目錄第5章

傅里葉變換

5.1傅里葉級(jí)數(shù)5.2傅里葉積分變換5.3傅里葉變換的性質(zhì)5.4δ

函數(shù)第1篇復(fù)變函數(shù)及應(yīng)用5.1傅里葉級(jí)數(shù)1.實(shí)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)

f(x)是一個(gè)以2l為周期的函數(shù)，即則可以把它展開(kāi)成如下形式的傅里葉級(jí)數(shù)利用三角函數(shù)系的正交性1.實(shí)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)其中符號(hào)δn，m

的定義為可以得到式(5.1-2)中的傅里葉展開(kāi)系數(shù)為如果l是一個(gè)具有長(zhǎng)度量綱的物理量，則式(5.1-2)就是周期函數(shù)

f(x)按空間變量x

展開(kāi)的傅里葉級(jí)數(shù)。引入波數(shù)則可以將式(5.1-2)改寫(xiě)為1.實(shí)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)的展開(kāi)系數(shù)則變?yōu)橐院髮⒖吹?，在研究有限長(zhǎng)度細(xì)桿的振動(dòng)或熱傳導(dǎo)等問(wèn)題時(shí)，通常使用由式(5.1-2)或式(5.1-8)式給出的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)。如果令ω=π/l，t=x，則式(5.1-2)變?yōu)槠渲笑豱=nω，展開(kāi)系數(shù)為1.實(shí)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)T=2π/ω

為周期。這樣，可以把

f(t)看成是一個(gè)隨時(shí)間變化的周期函數(shù)，式(5.1-12)為該函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)。由此可以看出，任何一個(gè)隨時(shí)間周期性變化的信號(hào)(如方波、鋸齒波等)都可以分解(變換)成直流、基波及高次諧波成分之和。

其中展開(kāi)系數(shù)為這樣，可以把式(5.1-16)看成以2π為周期的函數(shù)

f(θ)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)。1.實(shí)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)將圖5-1所示的鋸齒函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)。解：根據(jù)式(5.1-4)~式(5.1-6)，可以求出展開(kāi)系數(shù)為這樣有2.復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)也可以把一個(gè)周期性變化的函數(shù)展開(kāi)成復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。選取復(fù)指數(shù)函數(shù)族φn(x)=einπx/l

(n=0，±1，±2，…)為基函數(shù)族，則可以把一個(gè)變化周期為2l的函數(shù)

f(x)表示為其中kn=nπ/l為波數(shù)。利用基函數(shù)族的正交性，則展開(kāi)系數(shù)為盡管

f(x)為實(shí)數(shù)，但其傅里葉展開(kāi)系數(shù)有可能是復(fù)數(shù)。無(wú)論是實(shí)數(shù)形式的，還是復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，它們只適用于函數(shù)

f(x)在有限區(qū)域中的展開(kāi)。在這種情況下，展開(kāi)式中的波數(shù)kn

或頻率ωn

取值是不連續(xù)的，即n=0，1，2，…(實(shí)數(shù)形式的展開(kāi))或n=0，±1，±2，…(復(fù)數(shù)形式的展開(kāi))。在量子力學(xué)中，將會(huì)看到：如果微觀(guān)粒子在有界區(qū)域中運(yùn)動(dòng)，其動(dòng)量(與波數(shù)對(duì)應(yīng))及能量(與頻率對(duì)應(yīng))的取值將是不連續(xù)的。5.2傅里葉積分變換1.實(shí)數(shù)形式的傅里葉積分變換

其中其中式(5.2-1)即為實(shí)數(shù)形式的傅里葉變換式，A(k)和B(k)為傅里葉變換的系數(shù)。證明：根據(jù)上一節(jié)介紹的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式(5.1-8)1.實(shí)數(shù)形式的傅里葉積分變換

式(5.2-4)右邊的余弦部分為其中把對(duì)n

的求和變成了對(duì)k

的積分。同理，式(5.2-4)右邊的正弦部分為1.實(shí)數(shù)形式的傅里葉積分變換這樣在l→∞時(shí)，式(5.2-4)就變?yōu)榱耸?5.2-1)。物理上，通常視x

為空間變量，f(x)是一個(gè)隨空間變量x

變化的非周期函數(shù)，則式(5.2-1)被視為空間上的傅里葉變換，k

為波數(shù)。同樣，如果

f(t)是一個(gè)隨時(shí)間變量t變化的非周期函數(shù)，則有如下傅里葉變換其中通常稱(chēng)A(ω)和B(ω)為譜函數(shù)，ω

為圓頻率。傅里葉積分變換與傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)最大的區(qū)別是物理量變化區(qū)域的不同。

