【小初高+大學+考研考證公考免費資源公眾號：學霸點睛資料】第01講集合【學科素養(yǎng)】數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算【課標解讀】1.學會用集合的語言簡潔、準確地表述數(shù)學的研究對象．2.學會用數(shù)學的語言表達和交流，積累數(shù)學抽象的經(jīng)驗．3.會用常用邏輯用語表達數(shù)學對象、進行數(shù)學推理．4.體會常用邏輯用語在表述數(shù)學內(nèi)容和論證數(shù)學結(jié)論中的作用，提高交流的嚴謹性與準確性．5.學會通過類比，理解等式和不等式的共性與差異，掌握基本不等式．6.會用一元二次函數(shù)認識一元二次方程和一元二次不等式．7.理解函數(shù)、方程和不等式之間的聯(lián)系，體會數(shù)學的整體性.【備考策略】1.熟練掌握集合的基本運算，以及相關(guān)不等式的解法．2.重視基礎(chǔ)知識的復習，熟悉在不同知識背景下對充分必要條件的判定．3.注意對利用基本不等式求最值方法的總結(jié)和歸納．【核心知識】1．集合與元素(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號∈和?表示．(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法．(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*(或N＋)ZQR2.集合間的基本關(guān)系關(guān)系自然語言符號語言Venn圖子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，則x∈B)A?B或(B?A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不在集合A中AB或BA集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互為子集A＝B3.集合的基本運算運算自然語言符號語言Venn圖交集由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}補集由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合?UA＝{x|x∈U且x?A}【特別提醒】1．集合子集的個數(shù)對于有限集合A，其元素個數(shù)為n，則集合A的子集個數(shù)為2n，真子集個數(shù)為2n－1，非空真子集個數(shù)為2n－2.2．集合的運算性質(zhì)(1)并集的性質(zhì)：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.(2)交集的性質(zhì)：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.(3)補集的性質(zhì)：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．【高頻考點】高頻考點一集合的概念【方法技巧】與集合中的元素有關(guān)的問題的求解思路(1)確定集合的元素是什么，即集合是數(shù)集還是點集．(2)看清元素的限制條件．(3)根據(jù)限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)．例1.(2025·全國卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，則A∩B中元素的個數(shù)為()A．2B．3C．4D．6【變式探究】(2018·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數(shù)為()A．9B．8C．5D．4高頻考點2集合的基本關(guān)系例2．（2025·河南省鄭州實驗中學模擬）已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－eq\r(5)<x<eq\r(5)}，則()A．A∩B＝? B．A∪B＝RC．B?A D．A?B【變式探究】（2025·山東外國語學校質(zhì)檢）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，則滿足條件A?C?B的集合C的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4高頻考點三集合的運算例3.(2019·全國卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，則M∩N＝()A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－4＜x＜－2}C．{x|－2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}【舉一反三】(2019·全國卷Ⅱ)設(shè)集合A＝{x|x2－5x＋6＞0}，B＝{x|x－1＜0}，則A∩B＝()A．(－∞，1) B．(－2,1)C．(－3，－1) D．(3，＋∞)【變式探究】(2019·浙江高考)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，則(?UA)∩B＝()A．{－1} B．{0,1}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}【方法技巧】集合運算的常用方法(1)若集合中的元素是離散的，常用Venn圖求解．(2)若集合中的元素是連續(xù)的實數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況．高頻考點四利用集合的運算求參數(shù)例4、（2025·湖南長郡中學模擬）設(shè)集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠?，則a的取值范圍是()A．－1<a≤2 B．a(chǎn)>2C．a(chǎn)≥－1 D．a(chǎn)>－1【變式探究】（2025·山西平遙中學模擬）已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，則m的取值范圍是()A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)高頻考點五：集合的新定義問題例5.（2025·江蘇啟東中學模擬）定義集合P＝{p|a≤p≤b}的“長度”是b－a，其中a，b∈R.已知集合M＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(m≤x≤m＋\f(1,2)))))，N＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(n－\f(3,5)≤x≤n))))，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，那么集合M∩N的“長度”的最小值是________．【方法技巧】解決集合新定義問題的方法(1)正確理解新定義：耐心閱讀，分析含義，準確提取信息是解決這類問題的前提，剝?nèi)バ露x、新法則、新運算的外表，利用所學的集合性質(zhì)等知識將陌生的集合轉(zhuǎn)化為我們熟悉的集合，是解決這類問題的突破口。(2)合理利用集合性質(zhì)：運用集合的性質(zhì)(如元素的性質(zhì)、集合的運算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問題的關(guān)鍵．在解題時要善于從題設(shè)條件給出的數(shù)式中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，并合理利用。(3)對于選擇題，可結(jié)合選項，通過驗證、排除、對比、特值法等進行求解或排除錯誤選項，當不滿足新定義的要求時，只需通過舉反例來說明，以達到快速判斷結(jié)果的目的?！咀兪教骄俊浚?025·河北衡水中調(diào)研）定義集合的商集運算為eq\f(A,B)＝{x|x＝eq\f(m,n)，m∈A，n∈B}．已知集合A＝{2，4，6}，B＝{x|x＝eq\f(k,2)－1，k∈A}，則集合eq\f(B,A)∪B中的元素個數(shù)為()A．6 B．7C．8 D．9【方法技巧