熱點(diǎn)3-3解三角形及其應(yīng)用三年考情分析2025考向猜測解三角形及其應(yīng)用是高考數(shù)學(xué)的高頻考，在選擇題、填空題及解答題中都有消滅．命題側(cè)重考查正弦定理、余弦定理和面積公式的應(yīng)用，難度適中。也與三角恒等變換、三角函數(shù)等學(xué)問結(jié)合、留意考查解三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用．正弦定理和余弦定理及其變形照舊是2025年高考的重點(diǎn)內(nèi)容．題型包括選擇題、填空題和解答題，難度多為中檔，除利用正、余弦定理解三角形外，還可能結(jié)合三角形的中線、高線、角平分線等性質(zhì)考查三角形的面積、周長、最值和范圍問題．題型1利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理求解三角形的邊角問題，實(shí)質(zhì)是實(shí)現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化，解題的思路是：1、選定理.（1）已知兩角及一邊，求其余的邊或角，利用正弦定理；（2）已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊所對的角，利用正弦定理；（3）已知兩邊及其夾角，求第三邊，利用余弦定理；（4）已知三邊求角或角的余弦值，利用余弦定理的推論；（5）已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊，利用余弦定理．2、巧轉(zhuǎn)化：化邊為角后一般要結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理與三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化；若將條件轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系，則式子一般比較簡單，要留意依據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征機(jī)敏化簡．3、得結(jié)論：利用三角函數(shù)公式，結(jié)合三角形的有關(guān)性質(zhì)（如大邊對大角，三角形的內(nèi)角取值范圍等），并留意利用數(shù)形結(jié)合求出三角形的邊、角或推斷出三角形的外形等．1．（24-25高三上·陜西西安·一模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則a的值為（

）A．2 B．3 C．1 D．4【答案】C【解析】由正弦定理得:，則又由于，所以，所以，在中由余弦定理得:.代入得:.解得:或，又由于，則，故，故選：C.2．（24-25高三上·河南·期末）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】，由正弦定理得，即，，，，，，由余弦定理得：；故選：3．（24-25高三下·山東淄博·開學(xué)考試）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，則為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可得，所以，所以，所以，所以，由于，所以.故選：B.4．（24-25高三上·貴州·月考）在中，內(nèi)角所對邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】由題可得，，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，所以.故選：B.題型2利用正、余弦定理推斷三角形外形1、通過正弦定理和余弦定理，化邊為角（如，等），利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行推斷。此時留意一些常見的三角等式所體現(xiàn)的內(nèi)角關(guān)系，如，；或等．2、利用正弦定理、余弦定理化角為邊，如，等，通過代數(shù)恒等變換，求出三條邊之間的關(guān)系進(jìn)行推斷．3、留意無論是化邊還是化角，在化簡過程中消滅公因式不要約掉，否則會有漏掉一種狀況的可能．1．（23-24高三下·河北秦皇島·三模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，則（

）A．為直角三角形 B．為銳角三角形C．為鈍角三角形 D．的外形無法確定【答案】A【解析】由，可得，則，，，即，由，故只能為銳角，可得，由于，所以，.故選：A.2．（24-25高三上·四川綿陽·月考）在中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且，則肯定是（

）A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．直角三角形【答案】A【解析】，由正弦定理得，則，又，可得，為三角形的內(nèi)角，，所以肯定是等腰三角形.故選：.3．（24-25高三上·江蘇揚(yáng)州·月考）在中，角，，分別為，，三邊所對的角，，則的外形是（

）A．等腰三角形但肯定不是直角三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形但肯定不是等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】C【解析】由得：，且，，且，，，化簡整理得：，即，或，又，是直角三角形但肯定不是等腰三角形．故選：．4．（24-25高三上·福建南平·期中）在△中，內(nèi)角的對邊分別為，已知向量共線，則△的外形為（