對(duì)于前者，物理量的變化區(qū)域是無(wú)界的，對(duì)應(yīng)的波數(shù)或頻率的取值是連續(xù)的；而對(duì)于后者，物理量的變化區(qū)域是有界的，對(duì)應(yīng)的波數(shù)或頻率的取值則是離散的。1.實(shí)數(shù)形式的傅里葉積分變換討論矩形脈沖函數(shù)的傅里葉積分變換，其中T為脈沖半寬度。解：由于f(t)是偶函數(shù)，則這樣，由式(5.2-5)得到特別是當(dāng)t=0及T=1時(shí)，可以得到這與前面用留數(shù)定理得到的結(jié)果一致，見(jiàn)式(4.4-4)。2.復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換在許多情形下，復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分變換比實(shí)數(shù)形式的傅里葉積分變換使用起來(lái)更為方便。利用歐拉公式則可以將式(5.2-1)改寫(xiě)為將上式右邊第二項(xiàng)積分中的k換成-k，并利用A(-k)=A(k)及B(-k)=-B(k)，則得到即2.復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換其中式(5.2-8)及式(5.2-9)就是函數(shù)

f(x)的復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換關(guān)系式。通常稱(chēng)

f(x)是原函數(shù)，式(5.2-8)為正變換，其變換的核為eikx；稱(chēng)F(k)為像函數(shù)，式(5.2-9)為逆變換，其變換的核為e-ikx

。習(xí)慣上，通常認(rèn)為式(5.2-8)和式(5.2-9)是關(guān)于空間變量x

的傅里葉變換，k是波數(shù)。而對(duì)于時(shí)間變量t的傅里葉變換，通常表示為2.復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換其中ω

為圓頻率。可以看出，與式(5.2-8)和式(5.2-9)不同的是：在正變換中核為e-iωt，而在逆變換中核則為eiωt

。如果一個(gè)物理量

f(x，t)既是空間變量x

的函數(shù)，又是時(shí)間變量t的函數(shù)，則可以將它的傅里葉變換式寫(xiě)為其中像函數(shù)為更一般地，如果

f(r，t)是一個(gè)在三維無(wú)界空間中隨時(shí)間變化的函數(shù)，則它的傅里葉變換式為其中r

=xex+yey+zez

是三維空間中的位置矢量，k

=kxex+kyey+kzez

是三維空間中的波矢量，且dr=dxdydz

及dk=dkxdkydkz。2.復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換

解：根據(jù)式(5.2-9)，有再利用已知的積分結(jié)果[見(jiàn)式(4.4-8)]則可以得到在量子力學(xué)中將會(huì)看到，函數(shù)

f(x)相當(dāng)于一維諧振子在坐標(biāo)空間中的基態(tài)波函數(shù)，而F(k)則為諧振子在動(dòng)量空間中的波函數(shù)。當(dāng)a

較大時(shí)，它在坐標(biāo)空間中的分布

f(x)較窄，而在動(dòng)量空間中的分布則較寬。這與量子力學(xué)中所謂的“測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系”相對(duì)應(yīng)。2.復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換

解：根據(jù)式(5.2-9)，則有將這個(gè)結(jié)果代入正變換式(5.2-8)中，則有即有這與用留數(shù)定理得到的結(jié)果是一致的。2.復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換

解：根據(jù)三維傅里葉變換，則有在球坐標(biāo)系中，選取k

的方向沿z

軸，并利用則得到

5.3傅里葉變換的性質(zhì)5.3傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉積分變換有一些基本的性質(zhì)。利用這些性質(zhì)，可以簡(jiǎn)化一些實(shí)際問(wèn)題的傅里葉積分變換過(guò)程。為了便于書(shū)寫(xiě)，我們將一維傅里葉積分變換簡(jiǎn)記為其中

f(x)為原函數(shù)，F(xiàn)(k)為像函數(shù)，符號(hào)“?”表示兩者之間的變換。1.線(xiàn)性定理設(shè)f1(x)及f2(x)分別為兩個(gè)原函數(shù)，它們對(duì)應(yīng)的像函數(shù)分別為F1(k)及F2(k)，則有其中α，β

