2026屆河南省平頂山舞鋼第一高級中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．德國數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱，在歷史上有很大的影響．他幼年時就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天才，10歲時，他在進(jìn)行的求和運算時，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法．已知數(shù)列，則（）A.96 B.97C.98 D.992．已知點是橢圓上一點，點，則的最小值為A. B.C. D.3．知點分別為圓上的動.點，為軸上一點，則的最小值（）A. B.C. D.4．已知實數(shù)x，y滿足，則的最大值為（）A. B.C.2 D.15．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是4，則數(shù)據(jù)的方差是（）A.3.4 B.3.6C.3.8 D.46．等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，則（）A.72 B.90C.36 D.457．已知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓的兩個焦點，過F1的直線l交橢圓于M，N兩點，若△MF2N的周長為8，則橢圓方程為()A. B.C. D.8．已知函數(shù)，則的值為（）A. B.C. D.9．已知，，，若，，共面，則λ等于（）A. B.3C. D.910．直線的傾斜角為（）A.150° B.120°C.60° D.30°11．如圖，在長方體中，，，則直線和夾角余弦值為（）A. B.C. D.12．已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的橫坐標(biāo)為3，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)f(x)=x3－3x2+2，則函數(shù)f(x)的極大值為______14．已知偶函數(shù)部分圖象如圖所示，且，則不等式的解集為______.15．設(shè)，則曲線在點處的切線的傾斜角是_______16．已知拋物線C：y2＝2px過點P(1，1):①點P到拋物線焦點的距離為②過點P作過拋物線焦點的直線交拋物線于點Q，則△OPQ的面積為③過點P與拋物線相切的直線方程為x－2y＋1＝0④過點P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交拋物線于M，N兩點，則直線MN的斜率為定值其中正確的是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知等腰梯形，，為等腰直角三角形，，把沿折起（1）當(dāng)時，求證：；（2）當(dāng)平面平面時，求平面與平面所成二面角的平面角的正弦值18．（12分）設(shè)橢圓的左，右焦點分別為，其離心率為，且點在C上.（1）求C的方程；（2）O為坐標(biāo)原點，P為C上任意一點.若M為的中點，過M且平行于的直線l交橢圓C于A，B兩點，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求值；若不存在，說明理由.19．（12分）已知函數(shù)，（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求證：在上恒成立20．（12分）已知函數(shù)（1）若函數(shù)的圖象在點處的切線與平行，求b的值；（2）在（1）的條件下證明：21．（12分）已知橢圓F：經(jīng)過點且離心率為，直線和是分別過橢圓F的左、右焦點的兩條動直線，它們與橢圓分別相交于點A、B和C、D，O為坐標(biāo)原點，直線AB和直線CD相交于M．記直線的斜率分別為，且（1）求橢圓F標(biāo)準(zhǔn)方程（2）是否存在定點P，Q，使得為定值．若存在，請求出P、Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由22．（10分）請分別確定滿足下列條件的直線方程（1）過點（1，0）且與直線x﹣2y﹣2＝0垂直直線方程是（2）求與直線3x-4y+7=0平行，且在兩坐標(biāo)軸上截距之和為1的直線l的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】令，利用倒序相加原理計算即可得出結(jié)果.【詳解】令，，兩式相加得：，∴，故選:C2、D【解析】設(shè)，則，.所以當(dāng)時，的最小值為.故選D.3、B【解析】求出圓關(guān)于軸的對稱圓的圓心坐標(biāo)，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即可求出的最小值.【詳解】圓關(guān)于軸的對稱圓的圓心坐標(biāo)，半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，∴若與關(guān)于x軸對稱，則，即，當(dāng)三點不共線時，當(dāng)三點共線時，所以同理(當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號)所以當(dāng)三點共線時，當(dāng)三點不共線時，所以∴的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，∴.故選：B.4、A【解析】作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求出的最大值.