，

那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)的參數(shù)的系數(shù)就要全部為零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x，y的方

程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn)。

2、特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線、動(dòng)曲線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān)。

3、關(guān)系法：對(duì)滿足一定條件上的兩點(diǎn)連結(jié)所得直線定點(diǎn)或滿足一定條件的曲線過定點(diǎn)問題，可設(shè)直線（或

曲線）上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)在直線（或曲線）上，建立點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程（組），求出相應(yīng)的直線（或

曲線），然后再利用直線（或曲線）過定點(diǎn)的知識(shí)求解。

解決圓錐曲線中動(dòng)點(diǎn)在定直線問題的解題步驟：

1、聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程消元；2、挖掘圖形中的對(duì)稱性，解出動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)；3、將動(dòng)點(diǎn)的橫

縱坐標(biāo)分別用參數(shù)表示，再消去參數(shù)；4、設(shè)點(diǎn)，將方程變形解出定直線方程。

圓錐曲線最值問題的解題步驟：

1、設(shè)參數(shù)：依題意設(shè)出相關(guān)的參數(shù)，如設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)比例式的參數(shù)，設(shè)直線的方程等；

2、聯(lián)立方程：常把直線方程與曲線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x（或y）的一元二次方程；

3、建函數(shù)：根據(jù)題設(shè)條件中的關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系式；

4、求最值：利用配方法、基本不等式法、單調(diào)性法等求其最值。

圓錐曲線幾何證明問題的解題策略：

1、圓錐曲線中的證明問題，主要有兩類：一是證明點(diǎn)、直線、曲線等幾何元素中的位置關(guān)系，如某點(diǎn)在某

直線上、某直線經(jīng)過某點(diǎn)、某兩條直線平行或垂直等；二是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系（相等

與不等）；

（2）解決證明問題時(shí)，主要根據(jù)直線、圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等，通過相關(guān)的性質(zhì)

應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計(jì)算等進(jìn)行證明。

考點(diǎn)一圓錐曲線基本性質(zhì)

《解題指南》

解題步驟與技巧：1.求曲線方程

（1）待定系數(shù)法（已知曲線類型）

步驟：①設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程（橢圓分焦點(diǎn)在x/y軸，雙曲線同理，拋物線分開口方向）；②列a,b,p的關(guān)系式；

③解方程求參數(shù)；④寫方程。

技巧：橢圓/雙曲線若焦點(diǎn)位置不確定，可設(shè)統(tǒng)一方程：橢圓mx2+ny2=1(m>0,n>0,)；雙曲線mx2-ny2=1(mn>0)。

（2）定義法（已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足的幾何條件）

步驟：①分析動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)/定點(diǎn)與定直線的距離關(guān)系；②匹配橢圓、雙曲線、拋物線的定義；③求a,c,p；

④寫方程。

技巧：雙曲線需注意“差的絕對(duì)值”，拋物線需找準(zhǔn)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）和定直線（準(zhǔn)線）。

2.離心率計(jì)算

步驟：①找a,b,c的關(guān)系式（利用幾何性質(zhì)，如三角形邊角、漸近線斜率等）；②消去b（橢圓用b2=a2-c2，

雙曲線用b2=c2-a2）；③轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程；④解方程求e（注意e的范圍）。

技巧：①橢圓雙曲線可結(jié)合漸近線斜率快速計(jì)算；②遇到焦點(diǎn)三角形，優(yōu)先用余弦定理+定義列方程。

3.漸近線相關(guān)問題

命題點(diǎn)01雙曲線基本性質(zhì)

x2y2

【典例01】（2025·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線1a0,b0的右焦點(diǎn)為F4,0，設(shè)A、B為雙

a2b2

曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，AF的中點(diǎn)為M，BF的中點(diǎn)為N，若原點(diǎn)O在以線段MN為直徑的圓上，直

37

線AB的斜率為，則雙曲線的離心率為（）

7

234

A．22B．2C．D．

33

【答案】B

【分析】設(shè)A(m,n)(m0,n0),B(m,n)，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示點(diǎn)M,N，由OMON，以及斜率公式

解方程組可得m,n，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，結(jié)合a,b,c的關(guān)系，求得a,b，即可得離心率.