）A．等邊三角形 B．鈍角三角形C．有一個內(nèi)角是的直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】由于向量，共線，則，由正弦定理可得：，則，由于，則，可知，，，均不為，可得，則，即；同理由向量，共線可得：；綜上所述：.所以的外形為等邊三角形.故選：A題型3與三角形面積有關(guān)的問題1、常用的三角形面積公式：在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為a，b，c，邊，，邊上的高分別記作，，，為內(nèi)切圓半徑，為外接圓半徑，為內(nèi)切圓心．（1）（2）（3）（4）2、與三角形面積有關(guān)問題的解題策略（1）利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關(guān)邊、角之后，直接求三角形的面積；（2）把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他量．1．（24-25高三上·浙江寧波·期末）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，若，，則的面積是（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由于，，所以，又，即，所以，所以，所以，由于，即，又（其中），所以，則，即，又，即，即，又，所以，解得，所以，解得，所以.故選：B2．（24-25高三上·貴州安順·模擬猜測）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．(1)求角；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由于，所以，即，得到，又，則，所以，解得.（2）由（1）知，又，所以，又，所以，又，所以.3．（24-25高三上·浙江·期末）在中，角對應(yīng)的邊分別為，.(1)求角A；(2)若，，求的面積.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由及正弦定理，可得，故，由余弦定理，可得，由于，故，（2）由（1）可知，所以由于，所以所以，由所以，所以所以.4．（24-25高三下·安徽·月考）在中，角的對邊分別為．(1)求；(2)若為邊上一點(diǎn)，且的面積為，證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】（1）由，則，所以，，則.（2）由，可得（負(fù)值舍），則，而，所以，即，得證.題型4平面多邊形中的解三角形問題將簡單的多邊形分割成若干個三角形，通過逐一解決每個三角形的問題，求解整個多邊形的邊長和角度，有時還需結(jié)合三角恒等變換逐步．1．（24-25高三上·山東淄博·期末）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，成等差數(shù)列，且．(1)求證：為等邊三角形；(2)如圖，點(diǎn)D在邊BC的延長線上，且，，求的值．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）由于，，成等差數(shù)列，則，又由于，由余弦定理可得，即，解得，所以為等邊三角形.（2）設(shè)，則，在中，由余弦定理可得，即，解得，即，由正弦定理可得.2．（24-25高三上·甘肅酒泉·月考）如圖，已知的內(nèi)角所對的邊分別是，，且的外接圓面積為.(1)求邊；(2)若，延長至，使得，求.【答案】(1)7；(2)5【解析】（1）設(shè)的外接圓半徑為，由題意，解得.由和正弦定理，可得：，又由余弦定理，可得，由于，故由正弦定理，；（2）由（1）已得，則，化簡得：，解得，（舍去）.由余弦定理，可得，所以.由，可得.故，在中，由正弦定理，,即得.3．（24-25高三上·安徽亳州·期末）如圖，在平面四邊形中，，，平分.(1)若，，求；(2)若，求.【答案】(1)；(2)【解析】（1）∵平分，∴，故，∵，，∴，，在中，由余弦定理得.（2）設(shè)，則.設(shè)，則，，在中，由余弦定理得，∵，∴，∴，，∴.4．（24-25高三上·浙江·月考）如圖，四邊形中，．(1)求；(2)為邊上一點(diǎn)，且的面積為，求的外接圓半徑．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由于，所以，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，兩式作差得：，解得，由于，所以．（2）由于由（1）知，可得，且，則所以，在中，可得，所以，在中，可得，在中，可得，可得,所以，則，所以，解得，設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理得，解得，所以的外接圓半徑為．題型5解三角形中的中線問題1、中線長定理：在?ABC中，AD是邊BC上的中線，則AB2、向量法：AD【點(diǎn)睛】適用于已知中線求面積（已知BDCD1．（24-25高三上·福建廈門·一模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)設(shè)D為邊AB的中點(diǎn)，若，且，求a．【答案】(1)；(2)或【解析】（1）在中，由及正弦定理得，即，即，而，即，則，又，所以.（2）依題意，，則，或，當(dāng)時，由，得，在中，由正弦定理得，，則，在中，由余弦定理得，因此，當(dāng)時，，，，所以或.2．（24-25高三上·湖北武漢·期末）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，A，C滿足(1)求B；(2)若的面積為，，求中線BD的長．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由于，所以，又由于所以，，得，所以，由余弦定理得，又B為三角形內(nèi)角，所以，（2）由于的面積為，，，所以，，所以，又，由于BD為的中線，所以，，所以，，所以3．（24-25高三上·海南?？凇て谀┮阎?，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，，.(1)求的最大值；(2)若的面積為為中點(diǎn)，求的值.【答案】(1)12；(2)【解析】（1）由余弦定理，由于，即，整理，得，即.由于，則.∵，∴當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立∴的最大值為12（2）由題知，，平方可得，，聯(lián)立得：，且，即聯(lián)立解出，∴，∴.4．（24-25高三上·山東濟(jì)南·期末）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知(1)求A的值；(2)若邊上的兩條中線相交于點(diǎn)P，且求的正切值.【答案】(1)；(2)【解析】（1）在，由于，由正弦定理得：即即由于所以而所以整理得由于中所以又所以（2）由于AM是邊BC的中線，所以則不妨設(shè)則所以即解得或舍所以在中即即，解得即所以，在中又易知，P是重心，所以所以題型6解三角形中的角平分線問題如圖，在?ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所對的邊分別問a，b，1、利用角度的倍數(shù)關(guān)系：∠2、內(nèi)角平分線定理：AD為?ABC的內(nèi)角∠BAC的平分線，則AB說明：三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理將分對邊所成的線段比轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的兩邊之比，再結(jié)合抓星結(jié)構(gòu)，就可以轉(zhuǎn)化為向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”類問題，運(yùn)用向量學(xué)問解決起來都較為簡捷．3、等面積法：由于S?ABD+S?ACD整理的：AD=2bccosA1．（24-25高三上·湖北武漢·月考）在中，角的對邊分別為且滿足.(1)求；(2)若的角平分線與交于點(diǎn)，，，求.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由于，由正弦定理可得，即，又，所以，，所以，所以；（2）如圖，由題意得，，所以，即，又，代入解得，由余弦定理，可得，即，所以．2．（24-25高三上·河南·期末）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求；(2)設(shè)的平分線交線段于點(diǎn)，若，證明：為直角三角形.