西南大學(xué)附中2025—2026學(xué)年度上期期末考試高二數(shù)學(xué)試題（滿分：150分；考試時(shí)間：120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名、班級(jí)、考場/座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆填涂；答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫；必須在題號(hào)對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫無效；保持答卷清潔、完整.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回（試題卷自行保管，以備評講）.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若函數(shù)，則（）A. B. C.1 D.02.方程表示橢圓，則的取值范圍是（）A. B.或 C. D.3.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則（）A.2 B.4 C.8 D.164.已知兩條異面直線的方向向量分別是，，則這兩條異面直線所成的角滿足（）A. B.C. D.5.已知圓，是圓的一條動(dòng)弦，，則的中點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.7.已知數(shù)列滿足，，則的最小值為（）A.5 B.4 C.3 D.28.已知雙曲線（，）焦距為，左、右頂點(diǎn)分別為，，過作軸的垂線與的漸近線交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線，，則下列說法正確的是（）A.直線過定點(diǎn)B.直線的傾斜角為C.若，則D.若，則10.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)，作的垂線，垂足分別為，，則（）A.以為直徑的圓與相切B.若，則直線斜率的絕對值為1C.為銳角三角形D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，向量，且，則________.13.已知點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，過作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，則的最小值為_________.14.已知數(shù)列滿足，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍為__________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知公差大于1的等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.16.已知曲線在點(diǎn)處切線與直線平行.（1）求；（2）求單調(diào)區(qū)間.17.如圖，四棱錐的底面是等腰梯形，，，，為等邊三角形，且平面平面，連接.（1）證明：；（2）求平面與平面所成角的余弦值.18.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，證明：直線過定點(diǎn)；（3）以原點(diǎn)為圓心且過點(diǎn)的圓與直線交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），求面積的最大值.19.設(shè)，點(diǎn)、滿足，，若線段的中點(diǎn)滿足.（1）記與夾角為，試問是否為定值.若是，請求出的值；若不是，請說明理由；（2）設(shè)為與到直線的距離之和，記的最大值為，求；（3）在（2）中，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：，，證明：.西南大學(xué)附中2025—2026學(xué)年度上期期末考試高二數(shù)學(xué)試題（滿分：150分；考試時(shí)間：120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的姓名、班級(jí)、考場/座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆填涂；答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫；必須在題號(hào)對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫無效；保持答卷清潔、完整.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回（試題卷自行保管，以備評講）.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若函數(shù)，則（）A. B. C.1 D.0【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求出導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而求出導(dǎo)數(shù)值.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，所以.故選：C2.方程表示橢圓，則的取值范圍是（）A. B.或 C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解即可.【詳解】由題意知，，解得或.故選：B.3.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及下標(biāo)和性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，，，所以.故選：B.4.已知兩條異面直線的方向向量分別是，，則這兩條異面直線所成的角滿足（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用異面直線夾角公式列式求解并判斷.【詳解】由兩條異面直線的方向向量分別是，，得，.故選：A5.已知圓，是圓的一條動(dòng)弦，，則的中點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出弦心距，再結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式求解即可.【詳解】圓，圓心，半徑.設(shè)弦中點(diǎn)為，連接.在中，，，所以.是點(diǎn)到圓心的距離，所以，即.故選：D.6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性得到在上恒成立，將其轉(zhuǎn)化成在上恒成立，求出函數(shù)，在區(qū)間上的最小值為，所以.【詳解】求導(dǎo)得到，因函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，最小值為；所以，故選：B.7.已知數(shù)列滿足，，則的最小值為（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，利用累加法求得，得到，進(jìn)而求得的最小值，得到答案.【詳解】由數(shù)列滿足，且，可得，所以，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，可得取得最小值，最小值為.故選：C.8.已知雙曲線（，）的焦距為，左、右頂點(diǎn)分別為，，過作軸的垂線與的漸近線交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出雙曲線漸近線方程及頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出線段長，再利用三角形面積列出不等式求解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，，直線與漸近線方程聯(lián)立得，則，，由，得，即，則，整理得，即，而，解得，所以的離心率的取值范圍為.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線，，則下列說法正確的是（）A.直線過定點(diǎn)B.直線的傾斜角為C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】直線化簡得到，則直線過定點(diǎn)，故A正確；直線的斜率為，所以傾斜角為，故B錯(cuò)誤；若，則兩直線斜率乘積為，列方程求解得到，所以故C正確；若，則兩直線斜率相等為，列方程求解得到，故D正確.【詳解】直線，化簡得到，令，所以，所以直線過定點(diǎn)，故A正確；直線的斜率為，對應(yīng)傾斜角為，故B錯(cuò)誤；若，則兩直線斜率乘積為，因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的斜率為，所以，所以，故C正確.若，則兩直線斜率相等，因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的斜率為，所以，所以，故D正確.