八年級上冊數(shù)學第二十章

軸對稱

20.4課題學習

最短路徑問題

相傳古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫.有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖1中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地.到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題.這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”.BA情景引入思考這是個實際問題，你能用自己理解的語言描述一下嗎？如圖所示：將A，B

兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線.??Bl那你能用數(shù)學語言說明這個問題所表達的意思嗎？A如圖：點A，B分別在直線l的同側(cè)，點C是直線l上的一個動點，當點C在什么位置的時候，AC+BC的值最??？如果點A，B在直線l的兩側(cè)，這時該如何求解？??ABl??ABl解析：連接A，B兩點，交直線l于點C，則點C即為所求的位置，可以使得AC+BC的值最小.依據(jù)：兩點之間，線段最短.如圖：點A，B分別在直線l的兩側(cè)，點C是直線l上的一個動點，當點C在什么位置的時候，AC+BC的值最?。磕隳芾脙牲c分別在直線兩側(cè)的解題思路，來解決兩點在直線同一側(cè)的問題嗎？分析：如果我們能夠把點B轉(zhuǎn)移到直線l的另外一側(cè)B′，同時使得對直線上任意一點C，滿足BC=B′C，就可以將問題轉(zhuǎn)化為“兩點分別在直線兩側(cè)的情況”.那么在直線l上使得滿足BC=B′C的點應(yīng)該怎么找呢？??ABl如圖，作出點B關(guān)于直線l的對稱點B′，利用軸對稱的性質(zhì)可知：對于直線l上的任意一點C均滿足BC=B′C.此時，問題轉(zhuǎn)化為：當點C在直線l的什么位置時，AB+B′C的值最?。?B′容易得出：連接AB′交直線l于點C，則點C即為所求.??ABlC你能證明這個結(jié)論嗎?證明：在直線l上任意取一點C′（不與點C重合），連接AC′，BC′，B′C′.由軸對稱的性質(zhì)可得：BC=B′C，BC′=B′C′，則AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，所以AC+BC<AC′+B′C′.由點C′的任意性可知，AC+BC的值是最小的，故點C的位置符合要求.l??AB?B′CC′1、直線異側(cè)的兩點到直線上一點距離和最短的問題.如圖，點A，B分別是直線l異側(cè)的兩個點，在直線l上找一點C使得AC+BC的值最小，此時點C就是線段AB與直線l的交點.??BlAC兩種最短距離問題2、直線同側(cè)的兩點到直線上一點距離和最短的問題.如圖，點A，B分別是直線l同側(cè)的兩個點，在直線l上找一點C使得AC+BC的值最小，這時先作點B關(guān)于直線l的對稱點的B′，連接AB′交直線l于點C（也可以作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于點C），此時點C就是所求作的點.??ABlCB′練一練如圖，A，B兩個小鎮(zhèn)在河的同側(cè)，現(xiàn)要在筆直的河邊a上修建一個自來水廠分別向兩個鎮(zhèn)供水，如何選擇自來水廠的位置，可使用的水管最短？解：如圖，作點B關(guān)于河邊a的對稱點B′，連接AB′交河邊a于點P，則點P所在的位置為所求的自來水廠的位置.??ABa??B′P練一練如圖，點A，B是直線l同側(cè)不重合的兩點，在直線l上求作一點C，使得AC+BC的長度最短.作法：①作點B關(guān)于直線l的對稱點B′；②連接AB′，與直線l相交于點C，則點C為所求作的點.在解決這個問題時沒有用到的知識或方法是（）A.轉(zhuǎn)化思想B.三角形兩邊之和大于第三邊C.兩點之間，線段最短D.三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內(nèi)角??ABlCB′如圖，點A，B是直線l同側(cè)不重合的兩點，在直線l上求作一點C，使得AC+BC的長度最短.作法：①作點B關(guān)于直線l的對稱點B′；②連接AB′，與直線l相交于點C，則點C為所求作的點.在解決這個問題時沒有用到的知識或方法是（）D分析：上述題目中應(yīng)用了軸對稱把最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”來解決，該過程用到了“轉(zhuǎn)化思想”，“兩點之間，線段最短”，驗證是否為最短距離時利用了三角形兩邊之和大于第三邊.??ABlCB′作法：過點P分別作關(guān)于直線l1，l2的對稱點P1，P2，連接P1P2分別交直線l1，l2于點M，N，則點M，N即為所求.?Pl2l1P1P2NM如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得△PMN的周長最小.兩點一線型問題解析：通過軸對稱的原理，把周長最小值轉(zhuǎn)化為兩點間距離最短的問題.△PMN周長的最小值為PM+MN+PN=P1P2.?Pl2l1P1P2NM如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得△PMN的周長最小.如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得四邊形PQMN的周長最小.?Pl2l1Q?兩點兩線型問題作法：分別作點P，Q關(guān)于直線l1，l2的對稱點P1，Q1，連接P1Q1分別交直線l1，l2于點M，N，則點M，N即為所求.?Pl2l1Q?P1Q1NM如圖，在直線l1和直線l2上分別找到點M，N，使得四邊形PQMN的周長最小.解析：通過軸對稱把周長最小問題轉(zhuǎn)化為兩點間距離最短問題，四邊形PMNQ的周長的最小值為PM+MN+NQ+QP=P1Q1+PQ，依據(jù)的是兩點之間，線段最短.

如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？BAABNM造橋選址問題BA●●

?NMNMNM

如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？BAＭＮBAA1MN如圖，平移A到A1，使AA1等于河寬，連接A1B交河岸于N作橋MN，此時路徑AM+MN+BN最短.理由:另任作橋M1N１，連接AM１，BN１，A１N１.Ｎ１Ｍ１由平移性質(zhì)可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為AA１＋A１B，而AM１＋M１N１＋BN１轉(zhuǎn)化為AA１＋A１N１＋BN１.在△A１N１B中，因為A1N1+BN1＞A1B.因此AM１＋M１N１＋BN１＞AM+MN+BN.A·BMNECD證明：由平移的性質(zhì)，得

BN∥EM

且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A到B的路徑長為AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,

若橋的位置建在CD處，連接AC,CD,DB,CE,則A到B的路徑長為AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB

＞AM+MN+BN，所以橋的位置建在MN處，A到B的路徑最短.B

題型分析D

C1．龜兔賽跑新規(guī)則：參賽者從點A出發(fā)到達直線a上任意一點C后，再回到直線a同側(cè)的終點B，最先到達終點者勝，圖D－25－1中的四個圖是為它們設(shè)計的路線，其中路程最短的是(

)圖D－25－1課堂練習2.如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，AD=5，點F是AD邊上的動點，則BF+EF的最小值為（）A．7.5B．5C．4D．不能確定解析：△ABC為等邊三角形，點D是BC邊的中點，即點B與點C關(guān)于直線AD對稱.∵點F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可轉(zhuǎn)化為求CF+EF的最小值，故連接CE即可，線段CE的長即為BF+EF的最小值.B3.如圖，荊州古城河在CC′處直角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從A處到B處，須經(jīng)兩座橋：DD′,EE′（橋?qū)挷挥嫞?，設(shè)護城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，怎樣架橋可使ADD′E′EB的路程最短？ADD′CC′EE′B解：作AF⊥CD,且AF=河寬，作BG⊥CE，且BG=河寬，連接GF,與河岸相交于E