為常數(shù)。直接從傅里葉積分變換式(5.3-1)出發(fā)，就可以得到這個(gè)定理。5.3傅里葉變換的性質(zhì)2.導(dǎo)數(shù)定理

Ⅰ函數(shù)

f(x)的n階導(dǎo)數(shù)

f(n)(x)對(duì)應(yīng)的傅里葉積分變換為其中要求

f(n-1)(x)|x=±∞=0。證明：根據(jù)式(5.3-2)，則有即類(lèi)似的，可以得到5.3傅里葉變換的性質(zhì)3.導(dǎo)數(shù)定理

Ⅱ其中F(n)(k)是F(k)的n

階導(dǎo)數(shù)。證明：由傅里葉積分變換式則有即5.3傅里葉變換的性質(zhì)4.積分定理

由導(dǎo)數(shù)定理得到其中Φ(k)是φ(x)的像函數(shù)。利用

f(x)?F(k)，則有即得到5.3傅里葉變換的性質(zhì)5.相似性定理其中a

為常數(shù)。6.延遲定理其中a

為常數(shù)。7.位移定理其中k0

為常數(shù)。8.卷積定理定義函數(shù)

f1(x)和

f2(x)的卷積為則它的傅里葉積分變換為其中F1(k)和F2(k)分別是函數(shù)

f1(x)和

f2(x)的像函數(shù)。5.3傅里葉變換的性質(zhì)證明：由傅里葉積分變換式(5.3-2)，有再令y=x-η，則有證畢。5.4δ

函數(shù)1.δ

函數(shù)的定義在物理學(xué)中，通常要研究一個(gè)物理量在空間或時(shí)間中的分布，如質(zhì)量密度、電荷密度或單位時(shí)間上的受力等。但為了簡(jiǎn)化描述，通常采用一些“點(diǎn)”模型，如質(zhì)點(diǎn)、點(diǎn)電荷及脈沖力等，它們?cè)诳臻g上或時(shí)間上都不是連續(xù)分布的，而是集中于空間某一點(diǎn)或某一時(shí)刻。考慮一質(zhì)量為m，長(zhǎng)度為l的勻質(zhì)細(xì)桿，且其中心位于坐標(biāo)的原點(diǎn)x=0處，則細(xì)桿的線(xiàn)質(zhì)量密度分布為其質(zhì)量為當(dāng)細(xì)桿的長(zhǎng)度無(wú)限小時(shí)，即l→0，這時(shí)細(xì)桿則趨向于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量仍為

m，即式(5.4-2)仍成立，但其質(zhì)量密度分布為由此可以看出，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量密度分布：在x=0點(diǎn)處為無(wú)限大；在x≠0處為零。它的積分為m。1.δ

函數(shù)的定義為了描述這些質(zhì)點(diǎn)和點(diǎn)電荷的空間分布，或脈沖力的瞬時(shí)分布，在物理學(xué)中可引入一個(gè)所謂的δ

函數(shù)來(lái)描述，其定義式為這表明δ函數(shù)的分布是無(wú)限窄，且當(dāng)x

→x0

時(shí)它的值趨于無(wú)限大，見(jiàn)圖5-2。δ

函數(shù)的這種特征明顯不同于常規(guī)的函數(shù)，但要求它的積分是有限的，即這說(shuō)明δ

函數(shù)的確切含義應(yīng)在積分運(yùn)算下來(lái)理解。δ

函數(shù)最初是由物理學(xué)家狄拉克(Dirac)引入的，它在物理學(xué)中有著廣泛地應(yīng)用。借助于δ

函數(shù)，就可以描述質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量密度分布，點(diǎn)電荷的電荷密度分布，以及脈沖力的瞬時(shí)分布等。如一個(gè)質(zhì)量為m

且位于x0

點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分布為mδ(x-x0)，一個(gè)電荷量為Q

且位于x0

點(diǎn)的點(diǎn)電荷的電荷密度分布為Qδ(x-x0)，以及在t0

時(shí)刻出現(xiàn)的脈沖力為Kδ(t-t0)，其中K

為沖量。在三維情況下，類(lèi)似地有三維的δ函數(shù)可以用一維δ函數(shù)的乘積來(lái)表示，即這樣有2.δ函數(shù)的性質(zhì)(1)δ(x)函數(shù)是偶函數(shù)，它的導(dǎo)數(shù)則是奇函數(shù)，即(2)可以用階躍函數(shù)來(lái)表示δ(x)函數(shù)，即2.δ函數(shù)的性質(zhì)這是因?yàn)?3)δ(x)函數(shù)具有挑選性，即其中

f(x)是[-∞，∞]區(qū)間中的連續(xù)函數(shù)。由此，有(4)若φ(x)=0的實(shí)根為xk(k=1，2，…)，且全為單根，則3.δ

函數(shù)的輔助函數(shù)