【詳解】由題意，c2a2b216，設(shè)A(m,n)(m0,n0),B(m,n)，

4mn4mn

則M,，N,，

2222

因?yàn)樵c(diǎn)O在以線段MN為直徑的圓上，可得OMON，

4m4mnn

所以O(shè)MON0，即m2n216①，

2222

37n37

又直線AB的斜率，可得②，

7m7

聯(lián)立①②可得m7,n3，即A7,3，

79

又點(diǎn)A在雙曲線上，可得1，

a2b2

c4

又a2b216，解得a2,b23，所以e2.

a2

故選：B.

x2y2

【典例02】（2025·天津北辰·三模）已知雙曲線C:1a0,b0的右焦點(diǎn)?左頂點(diǎn)分別為F,A，過

a2b2

點(diǎn)F且傾斜角為150的直線交C的兩條漸近線分別于點(diǎn)M,N.若AMN為等邊三角形，則雙曲線C的離心

率為（）

23

A．2B．C．3D．23

3

【答案】A

【分析】利用直線與漸近線求交點(diǎn)，再利用等邊三角形找到一個(gè)垂直關(guān)系，然后通過斜率來進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，

即可求出離心率.

【詳解】

3

設(shè)過點(diǎn)F且傾斜角為150的直線為yxc，

3

cacbcbc

bxy

與雙曲線的漸近線yx聯(lián)立可得:ba3b,aba3b,

a1313

aa

cacbcbc

bxy

同理與雙曲線的漸近線yx聯(lián)立可得:ba3b,aba3b,

a1313

aa

acacbcbc

a3ba3ba3ba3b

由AMN為等邊三角形，則MN的中點(diǎn)G坐標(biāo)為,，

22

由題意可得：kAGtan603，

bcbc

bcbc

a3ba3b

即23a3ba3b3，

acacacac

2a

a3ba3baa3ba3b

2

bca3bbca3b

3，

aca3baca3b2aa3ba3b

222

23b2ccace1e

311，

2a2c2aa23b2a2ca4a23c2e43e2

e21ee1e

11e2e43e，

e13e443e

2

e24e40e20,

所以解得e2,

故選：A.

命題點(diǎn)02拋物線基本性質(zhì)

x2

【典例01】（2025·天津·二模）已知拋物線y22px（p0）的焦點(diǎn)F是雙曲線y21（a0）的一

a2

個(gè)頂點(diǎn)，兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)為A，過A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為B，若FAB是正三角形，則p的值

為（）

268623

A．B．C．D．

3333

【答案】A

【分析】根據(jù)拋物線的基本性質(zhì)，和正三角形的基本性質(zhì)，用參數(shù)p表示出各點(diǎn)坐標(biāo)，代入求得參數(shù)的值.

【詳解】

如圖所示，設(shè)雙曲線線的另一個(gè)頂點(diǎn)為C，

pπ

依題意a，可知BFO，F(xiàn)Cp，可知BC3p，BF2p，

23

3

不妨設(shè)A在第一象限，則Ap,3p在雙曲線上，

2

9

p2

4226

所以23p1，解得p，

p3

4

故選：A．

【典例02】（2025·天津·二模）已知拋物線y22pxp0的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)D，過D的直線

PB

與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且B在線段AD上，點(diǎn)P為A在l上的射影.若P，B，F(xiàn)共線，則的值為（）

BF

A．1B．2C．3D．3

【答案】B

【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，設(shè)出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示求出點(diǎn)P的坐

標(biāo)，再利用拋物線定義求出比值.

ppp

【詳解】拋物線y22px的焦點(diǎn)F(,0)，準(zhǔn)線l:x，D(,0)，

222

22

由對(duì)稱性，不妨令點(diǎn)A在第一象限，設(shè)A(2pt1,2pt1),B(2pt2,2pt2)(t1t20)，

pp

則DA(2pt2,2pt),DB(2pt2,2pt)，由B在線段AD上，

121222

pp1p

得2pt(2pt2)2pt(2pt2)，整理得tt，而P(,2pt)，

21212212421

p

則FP(p,2pt),FB(2pt2,2pt)，由P，B，F(xiàn)共線，

1222

2p2133

得2pt1(2pt2)p2pt2，整理得2t1t2t1t2，解得t,t，

221226

p|PB||PB||PF|2p

于是P(,3p)，過B作BEl于E，所以2.

2|BF||BE||DF|p

故選：B

高考預(yù)測(cè)題

2

1．已知拋物線C:x2pyp0的焦點(diǎn)為F0,1，傾斜角為45的直線l過點(diǎn)F．若l與C相交于A,B兩點(diǎn)，

則以AB為直徑的圓被x軸截得的弦長(zhǎng)為．

【答案】27

【分析】首先求出拋物線方程及直線l的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理得到y(tǒng)AyB6，再

由拋物線的定義、中點(diǎn)公式求圓的半徑和圓心橫坐標(biāo)，最后應(yīng)用幾何法求弦長(zhǎng).

