北師大版2024·八年級(jí)上冊(cè)第七章證明7.1為什么要證明認(rèn)識(shí)證明認(rèn)識(shí)證明的必要性，掌握檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的常用方法（實(shí)驗(yàn)、推理、舉反例）。理解“僅靠特例或觀察不能確定結(jié)論正確性”，學(xué)會(huì)構(gòu)造反例反駁錯(cuò)誤猜想。素養(yǎng)目標(biāo)體會(huì)觀察、猜想的局限性，理解證明的必要性，初步掌握推理、反例驗(yàn)證的思維方法。感悟數(shù)學(xué)結(jié)論需嚴(yán)謹(jǐn)論證，形成“實(shí)驗(yàn)—猜想—驗(yàn)證—證明”的認(rèn)知模式。培養(yǎng)質(zhì)疑意識(shí)，能通過(guò)反例或推理判斷結(jié)論的正確性。壹目錄肆叁貳情境導(dǎo)入

如果有一天有人這樣告訴你：“你可以沿著一段一直向上的臺(tái)階(或樓梯)走，最終能回到出發(fā)點(diǎn).”你會(huì)怎樣回答?彭羅斯階梯埃舍爾的著名版畫(huà)作品《升與下降》叁叁肆叁壹情境導(dǎo)入問(wèn)題1：兩圖的中間圓大小一樣嗎？壹問(wèn)題2：觀察下面圖片，是運(yùn)動(dòng)的還是靜止的？你的感悟是什么?僅僅通過(guò)觀察得到的結(jié)論不一定正確.情境導(dǎo)入壹新知初探貳新知初探探究一：數(shù)學(xué)的結(jié)論必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的論證貳ab(1)線段

a

與線段

b

哪個(gè)比較長(zhǎng)？(2)圖中的四邊形是正方形嗎？問(wèn)題3：aba=b探究方法：觀察驗(yàn)證方法：實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證觀察得出的結(jié)論不一定正確是正方形新知初探貳有時(shí)候視覺(jué)受周?chē)h(huán)境的影響，往往誤導(dǎo)我們得出錯(cuò)誤的結(jié)論，所以?xún)H靠經(jīng)驗(yàn)、觀察是不夠的，只有通過(guò)科學(xué)的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行嚴(yán)格的推理，才能得出最準(zhǔn)確的結(jié)論.歸納總結(jié)新知初探貳問(wèn)題4

如圖，假如用一根比地球的赤道長(zhǎng)1米的鐵絲將地球赤道圍起來(lái)，那么鐵絲與地球赤道之間的間隙能有多大？（把地球看成球形）能放進(jìn)一個(gè)紅棗嗎？能放進(jìn)一個(gè)拳頭嗎？解：設(shè)赤道周長(zhǎng)為

cm，則鐵絲與地球赤道之間的間隙為它們的間隙不僅能放進(jìn)一個(gè)紅棗，而且也能放進(jìn)一個(gè)拳頭.新知初探貳問(wèn)題5(2)如圖，在△ABC

中，點(diǎn)

D，E

分別是

AB，AC

的中點(diǎn)，連接

DE.DE

與

BC

有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你先猜一猜，再設(shè)法檢驗(yàn)?zāi)愕牟孪?ADEBC位置關(guān)系：DE∥BC數(shù)量關(guān)系：驗(yàn)證方法：測(cè)量推理測(cè)量得出的幾何結(jié)論不一定正確

你能肯定你的結(jié)論對(duì)所有的

△ABC

都成立嗎？與同伴進(jìn)行交流.新知初探貳費(fèi)

馬

對(duì)于所有自然數(shù)

n，

的值都是質(zhì)數(shù)當(dāng)

n=0，1，2，3，4時(shí)，=3，5，17，257，65537都是質(zhì)數(shù).歐

拉當(dāng)

n=5時(shí)，=4294967297=641×6700417.舉反例是說(shuō)明數(shù)學(xué)結(jié)論錯(cuò)誤的有效方法.大數(shù)學(xué)家也有失誤新知初探貳

這個(gè)故事告訴我們：1.學(xué)習(xí)歐拉的求實(shí)精神與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.2.沒(méi)有嚴(yán)格的推理，僅由若干特例歸納、猜測(cè)的結(jié)論可能潛藏著錯(cuò)誤，未必正確.3.要證明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，舉反例就是一種常用方法.歸納總結(jié)新知初探貳判斷一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確，僅靠觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)還不夠，必須經(jīng)過(guò)一步一步、有根有據(jù)的推理.歸納總結(jié)總結(jié)：(1)直覺(jué)有時(shí)會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤，不一定可信；(2)圖形的性質(zhì)并不都是通過(guò)測(cè)量得出的；(3)少數(shù)具體例子的觀察、測(cè)量或計(jì)算得出的結(jié)論，并不能保證一般情況下都成立．新知初探貳探究二：檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的常用方法【類(lèi)型一】實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證例1