故選：ACD.10.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定的遞推公式，結(jié)合變形，利用等差數(shù)列定義求出，再逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】正項(xiàng)數(shù)列中，，對于A，由，得，而，解得，A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，，則，整理得，由，得，，B錯(cuò)誤；對于C，由選項(xiàng)B知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，，而，解得，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，因此，C正確；對于D，，D正確.故選：ACD11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)，作的垂線，垂足分別為，，則（）A.以為直徑的圓與相切B.若，則直線的斜率的絕對值為1C.為銳角三角形D.【答案】ABD【解析】【分析】求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，利用拋物線定義，結(jié)合圓的切線判定判斷A；設(shè)出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合拋物線定義、數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩點(diǎn)間距離公式求解判斷BCD.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，設(shè)，對于A，，以為直徑的圓半徑，線段中點(diǎn)到直線的距離為，因此該圓與相切，A正確；對于B，設(shè)直線，由消去得，則，，由，得，于是，解得，因此直線的斜率的絕對值為1，B正確；對于C，由選項(xiàng)B知，，而，，因此，即，，C錯(cuò)誤；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，向量，且，則________.【答案】13【解析】【分析】根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】因，所以，即，解得.所以.故答案為：13.13.已知點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，過作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，則的最小值為_________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合拋物線的定義可得，再根據(jù)三角形的性質(zhì)求解即可.【詳解】由拋物線，則焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.14.已知數(shù)列滿足，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】由數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列得到，對進(jìn)行化簡，分情況討論計(jì)算即可.【詳解】已知，所以.因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以恒成立..當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，不等式變?yōu)?，?設(shè)（為奇數(shù)），需.又，，，已知在奇數(shù)項(xiàng)上單調(diào)遞增，故.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，不等式變?yōu)?，?設(shè)（為偶數(shù)），需.又，，，已知在偶數(shù)項(xiàng)上單調(diào)遞減，故.綜上，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知公差大于1的等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)出公差，利用等比中項(xiàng)的定義列出方程求出公差，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式.（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)相消法求和，借助放縮法推理得證.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，且，，成等比數(shù)列，得，即，而，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由（1）得，所以.16.已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行.（1）求；（2）求的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為【解析】【分析】（1）對原函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)切線與直線平行，得到，代入求解即可.（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解即可.【小問1詳解】已知，所以.曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，所以，即，解得.【小問2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?令，即，又，所以，即，也即，解得或（舍去，因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.17.如圖，四棱錐的底面是等腰梯形，，，，為等邊三角形，且平面平面，連接.（1）證明：；（2）求平面與平面所成角余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，利用直角三角形判定證得，再利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)推理得證.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.小問1詳解】在四棱錐中，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅问堑妊菪?，，所以，則四邊形是平行四邊形，則，是直角三角形，且，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所?【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，由（1）知，，平面，由為等邊三角形，得，則直線兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得；設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為，，證明：直線過定點(diǎn)；（3）以原點(diǎn)為圓心且過點(diǎn)的圓與直線交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），求面積的最大值.【答案】（1）（2）證明見解析（3）8【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出的方程組，解方程組即可；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)，最后根據(jù)的坐標(biāo)寫出直線的方程即可得證，（3）首先聯(lián)立直線和圓，利用弦長公式求出，然后根據(jù)點(diǎn)線距公式求出點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而得到的表達(dá)式，最后利用基本不等式即可求出最大值.【小問1詳解】由題意可知，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】由題意可知，直線的斜率顯然存在且不為0，設(shè)直線的方程為，由消去得，所以，，即，因?yàn)椋酝砜傻?，，即，直線的斜率為，所以直線的方程為，整理得，所以直線恒過定點(diǎn).【小問3詳解】以原點(diǎn)為圓心且過點(diǎn)的圓的方程為，聯(lián)立消去得，所以，則，點(diǎn)到直線的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為.19.設(shè)，點(diǎn)、滿足，，若線段的中點(diǎn)滿足.（1）記與的夾角為，試問是否為定值.若是，請求出的值；若不是，請說明理由；（2）設(shè)為與到直線的距離之和，記的最大值為，求；（3）在（2）中，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：，，證明：.【答案】（1）