【詳解】因?yàn)閽佄锞€C:x22pyp0的焦點(diǎn)為F0,1，

p

所以1，解得p2，則拋物線C:x24y，

2

yx1

直線l的方程為yx1，由2，

x4y

則y26y10，顯然0，

所以yAyB6，故|AB|yAyBp628，

所以以AB為直徑的圓的圓心的縱坐標(biāo)為3，半徑為4，

故以AB為直徑的圓被x軸截得的弦長(zhǎng)為216927.

故答案為：27

2．過點(diǎn)(0,2)且斜率為1的直線l與拋物線C:y22px(p0)交于A，B兩點(diǎn)，已知直線l經(jīng)過拋物線C的

焦點(diǎn)，則以線段AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】(x6)2(y4)264

【分析】根據(jù)已知條件先求得直線和拋物線的方程，聯(lián)立求得交點(diǎn)坐標(biāo)，然后求得圓心和半徑，進(jìn)而寫出

標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】已知直線l過點(diǎn)(0,2)且斜率為1，因此其方程為yx2.

p

拋物線的方程為y22px（p0），其焦點(diǎn)坐標(biāo)為,0.

2

p

由于直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，代入焦點(diǎn)坐標(biāo)得到02，

2

解得p4，因此拋物線的方程為y28x，焦點(diǎn)為(2,0).

將直線方程yx2代入拋物線方程y28x得到：(x2)28x,

展開并整理得：x212x40,

解得x642，對(duì)應(yīng)的y值為y442，

因此交點(diǎn)A和B的坐標(biāo)分別為642,442和642,442.

以線段AB為直徑的圓的圓心為AB的中點(diǎn)，坐標(biāo)為：

642642442442

,6,4,

22

Δx82,Δy82,

AB(82)2(82)212812825616,

半徑為8，因此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x6)2(y4)28264,

故答案為：(x6)2(y4)264.

x2y2

3．已知雙曲線1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，點(diǎn)(2,3)為雙曲線右支上一點(diǎn)，以坐標(biāo)

a2b2

原點(diǎn)O為圓心，以O(shè)F1為半徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P，同時(shí)點(diǎn)P在線段OF2中垂線

上，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

2y22x2x2y2x2y2

A．x21B．y21C．1D．1

333993

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可知OPF2是等邊三角形，進(jìn)而可知雙曲線浙近線OP的傾斜角為60，進(jìn)而得到ba的

關(guān)系，再將點(diǎn)2,3代入雙曲線方程求解即可.

【詳解】如圖，根據(jù)圓的性質(zhì)可知OF2POPF2．

又點(diǎn)P在線段OF2中垂線上，則OF2PPOF2，則OPF2是等邊三角形，

故雙曲線浙近線OP的傾斜角為60．

bx2y2

所以tan603，即b23a2，則雙曲線方程為1．

aa23a2

43

將點(diǎn)代入雙曲線方程，得，解得2，

2,3221a3

a3a

x2y2

則雙曲線方程為1，

39

故選：C．

考點(diǎn)二圓錐曲線綜合問題

《解題指南》

解題步驟與技巧：圓錐曲線綜合大題（天津高考常為解答題第19/20題）核心解法是“代數(shù)化幾何問題”，

通用流程為設(shè)線→聯(lián)立→判別式→韋達(dá)定理→轉(zhuǎn)化求解，以下分步驟拆解并附專項(xiàng)技巧。

一、通用解題步驟（必背流程）

1.審題定模型，設(shè)參化簡(jiǎn)約

第一步：確定曲線類型（橢圓/雙曲線/拋物線），寫出已知條件（如焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、漸近線、過定點(diǎn)等），若

曲線方程含參數(shù)，先根據(jù)條件求曲線方程。

第二步：設(shè)直線方程（關(guān)鍵避坑點(diǎn)）

若直線過定點(diǎn)P(x0,y0)：斜率存在時(shí)設(shè)y-y0=k(x-x0)；斜率不存在時(shí)單獨(dú)討論（設(shè)x=x0）。

若直線斜率存在且不為0，或與拋物線聯(lián)立：優(yōu)先設(shè)x=my+t（避免斜率不存在的討論，簡(jiǎn)化計(jì)算）。

2.聯(lián)立方程，判別式定范圍

將直線方程代入圓錐曲線方程，整理成關(guān)于x或y的一元二次方程：Ax2+Bx+C=0或Ay2+By+C=0。

計(jì)算判別式=B2-4AC，根據(jù)直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，得判別式>0（后續(xù)求參數(shù)范圍的依據(jù)）。

3.韋達(dá)定理代換，化繁為簡(jiǎn)

