重慶大學(xué)2025-2026學(xué)年(秋)數(shù)理統(tǒng)計(jì)AB試題及答案1．（12分）設(shè)總體X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，其密度f(x;λ)=λe^{-λx},x>0,λ>0。從該總體抽取容量n=10的樣本X?,…,X??，記樣本均值為X?。（1）求2λnX?的精確分布；（2）若觀測得x?=0.42，求λ的95%等尾置信區(qū)間；（3）檢驗(yàn)H?:λ=2vsH?:λ≠2，顯著性水平α=0.05，給出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、拒絕域與結(jié)論。解（1）指數(shù)分布屬于Gamma族，λX?～Exp(1)=Gamma(1,1)，于是∑_{i=1}^{10}λX?～Gamma(10,1)。因此2λnX?=2·10·λX?=20λX?～Gamma(10,2)=χ2(20)。答：2λnX?～χ2(20)。（2）由（1）知20λX?為樞軸量，取χ2分布雙側(cè)2.5%分位：χ2_{0.025}(20)=9.591，χ2_{0.975}(20)=34.170。P(9.591≤20λX?≤34.170)=0.95?λ∈[9.591/(20·0.42),34.170/(20·0.42)]=[1.142,4.068]。95%置信區(qū)間(1.14,4.07)（保留兩位小數(shù)）。（3）用似然比檢驗(yàn)。指數(shù)族正則，對數(shù)似然?(λ)=nlnλ?λnX?。Score函數(shù)U(λ)=??/?λ=n/λ?nX?，F(xiàn)isher信息I(λ)=n/λ2。Wald統(tǒng)計(jì)量W=(λ??λ?)2I(λ?)=(1/X??2)2·nX?2=10(1?2·0.42)2/0.42=3.31。χ2_{0.95}(1)=3.841，W<3.841，不拒絕H?。結(jié)論：在0.05水平下沒有充分證據(jù)認(rèn)為λ不等于2。2．（14分）設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)，均值向量μ=(1,2)?，協(xié)方差Σ=[[4,2.4],[2.4,1]]。（1）求Y關(guān)于X的線性回歸函數(shù)E(Y|X=x)；（2）求條件方差Var(Y|X=x)；（3）若觀測得x=3，求P(Y>3.5|X=3)；（4）從該分布抽取n=5組獨(dú)立樣本(X?,Y?)，記樣本相關(guān)系數(shù)為R，求E(R)與Var(R)的近似表達(dá)式（保留n?1階項(xiàng)）。解（1）二元正態(tài)回歸系數(shù)β=Σ_{XY}/Σ_{XX}=2.4/4=0.6，截距α=μ_Y?βμ_X=2?0.6·1=1.4。故E(Y|X=x)=1.4+0.6x。（2）條件方差σ2_{Y|X}=Σ_{YY}?Σ_{XY}2/Σ_{XX}=1?(2.4)2/4=1?1.44=0.56。（3）當(dāng)x=3，條件分布Y|X=3～N(1.4+0.6·3,0.56)=N(3.2,0.56)。標(biāo)準(zhǔn)化Z=(3.5?3.2)/√0.56=0.3/0.748≈0.401。P(Y>3.5|X=3)=1?Φ(0.401)=0.344。（4）對于二元正態(tài)，樣本相關(guān)系數(shù)R的期望與方差經(jīng)典結(jié)果為E(R)=ρ?ρ(1?ρ2)/(2n)+O(n?2)，Var(R)=(1?ρ2)2/n+O(n?2)。此處ρ=Σ_{XY}/√(Σ_{XX}Σ_{YY})=2.4/√(4·1)=1.2/2=0.6。故E(R)≈0.6?0.6·(1?0.36)/(2·5)=0.6?0.6·0.64/10=0.562，Var(R)≈(1?0.36)2/5=0.4096/5=0.0819。3．（12分）設(shè)X?,…,X?獨(dú)立同分布于U(0,θ)，θ>0未知。（1）求θ的極大似然估計(jì)θ?；（2）求θ?的密度函數(shù)，并證明(n+1)θ?/n為無偏估計(jì)；（3）計(jì)算θ?的均方誤差MSE(θ?)；（4）構(gòu)造一個形如[cθ?,θ?]的1?α置信區(qū)間，使區(qū)間長度最短，求c。解（1）似然L(θ)=θ??I_{θ≥X_{(n)}}，在θ=X_{(n)}處取最大，故θ?=X_{(n)}。（2）X_{(n)}的cdf為F_{(n)}(t)=(t/θ)?,0<t<θ，密度f_{θ?