【答案】(1)；(2)證明見解析【解析】（1）由于，所以.由余弦定理，得，又由于，所以.（2）由于是的平分線，所以，設(shè)的邊上的高為，則由，得，即，由余弦定理，得，所以，從而，故為直角三角形.3．（24-25高三上·湖南衡陽·期末）在中，角，，的對邊分別為，，，且.(1)求角的大??；(2)若，外接圓半徑為2，的角平分線與交于點(diǎn).求的長.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由于，所以,即,即,由于，所以.（2）.所以，從而，所以，由于外接圓半徑為，所以外接圓直徑為，由正弦定理得，所以由于的角平分線為，所以，所以在中，由正弦定理得，即，解得4．（24-25高三上·安徽宣城·期末）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，求AD的最大值．【答案】(1)；(2).【解析】（1）由已知及正弦定理有，即，由余弦定理有，，則.（2）由（1）可知，則①，由基本不等式有，可得，又，則，∵，∴，可得，由①有，令，則在上單調(diào)遞增，所以AD的最大值為.題型7測量距離、高度、角度問題1、求距離、高度問題（1）選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的量．（2）確定用正弦定理還是余弦定理，假如都可用，就選擇更便于計算的定理．2、求角度問題（1）分析題意，分清已知與所求，再依據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步，畫圖時，要明確仰角、俯角、方位角以及方向角的含義，并能精確?????找到這些角．（2）將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，留意正、余弦定理的綜合應(yīng)用．1．（24-25高三上·江西·月考）南昌雙子塔，坐落于紅谷灘區(qū)贛江北岸，是南昌標(biāo)志性建筑之一.如圖，某人預(yù)備測量雙子塔中其中一座的高度（兩座雙子塔的高度相同），在地面上選擇了一座高為的大樓，在大樓頂部處測得雙子塔頂部的仰角為，底部的俯角為，則雙子塔的高度為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可得，，，則在中，，即，在中，，由正弦定理得，即，所以.故選：D.2．（24-25高三上·海南·月考）如圖，測量河對岸的塔高時，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點(diǎn)與，現(xiàn)測得，，，在點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】在中，由正弦定理可知：，則，即，在直角中，由，得，故選：A.3．（24-25高三上·福建·期末）如圖，一艘客船在處測得燈塔在它的南偏東方向，測得燈塔在它的南偏東方向.該客船向正東方向行駛后到達(dá)處，此時客船測得燈塔在它的南偏西方向，測得燈塔在它的南偏西方向，則燈塔與燈塔之間的距離（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，，所以在中，由于，，由正弦定理可得：，則，解得：，在中，所以，所以在，由余弦定理可得：，所以.故選：A.4．（24-25高三上·山東濰坊·期末）如圖，為了測量兩山頂，間的距離，飛機(jī)沿水平方向在，兩點(diǎn)進(jìn)行測量，，，，在同一個鉛垂平面內(nèi)．在點(diǎn)測得，的俯角分別為，，在點(diǎn)測得，的俯角分別為，，且，則．【答案】【解析】由于在點(diǎn)測得，的俯角分別為，，所以，，由于在點(diǎn)測得，的俯角分別為，，所以，，在中，已知，由正弦定理得，所以；由于，則，所以，在中，由余弦定理得，所以，由于，，故，在中，由余弦定理得：，故，所以題型8解三角形與三角函數(shù)綜合應(yīng)用1．（24-25高三上·天津·期中）設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及對稱軸；(3)在銳角中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)單調(diào)遞增區(qū)間是，對稱軸為，；(3)【解析】（1）所以函數(shù)的最小正周期為；（2）令，得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.令，，得，，所以函數(shù)的對稱軸為，.（3）銳角中，，，解得，所以，所以，所以的取值范圍是.2．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·期中）已知函數(shù)，在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，且.(1)求函數(shù)在區(qū)間上的值域；(2)求角；(3)若，求的面積.【答案】(1)；(2)；(3)【解析】（1）依據(jù)題意，可得，當(dāng)時，，所以，，故，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為.（2）由（1）得，即.由于，，所以，可得.（3）由余弦定理得，若，則，由于，所以，可得，即.由正弦定理，得，，所以，結(jié)合，可得.所以的面積.3．（24-25高三上·河南安陽·期中）已知函數(shù)是偶函數(shù)，且其圖象上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)間的距離為.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在中，其內(nèi)角的對邊分別為，已知2，且，求的面積.【答案】(1)；(2)【解析】（1），所以由函數(shù)為偶函數(shù)，知.又，所以，即有.由于，所以有.所以.又其圖象上相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)間的距離為，且，所以有，解得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由正弦定理，及，得，化簡可得，即.又，所以.由，及余弦定理，得，解得或（舍去），所以.又由于，所以.所以.4．（24-25高三上·江蘇揚(yáng)州·期中）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，.(1)推斷的外形；(2)已知，，，點(diǎn)、是邊上的兩個動點(diǎn)（、不重合，且點(diǎn)靠近，點(diǎn)靠近）.記，.①當(dāng)時，求線段長的最小值；②是否存在常數(shù)和，對于全部滿足題意的、，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，請說明理由.參考公式：，.【答案】(1)直角三角形或等腰三角形；(2)①；②成立，，【解析】（1）在中，由于，且，所以，即，，所以或者.當(dāng)時，所以，為直角三角形；當(dāng)時，所以，為等腰三角形.綜上所述，為直角三角形或等腰三角形.（2）①由于，所以，又，，所以，.如圖，設(shè)，，方法一：在中，由正弦定理，得，所以.在中，由正弦定理，得，所以.由于，所以，故當(dāng)，即時，.方法二：在中，由正弦定理，得，所以.在中，由正弦定理，得，所以.由于，所以，故當(dāng)，即時，.方法三：在中，由正弦定理，得，所以.在中，由正弦定理，得，所以.所以，由于，所以，故當(dāng)，即時，.②假設(shè)存在常數(shù)，，對于全部滿足題意的，，都有成立，則存在常數(shù)，，對于全部滿足題意的，，利用參考公式，有.由題意，是定值，所以，是定值，對于全部滿足題意的，成立，故有，由于，從而，即，，所以.故，.（建議用時：60分鐘）一、單選題1．（24-25高三上·江西·一模）的內(nèi)角的對邊分別為.已知，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】由正弦定理，得，所以，又，所以，所以.故選：A.2．（24-25高三上·河南濮陽·月考）在中，若，，三角形的面積，則三角形外接圓的半徑為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【解析】由題設(shè)有，故，故，由余弦定理可得，故，故三角形外接圓的半徑為，故選：B.3．（24-25高三上·云南昆明·期末）在鈍角中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)為鈍角時，由余弦定理得，所以，解得，由于，所以，所以；當(dāng)為鈍角時，由余弦定理得，所以，解得，由于，所以，所以，故選：D4．（24-25高三上·廣東·一模）如圖，已知，，，，則（