先觀察再驗(yàn)證．(1)圖①中的實(shí)線是直的還是彎曲的？(2)圖②中兩條線段

a與

b哪一條更長(zhǎng)？(3)圖③中的直線

AB與直線

CD

平行嗎？新知初探貳解：通過(guò)觀察可能得出的結(jié)論是：(1)實(shí)線是彎曲的.(2)a更長(zhǎng)一些.(3)AB與

DC不平行.而我們用科學(xué)的方法驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)：(1)實(shí)線是直的.(2)a與

b一樣長(zhǎng).(3)AB平行于

CD.新知初探貳【類(lèi)型二】推理證明例2

如圖，從點(diǎn)

O

出發(fā)作出四條射線

OA、OB、OC、OD，已知

OA⊥OC，OB⊥OD.(1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度數(shù)；(2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD

的度數(shù)；(3)由(1)、(2)你發(fā)現(xiàn)了什么？(4)你能肯定上述發(fā)現(xiàn)嗎？分析：由于∠AOB、∠COD均與∠BOC互余，故可根據(jù)∠BOC的度數(shù)求得∠AOB與∠COD的度數(shù)，進(jìn)而歸納出兩角之間的關(guān)系.新知初探貳(1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度數(shù)；(2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD的度數(shù)；解：(1)因?yàn)?/p>

OA⊥OC，OB⊥OD，所以∠AOC＝∠BOD＝90°.所以∠BOC＝30°，所以∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－30°＝60°，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－30°＝60°.(2)∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－54°＝36°，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－54°＝36°.新知初探貳(3)由(1)、(2)你發(fā)現(xiàn)了什么？(4)你能肯定上述的發(fā)現(xiàn)嗎？解：(3)發(fā)現(xiàn)∠AOB＝∠COD.(4)因?yàn)椤螦OB＋∠BOC＝∠AOC＝90°，∠COD＋∠BOC＝∠BOD＝90°，

所以∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC.

所以∠AOB＝∠COD.【方法總結(jié)】檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論具體經(jīng)歷的過(guò)程是：觀察、度量、實(shí)驗(yàn)→猜想歸納→結(jié)論→推理→正確結(jié)論．新知初探貳

代數(shù)式

n2

-

n+11的值是質(zhì)數(shù)嗎？取

n=0，1，2，3，……，10試一試，你能否由此得到結(jié)論：對(duì)于所有的自然數(shù)n，n2

-

n+11的值都是質(zhì)數(shù)？n012345678910n2-n+11質(zhì)數(shù)/合數(shù)11111317233141536783101質(zhì)數(shù)質(zhì)數(shù)質(zhì)數(shù)質(zhì)數(shù)質(zhì)數(shù)質(zhì)數(shù)質(zhì)數(shù)質(zhì)數(shù)質(zhì)數(shù)質(zhì)數(shù)質(zhì)數(shù)當(dāng)

n=11時(shí)，n2

-

n+11的值為121=112，所以，對(duì)于所有自然數(shù)

n，n2

-

n+11的值未必都是質(zhì)數(shù).【類(lèi)型三】舉出反例新知初探貳當(dāng)堂達(dá)標(biāo)叁1.下列結(jié)論中你能肯定的是（

）A.今天下雨，明天必然還下雨B.三個(gè)連續(xù)整數(shù)的積一定能被6整除C.小明在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中一定能獲獎(jiǎng)D.兩張相片看起來(lái)佷像，則肯定照的是同一個(gè)人B當(dāng)堂達(dá)標(biāo)叁當(dāng)堂達(dá)標(biāo)2.下列判斷正確的是（

）A．一個(gè)中學(xué)學(xué)校里不可能有同月同日生的同學(xué)B．若a＞b，則a2＞b2C．不論a為何值，總有a2＞0D．任何一個(gè)整數(shù)平方后的末位數(shù)字都不會(huì)是2或3D叁3.在一次1500米跑步比賽后，甲說(shuō)：“丙第一，我第三”乙說(shuō)：“我第一，丁第四．”丙說(shuō)：“丁第二，我第三．”若每人的兩句話中都只說(shuō)對(duì)了一句，則可判斷第一名是

(??)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁B當(dāng)堂達(dá)標(biāo)叁4.在學(xué)習(xí)中，小明發(fā)現(xiàn)：當(dāng)

n＝1，2，3時(shí)，n2－6n的值都是負(fù)數(shù)．于是小明猜想：當(dāng)

n為任意正整數(shù)時(shí)，n2－6n的值都是負(fù)數(shù)．小明的猜想正確嗎？請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明你的理由．解：不正確．理由：當(dāng)

n＝6時(shí)，