【詳解】作出可行域如圖所示，由可知，此直線可用由直線平移得到，求的最大值，即直線的截距最大，當(dāng)直線過直線的交點時取最大值，即故選：5、B【解析】利用方差的定義即可解得.【詳解】由方差的定義，，則，所以數(shù)據(jù)的方差為：.故選：B6、B【解析】由題意結(jié)合成等比數(shù)列，有即可得，進(jìn)而得到、，即可求.【詳解】由題意知：，，又成等比數(shù)列，∴，解之得，∴，則，∴，故選：B【點睛】思路點睛：由其中三項成等比數(shù)列，利用等比中項性質(zhì)求項，進(jìn)而得到等差數(shù)列的基本量1、由成等比，即；2、等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用.7、A【解析】由題得c=1,再根據(jù)△MF2N的周長＝4a＝8得a＝2，進(jìn)而求出b的值得解.【詳解】∵F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓的兩個焦點，∴c＝1，又根據(jù)橢圓的定義，△MF2N的周長＝4a＝8，得a＝2，進(jìn)而得b＝，所以橢圓方程為.故答案為A【點睛】本題主要考查橢圓的定義和橢圓方程的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.8、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)公式及運算法則求得，再求解【詳解】因為，所以，所以故選：C9、C【解析】由，，共面，設(shè)，列方程組能求出λ的值【詳解】∵，，共面，∴設(shè)(實數(shù)m、n)，即，∴，解得故選：C10、D【解析】由斜率得傾斜角【詳解】直線的斜率為，所以傾斜角為30°.故選：D11、D【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出的坐標(biāo)，由空間向量夾角公式即可求解.【詳解】如圖：以為原點，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，所以，所以直線和夾角的余弦值為，故選：D.12、B【解析】設(shè)，進(jìn)而根據(jù)題意，結(jié)合中點弦的問題得，進(jìn)而再求解準(zhǔn)線方程即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，所以①，②，所以，①②得：，即，因為直線AB的斜率為1，線段AB的中點的橫坐標(biāo)為3，所以，即，所以拋物線，準(zhǔn)線方程為.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到極大值.【詳解】，令，解得：，00極大值極小值所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，即函數(shù)的極大值為.故答案為：14、【解析】由函數(shù)的圖象得出當(dāng)時，，再由函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】是偶函數(shù)，且，所以，由圖象得當(dāng)時，.又函數(shù)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對稱，當(dāng)時，，所以不等式的解集為.故答案為：.15、【解析】利用導(dǎo)數(shù)的定義，化簡整理，可得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案.【詳解】因為=，所以，則曲線在點處的切線斜率為，即，又所以所求切線的傾斜角為故答案為：16、②③④【解析】由拋物線過點可得拋物線的方程，求出焦點的坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，由拋物線的性質(zhì)可判斷①；求出直線的方程與拋物線聯(lián)立切線的坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形的面積，判斷②；設(shè)直線方程為y－1＝k(x－1)，與y2＝x聯(lián)立求得斜率，進(jìn)而可得在處的切線方程，從而判斷③；設(shè)直線的方程為拋物線聯(lián)立求出的坐標(biāo)，同理求出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的斜率，從而可判斷④【詳解】解：由拋物線過點，所以，所以，所以拋物線的方程為：；可得拋物線的焦點的坐標(biāo)為：，，準(zhǔn)線方程為：，對于①，由拋物線的性質(zhì)可得到焦點的距離為，故①錯誤；對于②，可得直線的斜率，所以直線的方程為：，代入拋物線的方程可得：，解得，所以，故②正確；對于③，依題意斜率存在，設(shè)直線方程為y－1＝k(x－1)，與y2＝x聯(lián)立，得：ky2－y＋1－k＝0，＝1－4k(1－k)＝0，4k2－4k＋1＝0，解得k＝，所以切線方程為x－2y＋1＝0，故③正確；對于④，設(shè)直線的方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，所以，所以，代入直線中可得，即，，直線的方程為：，代入拋物線的方程，可得，代入直線的方程可得，所以，，所以為定值，故④正確故答案為：②③④.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取的中點E，連，證明四邊形為平行四邊形，從而可得為等邊三角形，四邊形為菱形，從而可證，，即可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）取的中點M，連接，以B為空間坐標(biāo)原點，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.