很容易驗(yàn)證，它們都符合

δ(x)函數(shù)的上述兩個(gè)特征。4.δ

函數(shù)的傅里葉變換根據(jù)前面介紹過(guò)的傅里葉積分變換，可以將δ函數(shù)表示為其中傅里葉變換為這樣，δ

函數(shù)的傅里葉積分為同樣，對(duì)于三維情況，δ

函數(shù)的傅里葉積分為利用δ

函數(shù)的傅里葉積分式，很容易推導(dǎo)出它的廣義函數(shù)表示式(5.4-16)。令k

→∞，則4.δ

函數(shù)的傅里葉變換求函數(shù)sinax

和cosax

的傅里葉變換，其中a

是實(shí)常數(shù)。解：由傅里葉積分變換，有嚴(yán)格地講，函數(shù)sinax

和cosax并不滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件，但利用δ函數(shù)的定義，可以計(jì)算出它們的傅里葉變換式。4.δ

函數(shù)的傅里葉變換

解：根據(jù)傅里葉變換，有在球坐標(biāo)系中，選取k

的方向沿z

軸，并利用則可以得到可見(jiàn)，對(duì)于三維傅里葉變換，有如下變換關(guān)系成立這個(gè)變換關(guān)系很重要，我們將在第十章中討論積分變換法時(shí)用到。4.δ

函數(shù)的傅里葉變換利用傅里葉積分變換，求解如下含有δ

函數(shù)的常微分方程其中a>0，x0

為給定的參數(shù)。解：令并對(duì)方程(5.4-22)兩邊進(jìn)行傅里葉積分變換，則得到即將該式代入式(5.4-23)，則有利用留數(shù)定理，不難得到4.δ

函數(shù)的傅里葉變換利用δ函數(shù)的性質(zhì)，求解如下常微分方程解：根據(jù)δ

函數(shù)的性質(zhì)，有并令借助于式(5.4-26)和式(5.4-27)，可以把方程(5.4-25)轉(zhuǎn)化為根據(jù)前面例3的結(jié)果，則有這樣，常微分方程(5.4-25)的解為目錄第6章

拉普拉斯變換

6.1拉普拉斯變換的定義6.2拉普拉斯變換的性質(zhì)6.3拉普拉斯變換的反演6.4拉普拉斯變換的應(yīng)用第1篇復(fù)變函數(shù)及應(yīng)用6.1拉普拉斯變換的定義6.1拉普拉斯變換的定義由上一章的討論可以知道，對(duì)于傅里葉積分變換，要求原函數(shù)

f(x)在區(qū)間-∞，∞上分段光滑，而且絕對(duì)可積。這個(gè)條件相當(dāng)苛刻，以至于許多常見(jiàn)的函數(shù)(如多項(xiàng)式、三角函數(shù)等)都不滿(mǎn)足這個(gè)條件。下面我們將看到，對(duì)于拉普拉斯變換，對(duì)原函數(shù)的要求要寬松得多。拉普拉斯變換的定義為其中

f(t)是原函數(shù)，F(xiàn)(p)是像函數(shù)，e-pt

是積分變換的核，p=s+iσ

為復(fù)數(shù)，且要求Re(p)=s>0。這里需要說(shuō)明的一點(diǎn)是，在式(6.1-1)的積分變換中，要求

f(t)在t<0時(shí)刻的值為零，即這樣才能保證式(6.1-1)的積分變換有意義。拉普拉斯變換存在的條件是：(1)f(t)在區(qū)間0≤t<∞中是分段連續(xù)的，而且導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)；(2)存在正常數(shù)

M>0及s0

≥0，使得對(duì)于任何t值，有在實(shí)際應(yīng)用中，所遇到的大多數(shù)函數(shù)都能滿(mǎn)足上述要求。為了熟悉拉普拉斯變換的方法，我們先舉例計(jì)算一些簡(jiǎn)單函數(shù)的拉普拉斯變換。6.1拉普拉斯變換的定義求函數(shù)f(t)=1的拉普拉斯變換。解：按照拉普拉斯變換的定義，有所以有求函數(shù)f(t)=eαt