}(t)=nt^{n?1}/θ?,0<t<θ。期望E(θ?)=∫?^θt·nt^{n?1}/θ?dt=nθ/(n+1)。因此(n+1)θ?/n為無偏估計(jì)。（3）MSE(θ?)=E(θ??θ)2=E(θ?2)?2θE(θ?)+θ2。先算E(θ?2)=∫?^θt2·nt^{n?1}/θ?dt=nθ2/(n+2)。于是MSE=nθ2/(n+2)?2θ·nθ/(n+1)+θ2=θ2[n/(n+2)?2n/(n+1)+1]=θ2[n(n+1)?2n(n+2)+(n+1)(n+2)]/[(n+1)(n+2)]=θ2[n2+n?2n2?4n+n2+3n+2]/[(n+1)(n+2)]=2θ2/[(n+1)(n+2)]。（4）取樞軸量Y=θ?/θ，其cdf為P(Y≤y)=y?,0<y<1。對1?α置信區(qū)間，需P(cθ?≤θ≤θ?)=P(θ?≤θ≤θ?/c)=P(Y≤1)?P(Y≤c)=1?c?=1?α?c=α^{1/n}。區(qū)間[α^{1/n}θ?,θ?]長度θ?(1?α^{1/n})隨c增大而減小，故取c=α^{1/n}即最短。4．（14分）某芯片廠欲比較兩條工藝A、B對晶圓缺陷數(shù)的影響。獨(dú)立抽取10片A工藝晶圓，平均缺陷28.4，樣本方差26.2；抽取12片B工藝晶圓，平均缺陷22.7，樣本方差18.5。假定缺陷數(shù)服從泊松分布，但樣本量較小，需用正態(tài)近似。（1）檢驗(yàn)H?:μ_A=μ_BvsH?:μ_A≠μ_B，α=0.05；（2）給出μ_A?μ_B的95%置信區(qū)間；（3）若實(shí)際關(guān)心的是A是否比B多3個缺陷，檢驗(yàn)H?:μ_A?μ_B=3vsH?:μ_A?μ_B≠3；（4）計(jì)算（3）中檢驗(yàn)的p值。解記X?=28.4,S_X2=26.2,n=10；Y?=22.7,S_Y2=18.5,m=12。泊松均值大時可用正態(tài)近似，方差等于均值，故可用樣本方差估計(jì)。（1）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T=(X??Y?)/√(S_X2/n+S_Y2/m)=(28.4?22.7)/√(26.2/10+18.5/12)=5.7/√(2.62+1.5417)=5.7/√4.1617=5.7/2.04=2.79。自由度用Welch–Satterthwaiteν=(2.62+1.5417)2/[(2.622/9)+(1.54172/11)]=4.16172/[0.761+0.216]=17.32/0.977=17.7≈18。雙側(cè)t_{0.975}(18)=2.101，|T|>2.101，拒絕H?。結(jié)論：兩工藝缺陷數(shù)均值顯著不同。（2）95%置信區(qū)間(X??Y?)±t_{0.975}(18)·SE=5.7±2.101·2.04=5.7±4.29→(1.41,9.99)。（3）檢驗(yàn)H?:μ_A?μ_B=3，統(tǒng)計(jì)量T'=(5.7?3)/2.04=2.7/2.04=1.32。臨界值仍為±2.101，|T'|<2.101，不拒絕H?。（4）p值=2P(t(18)≥1.32)=2·0.101=0.202。5．（12分）設(shè)線性模型Y=Xβ+ε，ε～N?(0,σ2I)，X為n×p列滿秩。記H=X(X?X)?1X?為帽子矩陣。（1）證明tr(H)=p；（2）證明Y?(I?H)Y/σ2～χ2(n?p)；（3）若n=25,p=4，求E(||ε?||2)與Var(||ε?||2)，其中ε?=Y?Xβ?；（4）在（3）條件下，給出σ2的無偏估計(jì)及其方差。解（1）tr(H)=tr(X(X?X)?1X?)=tr((X?X)?1X?X)=tr(I_p)=p。（2）I?H對稱冪等，秩n?p，且(I?H)X=0，故(Y?Xβ)?(I?H)(Y?Xβ)/σ2=ε?(I?H)ε/σ2～χ2(n?p)。又Y?(I?H)Y=(Y?Xβ)?(I?H)(Y?Xβ)，因?yàn)?I?H)X=0。得證。（3）||ε?||2=Y?(I?H)Y=ε?(I?H)ε。E(||ε?||2)=E[ε?(I?H)ε]=σ2tr(I?H)=σ2(n?p)=21σ2。Var(||ε?||2)=Var(ε?(I?H)ε)=2σ?tr((I?H)2)=2σ?tr(I?H)=2σ?(n?p)=42σ?。（4）σ2的無偏估計(jì)為σ?2=||ε?||2/(n?p)=||ε?||2/21，Var(σ?2)=Var(||ε?||2)/(n?p)2=42σ?/212=2σ?/21。6．