）A． B． C．或 D．【答案】D【解析】，，，所以.，，，，解得或（舍）故選：D5．（24-25高三上·甘肅張掖·一模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，記的面積為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于，所以．結(jié)合余弦定理，得，所以．所以，解得．由于，所以，所以．故選：B.6．（24-25高三上·福建福州·月考）在中，已知分別為角的對邊.若，且，則（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】由及余弦定理得：，則，由正弦定理得：，由二倍角公式可得：，移項并利用和差化積公式整理可得：，又，所以，解得或，由于，所以.故選：C.7．（24-25高三上·重慶·月考）在中，內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，已知，則（

）A．4049 B．4048 C．4047 D．4046【答案】A【解析】在中，，可得，即，故，即，所以，所以，即，所以故.故選：A.8．（24-25高三上·江蘇·月考）某同學(xué)用3個全等的小三角形拼成如圖所示的等邊△，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在中，，又，則，設(shè)，則，在中，由正弦定理得，解得，在中，由余弦定理得，即，又，解得，則，所以，故選：B二、多選題9．（24-25高三下·廣西·開學(xué)考試）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，，且，則（

）A．的外接圓直徑為 B．C．的面積為 D．的周長為【答案】ABD【解析】由于，由正弦定理可得外接圓直徑，故A正確；由易得，所以等價于，所以，由正弦定理得，故B正確；由余弦定理可得，代入，解得，的面積為，故C錯誤，所以的周長為，D正確.故選：ABD.10．（24-25高三上·福建福州·月考）在中，角，，的對邊分別是，，，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，，，則有兩解C．若，則為銳角三角形D．若，則為等腰三角形或直角三角形【答案】ACD【解析】對于A，，則，由正弦定理可得，，故A正確；對于B，由正弦定理，，此時無解，故B錯誤；對于C，，又且，，可知，，均為銳角，故為銳角三角形，故C正確；對于