的拉普拉斯變換。解：按照拉普拉斯變換的定義，有其中要求Rep>Reα。這樣有6.1拉普拉斯變換的定義求函數(shù)

f(t)=tn

的拉普拉斯變換。解：按照拉普拉斯變換的定義，有即類(lèi)推，有6.1拉普拉斯變換的定義求函數(shù)

f(t)=sinωt(ω

為實(shí)數(shù))的拉普拉斯變換。解：按照拉普拉斯變換的定義，有即類(lèi)似地，還有6.1拉普拉斯變換的定義求函數(shù)

f(t)=sinhωt(ω

為實(shí)數(shù))的拉普拉斯變換。解：按照拉普拉斯變換的定義，有即類(lèi)似地，還有記住上述簡(jiǎn)單函數(shù)的拉普拉斯變換式非常有用，因?yàn)樵诶绽狗囱輹r(shí)要經(jīng)常用到它們。6.2拉普拉斯變換的性質(zhì)6.2拉普拉斯變換的性質(zhì)與傅里葉積分變換一樣，拉普拉斯變換也有一些重要的性質(zhì)。利用這些性質(zhì)，可以簡(jiǎn)化一些拉普拉斯變換過(guò)程。1.線(xiàn)性定理如果f1(t)?F1(p)及f2(t)?F2(p)，則有其中α

和β

為常數(shù)。求函數(shù)cosωt+isinωt的拉普拉斯變換。解：令f1(t)=cosωt及f2(t)=sinωt，則按照線(xiàn)性定理，有6.2拉普拉斯變換的性質(zhì)2.導(dǎo)數(shù)定理

Ⅰ設(shè)

f(t)在t=0時(shí)刻的值為

f(0)，則它的導(dǎo)數(shù)f(1)(t)的拉普拉斯變換為證明：根據(jù)拉普拉斯變換的定義，有推廣到高階導(dǎo)數(shù)f(n)(t)，則有由此可以看出，在拉普拉斯變換下，一個(gè)常微分方程將會(huì)變成一個(gè)代數(shù)方程，而且還把初始值考慮了進(jìn)去。6.2拉普拉斯變換的性質(zhì)已知函數(shù)f(t)滿(mǎn)足如下二階常微分方程其中ω

為常數(shù)，初始條件為

f(0)=1及

f(1)(0)=0。試用拉普拉斯變換的導(dǎo)數(shù)定理

Ⅰ

求解該方程。解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)定理

Ⅰ，有即由式(6-1.7)可以知道，該像函數(shù)對(duì)應(yīng)的原函數(shù)為

f(t)=cosωt6.2拉普拉斯變換的性質(zhì)3.導(dǎo)數(shù)定理

Ⅱ證：根據(jù)拉普拉斯變換的定義式，則有即類(lèi)似地，可以證明：利用導(dǎo)數(shù)定理

Ⅱ，求函數(shù)tsinωt的拉普拉斯變換。

6.2拉普拉斯變換的性質(zhì)4.積分定理

其中利用了g(0)=0。再利用

f(t)=g(1)(t)?F(p)，則有即5.相似性定理其中a為常數(shù)。6.2拉普拉斯變換的性質(zhì)6.位移定理利用這個(gè)定理，就可以得到7.延遲定理證明：由于在拉普拉斯變換中要求原函數(shù)

f(t)在t<0的時(shí)刻為零，則有

6.2拉普拉斯變換的性質(zhì)8.卷積定理設(shè)原函數(shù)

f1(t)及

f2(t)對(duì)應(yīng)的像函數(shù)分別為F1(p)及F2(p)，則它們的卷積對(duì)應(yīng)的拉普拉斯變換為證明：根據(jù)拉普拉斯變換的定義及卷積的定義，有這是一個(gè)二重積分，其中先從τ=0到τ=t進(jìn)行積分，然后再?gòu)膖=0到t=∞進(jìn)行積分，積分區(qū)域如圖6-1所示。現(xiàn)在改變積分順序，先從t=τ