（12分）為研究溫度（°C）對某合金電阻Y(μΩ)的影響，測得8組數(shù)據(jù)：溫度x:2025303540455055電阻y:4.214.655.025.505.886.306.757.20假定模型Y?=β?+β?x?+ε?，ε?iidN(0,σ2)。（1）求β?,β?的最小二乘估計(jì)；（2）給出σ2的無偏估計(jì)；（3）檢驗(yàn)H?:β?=0vsH?:β?≠0，α=0.01；（4）預(yù)測x=60°C時電阻的99%置信區(qū)間。解n=8，x?=37.5，?=5.688，S_{xx}=∑(x??x?)2=700，S_{xy}=∑(x??x?)(y???)=43.4，S_{yy}=∑(y???)2=7.252。（1）β??=S_{xy}/S_{xx}=43.4/700=0.0620，β??=??β??x?=5.688?0.062·37.5=5.688?2.325=3.363。（2）σ?2=(S_{yy}?β??S_{xy})/(n?2)=(7.252?0.062·43.4)/6=(7.252?2.691)/6=4.561/6=0.760。（3）t統(tǒng)計(jì)量t=β??/(σ?/√S_{xx})=0.062/√(0.760/700)=0.062/0.0330=1.88。雙側(cè)t_{0.995}(6)=3.707，|t|<3.707，不拒絕H?。（4）x?=60，預(yù)測值??=3.363+0.062·60=7.083。預(yù)測方差Var(??)=σ?2[1/n+(x??x?)2/S_{xx}]=0.760[0.125+(22.5)2/700]=0.760[0.125+0.723]=0.760·0.848=0.644。標(biāo)準(zhǔn)誤0.802，t_{0.995}(6)=3.707，99%區(qū)間7.083±3.707·0.802→(4.11,10.06)。7．（12分）設(shè)隨機(jī)變量X的密度為f(x;θ)=θ(1+x)^{?(θ+1)},x>0,θ>0。（1）求θ的矩估計(jì)θ?；（2）求θ的極大似然估計(jì)θ?；（3）計(jì)算Fisher信息I(θ)；（4）比較θ?與θ?的漸近相對效率ARE(θ?,θ?)。解（1）先算一階矩E(X)=∫?^∞xθ(1+x)^{?(θ+1)}dx令u=1+x，得θ∫?^∞(u?1)u^{?(θ+1)}du=θ[∫?^∞u^{?θ}du?∫?^∞u^{?θ?1}du]=θ[1/(θ?1)?1/θ]=1/(θ?1),θ>1。令X?=1/(θ?1)?θ?=1+1/X?。（2）對數(shù)似然?(θ)=nlnθ?(θ+1)∑ln(1+X?)。令導(dǎo)數(shù)為零??/?θ=n/θ?∑ln(1+X?)=0?θ?=n/∑ln(1+X?)。（3）計(jì)算二階導(dǎo)?2?/?θ2=?n/θ2，I(θ)=?E[?2?/?θ2]=n/θ2。（4）矩估計(jì)漸近方差用Delta法：令g(μ)=1+1/μ，μ=E(X)=1/(θ?1)，g'(μ)=?1/μ2，Var(θ?)≈[g'(μ)]2Var(X?)=Var(X)/(nμ?)。先算E(X2)=∫?^∞x2θ(1+x)^{?θ?1}dx=θ∫?^∞(u?1)2u^{?θ?1}du=θ[∫?^∞u^{?θ+1}du?2∫?^∞u^{?θ}du+∫?^∞u^{?θ?1}du]=θ[1/(θ?2)?2/(θ?1)+1/θ],θ>2。Var(X)=E(X2)?[E(X)]2=θ[1/(θ?2)?2/(θ?1)+1/θ]?1/(θ?1)2經(jīng)化簡得Var(X)=θ/[(θ?1)2(θ?2)]。于是Var(θ?)≈[1/μ?]·θ/[(θ?1)2(θ?2)]·1/n=θ(θ?1)2/[n(θ?2)]。MLE的漸近方差為I(θ)^{-1}=θ2/n。ARE=lim_nVar(θ?)/Var(θ?)=[θ2/n]/[θ(θ?1)2/(n(θ?2))]=θ(θ?2)/(θ?1)2。當(dāng)θ→∞，ARE→1；θ→2?，ARE→0。8．（12分）某電商平臺想評估新版推薦算法對GMV的提升效果。隨機(jī)抽取100個時段，每時段30min，分別記錄舊算法GMV(X)與新算法GMV(Y)，得d?=x???=?0.42萬元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差S_d=1.35萬元。假定差值D_i=X_i?Y_i獨(dú)立同分布于N(μ_D,σ2)。（1）檢驗(yàn)H?:μ_D=0vsH?:μ_D<0，α=0.05，即判斷新算法是否顯著提升GMV；（2）