,

設(shè)直線與曲線交點(diǎn)為A(x_1,y_1)、B(x_2y_2)，寫出韋達(dá)定理結(jié)論：

x1+x2=-B/A,x1x2=C/A

核心原則：不直接解x1,x2，而是將所求幾何量轉(zhuǎn)化為x1+x2和x1x2的代數(shù)式。

4.轉(zhuǎn)化幾何條件，代數(shù)求解

把題目所求（弦長(zhǎng)、面積、定點(diǎn)、定值、最值等）轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表達(dá)式，代入韋達(dá)定理結(jié)論化簡(jiǎn)。

若含參數(shù)，結(jié)合\Delta>0確定參數(shù)范圍；若為定值/定點(diǎn)問題，消去參數(shù)得到常數(shù)或定點(diǎn)坐標(biāo)。

5.檢驗(yàn)總結(jié)，規(guī)范書寫

檢驗(yàn)計(jì)算過程中是否忽略斜率不存在的情況，是否滿足判別式>0的限制。

整理步驟，寫出最終結(jié)論。

二、專項(xiàng)題型解題技巧

1.弦長(zhǎng)與面積問題

2.中點(diǎn)弦問題（點(diǎn)差法優(yōu)先）

3.定點(diǎn)定值問題（消參核心）

4.最值與范圍問題（轉(zhuǎn)化函數(shù)）

三、避坑關(guān)鍵技巧

1.斜率不存在必討論：設(shè)y=kx+b時(shí)，務(wù)必單獨(dú)驗(yàn)證斜率不存在的情況（直線垂直x軸），避免漏解。

2.判別式不能忘：聯(lián)立后得到的參數(shù)范圍（\Delta>0）是最終參數(shù)范圍的前提，尤其最值問題需結(jié)合此條

件。

3.優(yōu)先用定義簡(jiǎn)化：涉及焦半徑、焦點(diǎn)弦時(shí)，用橢圓/雙曲線/拋物線的定義轉(zhuǎn)化，如拋物線焦半徑r=x0+P/2，

避免復(fù)雜聯(lián)立。

4.計(jì)算分步寫，少跳步：聯(lián)立后的一元二次方程系數(shù)、韋達(dá)定理結(jié)論單獨(dú)寫，代數(shù)變形時(shí)分步化簡(jiǎn)，減少

計(jì)算錯(cuò)誤。

命題點(diǎn)01軌跡方程

x2y266

【典例】（天津靜海三模）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)2,，

012025··C:221(ab0)

ab33

直線l與x軸交于點(diǎn)E，與橢圓C交于A,B兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

9

(2)若點(diǎn)E坐標(biāo)為(2,0)，線段AB的垂直平分線分別交直線x和l于點(diǎn)P,M，若|PM|23|AB|，求直

2

線l的斜率.

x2y2

【答案】(1)1

62

341

(2)1或.

41

c6

a3

42

【分析】（1）根據(jù)題意得221，解出a,b即可求解；

a3b

a2b2c2

（2）當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證是否滿足題意，當(dāng)l斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為xmy2，與橢

圓方程聯(lián)立消元，由韋達(dá)定理得y1y2,y1y2，利用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)AB和PM，利用|PM|23|AB|即可

求解.

c6

a3

42a6

【詳解】（1）由題意知221，

a3bb2

a2b2c2

x2y2

橢圓C的方程為：1.

62

9132226

（2）E2,0為橢圓的焦點(diǎn)，當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，顯然PM2，AB，顯然

2263

PM23AB，

l斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為xmy2，Ax1,y1，

xmy222

Bx2,y2，Mx0,y0，22m3y4my20，

x3y6

16m28m2324m21，

4m2

所以yy，yy，

12m2312m23

2

26m2126m1

AB1m2yy1m2，

12m23m23

2

y1y22m2m6

此時(shí)y0，x2，

2m230m23m23

62m29269

M,，kPMm，PM1mx01m，

m23m232m232

2

26926m141

1m23，解得m1或m，

m232m233

341

直線l的斜率為1或.

41

x2y2

【典例02】（2025·天津·一模）已知橢圓C:1ab0，過右焦點(diǎn)F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，

a2b2

過點(diǎn)F與l垂直的直線交C于D，E兩點(diǎn)，其中B，D在x軸上方，M，N分別為AB，DE的中點(diǎn).當(dāng)lx

2

軸時(shí)，AB2，橢圓C的離心率為.

2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)證明：直線MN過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)；

9

(3)設(shè)G為直線AE與直線BD的交點(diǎn)，GMN面積的為，求直線AB的方程.

20

x2

【答案】(1)y21；

2

(2)證明見解析；

2

(3)x