到t=∞進(jìn)行積分，然后再?gòu)摩?0到τ=∞進(jìn)行積分?？梢钥闯?，兩種積分順序給出的積分結(jié)果是相同的。這樣有6.2拉普拉斯變換的性質(zhì)再進(jìn)行變量代換，令ζ=t-τ，則有可見(jiàn)，兩個(gè)函數(shù)的卷積在拉普拉斯變換下變成了它們對(duì)應(yīng)的像函數(shù)的乘積。在解決實(shí)際問(wèn)題中，這種卷積定理非常有用。例如，一個(gè)像函數(shù)可以分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單像函數(shù)的乘積，則它的反演就可以用這兩個(gè)簡(jiǎn)單像函數(shù)對(duì)應(yīng)的原函數(shù)的卷積來(lái)表示。6.3拉普拉斯變換的反演6.3拉普拉斯變換的反演前面討論的是在已知原函數(shù)的情況下，求出它對(duì)應(yīng)的像函數(shù)，這叫拉普拉斯變換。反過(guò)來(lái)，若已知像函數(shù)，來(lái)求出它對(duì)應(yīng)的原函數(shù)，這叫作拉普拉斯變換的反演。在一般的情況下，拉普拉斯變換的反演過(guò)程是非常復(fù)雜的。但對(duì)于一些特殊情況，如：(1)一個(gè)像函數(shù)可以分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的像函數(shù)之和；(2)一個(gè)像函數(shù)可以分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單的像函數(shù)的乘積；(3)經(jīng)過(guò)其他的數(shù)學(xué)操作，這個(gè)像函數(shù)可以用一些簡(jiǎn)單的像函數(shù)來(lái)表示。這樣就可以利用一些已知的簡(jiǎn)單原函數(shù)(如：tn，sinωt，cosωt及eαt等)所對(duì)應(yīng)的像函數(shù)及上節(jié)介紹的拉普拉斯變換的性質(zhì)，來(lái)完成反演過(guò)程。下面舉例進(jìn)行說(shuō)明。6.3拉普拉斯變換的反演

解：有兩種方法，如下：方法一：可以把這個(gè)像函數(shù)分解為

6.3拉普拉斯變換的反演

解：6.3拉普拉斯變換的反演

6.3拉普拉斯變換的反演

在一般情況下，可以采用所謂的黎曼

梅林反演公式來(lái)計(jì)算像函數(shù)的反演，其中積分路徑是p

平面上一條平行于虛軸的直線(xiàn)，且要求像函數(shù)F(p)在這條直線(xiàn)的右半平面沒(méi)有奇點(diǎn)。由于這個(gè)公式涉及復(fù)平面上的積分，因此計(jì)算反演的過(guò)程比較復(fù)雜，這里不再進(jìn)行詳細(xì)介紹。6.4拉普拉斯變換的應(yīng)用1.求解常微分方程對(duì)于電感

電阻串聯(lián)回路，見(jiàn)圖6-2，當(dāng)開(kāi)關(guān)

K合上之前，回路中沒(méi)有電流流動(dòng)，其中E為直流電源的電動(dòng)勢(shì)，R為電阻，L為電感。

求開(kāi)關(guān)合上之后，電路中的電流i(t)。解：回路電流i(t)所滿(mǎn)足的方程為初始條件為i(0)=0。這是一個(gè)典型的一階常微分方程。根據(jù)拉普拉斯變換，則有由此得到所以回路中的電流為該電流包含了兩部分，即穩(wěn)恒部分E/R

和暫態(tài)部分Ee-Rt/L/R。1.求解常微分方程對(duì)于如圖6-3所示的電感-電容串聯(lián)回路，電容器上的初始電荷為±q0。當(dāng)電容器進(jìn)行放電時(shí)，回路中的電流i(t)是多少?

這是一個(gè)典型的微分

積分方程。根據(jù)拉普拉斯變換的導(dǎo)數(shù)定理和積分定理，則有由于初始電流i(0)為零，則有很顯然，它對(duì)應(yīng)的原函數(shù)，即瞬時(shí)電流為

1.求解常微分方程在如圖6-4所示的電感

阻回路中，交變電源的電壓為E(t)=E0sinωt。當(dāng)開(kāi)關(guān)閉合時(shí)，求回路中的電流i(t)。已知初始電流為零，即i(0)=0。解：回路中電流所滿(mǎn)足的微分方程為根據(jù)拉普拉斯變換，則有由此可以得到由于所以由卷積定理，可以得到1.求解常微分方程一個(gè)質(zhì)量為m、彈性系數(shù)為k的彈簧振子在外界強(qiáng)迫力

f(t)=f