第5章直角三角形5.4角平分線的性質導入新課問題1：角平分線的定義是怎樣的？請在練習本上畫出一個角，并作出它的角平分線.角平分線是一條以角的頂點為端點的射線，并把這個角分成兩個相等的角.OBAMNC問題2：什么是點到直線的距離？請通過作圖說明.PlABCOPCABODEPD2E2P2D3E3P3D4E4P4PD=PE，P2D2=P2E2，P3D3=P3E3······活動一：探究角平分線的性質如圖，在∠AOB的平分線OC上任取一點P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D，E.比較線段PD，PE的長度，它們相等嗎？由此你能得出什么結論？角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.證明：因為PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E，在△PDO和△PEO中，所以△PDO≌△PEO(AAS).所以PD＝PE.所以∠PDO＝∠PEO＝90°.角平分線上的點到角兩邊的距離相等角平分線性質定理：幾何語言：∵OC是∠AOB的平分線，PD⊥OAPE⊥OB∴PD=PE.CABODEP推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個.針對訓練1.如圖，AM是∠BAC的平分線，點

P在

AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是

D、E，PD=4，則

PE=______.4MBCADEP2.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AP平分∠BAC交

BC于點

P，若

PC=8，則點

P到

AB的距離為______.8ACPB針對訓練角平分線上的點到角兩邊的距離相等條件：結論：點在這個角的角平分線上這個點到角的兩邊的距離相等逆命題：如果一個點到角的兩邊的距離相等，那么該點位于角的平分線上。這個命題是否為真命題，應該如何證明呢？CABODEP如圖，點P

在∠AOB

的內部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D，E，且

PD=PE.求證：點

P

在∠AOB

的平分線上.可以通過添加輔助線，構造三角形來證明.ABODEPCOP=OP，PD=PE，∴Rt△PDO≌

Rt△PEO（HL）因此OC是∠AOB

的平分線，ABODEPC證明：如圖，過點O，P

作射線

OC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在

Rt△PDO和

Rt△PEO中，∴∠AOC=∠BOC即點

P

在∠AOB

的平分線OC上.角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.角的平分線的判定定理：CABODEP幾何語言：

∵PD⊥OA

，PE⊥OB

，且

PD=PE，∴OC是∠AOB

的平分線即點

P

在∠AOB

的平分線OC上.推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個.在

S區(qū)建一個集貿市場，使它到公路、鐵路的距離相等，并且離公路和鐵路交叉處500m.這個集貿市場應建于何處？0200m答：集貿市場應建在

S

區(qū)內，公路和鐵路夾角的平分線上，具體位置如圖中點

P

所示.P針對訓練例1如圖，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.求證：（1）點B在∠ADC的平分線上；（2）BD平分∠ABC.證明：（1）在△ABC中，因為∠1=∠2，又BA⊥AD，

BC⊥CD，所以點B在∠ADC的平分線上.所以BA=BC.例1如圖，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.求證：（1）點B在∠ADC的平分線上；（2）BD平分∠ABC.（2）在Rt△BAD和Rt△BCD中，所以Rt△BAD≌Rt△BCD（HL）因此∠ABD=∠CBD，從而

BD平分∠ABC.

BD=BD，BA=BC，活動1分別畫出下列三角形三個內角的平分線，你發(fā)現了什么？發(fā)現：三角形的三條角平分線相交于一點活動2分別過交點作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量，每組垂線段，你發(fā)現了什么？發(fā)現：過交點作三角形三邊的垂線段相等你能證明這個結論嗎？已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.證明：過點P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F.∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.DEFABCPN