【小問1詳解】解：取的中點E，連，∵，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴，∵，∴為等邊三角形，四邊形為菱形，∴，，∴∴，∵，，，平面，，∴平面，∵平面，∴；【小問2詳解】解：取的中點M，連接，由（1）知，，∵平面平面，，∴平面，以B為空間坐標(biāo)原點，向量分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，可得，設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，有，有，故平面與平面所成二面角的正弦值為18、（1）；（2）.【解析】(1)列出關(guān)于a、b、c的方程組求解即可；(2)直線l斜率不存在時，易得λ的值；斜率存在時，設(shè)l方程為，聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，求出；求出OP方程，聯(lián)立OP方程與橢圓C的方程，求出；代入即可求得λ.【小問1詳解】由已知可得，解得，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】若直線的斜率不存在時，，∴；當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線l的方程為.聯(lián)立直線l與橢圓方程，消去y，得，∴.∵，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y，得，解得.∴，∴，同理，∴，∵，∴，故，存在滿足條件，綜上可得，存在滿足條件.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于弦長公式的運用，AB斜率為k，，M(1，0)，則，，，將弦長之積轉(zhuǎn)化為韋達(dá)定理求解.19、（1）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】（1）求得，根據(jù)其正負(fù)，即可判斷函數(shù)單調(diào)性從而求得函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化目標(biāo)不等式為，分別構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即可證明.【小問1詳解】因為，故可得，又為單調(diào)增函數(shù)，令，解得，故當(dāng)時，；當(dāng)時，，故的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.【小問2詳解】當(dāng)時，，要證，即證，又，則只需證，即證，令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取得最大值；令，，又為單調(diào)增函數(shù)，且時，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取得最小值.則，且當(dāng)時，同時取得最小值和最大值，故，即，也即時恒成立.【點睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題；處理本題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化目標(biāo)式，屬中檔題.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由題意可得，從而可求出，（2）先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得對任意恒成立，對任意恒成立，從而將問題轉(zhuǎn)化為只需證對任意恒成立，再次構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值小于等于即可【詳解】（1）解：∵函數(shù)的圖象在點處的切線與平行，∴，解得；證明：（2）由（1）得即對任意恒成立，令，則，∵當(dāng)時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∵，∴對任意恒成立，即對任意恒成立，∴只需證對任意恒成立即可，即只需證對任意恒成立，令，則，由單調(diào)遞減，且知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，∴得證，故不等式對任意恒成立21、（1）；（2）存在點，使得為定值.【解析】（1）設(shè)，，，結(jié)合條件即求；（2）由題可設(shè)直線方程，利用韋達(dá)定理法可得，再結(jié)合條件可得點的軌跡方程為，然后利用橢圓的定義即得結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)，，，橢圓方程為：，橢圓過點，，解得t=1，所以橢圓F的方程是【小問2詳解】由題可得焦點的坐標(biāo)分別為，當(dāng)直線AB或CD的斜率不存在時，點M的坐標(biāo)為或，當(dāng)直線AB和CD的斜率都存在時，設(shè)斜率分別為，點，直線AB為，聯(lián)立，得則，，同理可得，，因為，所以，化簡得由題意，知，所以設(shè)點，則，所以，化簡得，當(dāng)直線或的斜率不存在時，點M的坐標(biāo)為或，也滿足此方程所以點在橢圓上，根據(jù)橢圓定義可知，存在定點，使得為定值【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理法及題設(shè)條件求出點M的軌跡方程，再結(jié)合橢圓的定義，從而問題得到解決.22、（1）2x+y﹣2＝0（2）3x-4y-12=0【解析】（1）設(shè)與直線x﹣2y﹣2＝0垂直的直線方程為2x+y+m＝0，把（1，0）代