2025年秋季學(xué)期學(xué)校期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測試高二數(shù)學(xué)（試卷滿分：150分，考試時間：120分鐘）注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知數(shù)列為等差數(shù)列，首項，公差，則的值為（）A.4 B.5 C.6 D.72.橢圓的短軸長為（）A.6 B.10 C.12 D.203已知，則（）A.3 B.2 C. D.4.雙曲線的頂點坐標是（）A.， B.，C， D.，5.已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，前n項和，則n=（）A.4 B.5 C.6 D.76.已知直線和圓，則直線和圓的位置關(guān)系為（）A相交 B.相切 C.相離 D.不能確定7.在平面中，，，則平面的一個法向量（）A. B. C. D.8.已知圓C：，直線l：，則直線l被圓C截得的弦長的最小值為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.在長方體中，M為AC與BD的交點，若，，，則下列式子正確的有（）A. B.C. D.10.已知橢圓C：的兩個焦點為，，P為C上不與，共線的點，則下列說法正確的是（）A.橢圓的焦距為1 B.橢圓的離心率為C.的周長為8 D.的最大值為911.已知數(shù)列滿足，其前n項和為，則下列說法正確的是（）A.數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列 B.中的最大項只有C. D.三、填空題：（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知拋物線經(jīng)過點，則拋物線的標準方程為_______.13.已知數(shù)列前n項和，則數(shù)列的通項公式為______.14.已知點，若的夾角為銳角，則的取值范圍為___________．四、解答題：（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知直線：，：，其中m為實數(shù).（1）當，求實數(shù)m的值.（2）當時，求過直線，的交點，且垂直于直線的直線方程.16.已知等差數(shù)列的公差，若，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式及前n項和；（2）令，求數(shù)列的前n項和.17.如圖，直三棱柱中，，，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18.如圖，這是某圓弧形山體隧道的示意圖，其中底面的長為16米，最大高度的長為4米，以C為坐標原點，所在的直線為x軸建立平面直角坐標系.（1）求該圓弧所在圓的方程.（2）若某種汽車的寬約為2.5米，高約為1.5米，車輛行駛時兩車的間距要求不小于0.5米以保證安全，同時車頂不能與隧道有剮蹭，則該隧道最多可以并排通過多少輛該種汽車？（將汽車看作長方體）參考數(shù)據(jù)：19.已知點是橢圓C：上的一點，且橢圓的長軸長是短軸長的倍.（1）求橢圓C的方程；（2）點P在橢圓C上，點A關(guān)于坐標原點的對稱點為點B，直線和的斜率都存在且不為0，試問直線和的斜率之積是否為定值？若是，求此定值；若不是，請說明理由；（3）斜率為直線l交橢圓C于，兩點，求△面積的最大值，并求此時直線l的方程.2025年秋季學(xué)期學(xué)校期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測試高二數(shù)學(xué)（試卷滿分：150分，考試時間：120分鐘）注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知數(shù)列為等差數(shù)列，首項，公差，則的值為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列通項公式計算即可；【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，首項，公差，所以.故選：D.2.橢圓的短軸長為（）A.6 B.10 C.12 D.20【答案】C【解析】【分析】利用橢圓方程直接求解即可.【詳解】由橢圓方程可知，∴，則短軸長為.故選：C.3.已知，則（）A.3 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由空間向量模長的坐標公式直接計算即可.【詳解】.故選：D.4.雙曲線的頂點坐標是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】利用雙曲線方程直接求解即可.【詳解】由雙曲線方程可知頂點在y軸上，且，∴則頂點坐標為，.故選：D.5.已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，前n項和，則n=（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式直接計算即可.【詳解】因為數(shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，前n項和，所以，整理得，∴.故選：C.6.已知直線和圓，則直線和圓的位置關(guān)系為（）A.相交 B.相切 C.相離 D.不能確定【答案】A【解析】【分析】利用圓心到直線的距離與半徑比較大小，即可判斷.【詳解】圓的圓心，半徑，則圓心到直線的距離為，所以直線和圓的位置關(guān)系為相交，故選：A7.在平面中，，，則平面的一個法向量（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)平面的一個法向量為，由列式求解即可.【詳解】設(shè)平面的一個法向量為，則，∴，∴，令，得.故選：B8.已知圓C：，直線l：，則直線l被圓C截得的弦長的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求直線所過定點，確定定點在圓內(nèi)，則有時，直線l被圓C截得的弦長最小，依此求解即可.【詳解】直線，令，即，所以直線恒過定點，圓的圓心為，半徑為，且，即點P在圓內(nèi)，當時，圓心C到直線l的距離最大為，此時，直線l被圓C截得的弦長最小，最小值為.故選：A.二、多項選擇題：（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.在長方體中，M為AC與BD的交點，若，，，則下列式子正確的有（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)空間向量線性運算性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：，所以本選項正確；B：，所以本選項不正確；C：，所以本選項不正確；D：，所以本選項正確.故選：AD10.已知橢圓C：的兩個焦點為，，P為C上不與，共線的點，則下列說法正確的是（）A.橢圓的焦距為1 B.橢圓的離心率為C.的周長為8 D.的最大值為9【答案】BCD【解析】【分析】由橢圓方程得到橢圓的的值，即可求得AB選項，C選項中的周長應(yīng)為，結(jié)合橢圓的定義即可求解，D選項使用基本不等式求解即可.【詳解】由橢圓方程可知，，∴，則，，，對于A，焦距，故A錯誤；對于B，離心率，故B正確；對于C，，，則的周長為，故C正確；對于D，，當且僅當時，等號成立，故D正確.故選：BCD.11.已知數(shù)列滿足，其前n項和為，則下列說法正確的是（）A.數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列 B.中的最大項只有C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的通項公式知數(shù)列為等差數(shù)列，進而分析數(shù)列的性質(zhì)依次判斷各項的正誤.【詳解】由題可知，數(shù)列為等差數(shù)列，首項，公差，A，公差，則數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，A正確；B，當時，當時，則中最大項為或，B錯誤；C，，，C正確；D，當時，當時，，D正確.故選：ACD三、填空題：（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知拋物線經(jīng)過點，則拋物線標準方程為_______.【答案】【解析】【分析】將點坐標代入拋物線方程，求得，得解.【詳解】把點代入拋物線方程得，∴，則拋物線的標準方程為.故答案為：.13.已知數(shù)列前n項和，則數(shù)列的通項公式為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)的關(guān)系進行求解即可.【詳解】當時，，當時，，經(jīng)檢驗，符合上式，∴.故答案為：14.已知點，若的夾角為銳角，則的取值范圍為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)的夾角為銳角，可得，且不能同向共線解出即可得出．【詳解】，，的夾角為銳角，，且不能同向共線．解得，．則的取值范圍為．故答案為:．四、解答題：（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知直線：，：，其中m實數(shù).（1）當，求實數(shù)m的值.（2）當時，求過直線，的交點，且垂直于直線的直線方程.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，列出關(guān)于的方程，即可求得答案；（2）解方程組求出直線，的交點，再根據(jù)直線的垂直關(guān)系，利用直線的點斜式，即可求得答案.【小問1詳解】∵，，解得;【小問2詳解】當時，直線的方程為：，∴，解得，∴兩條直線的交點，又因為所求直線垂直于，設(shè)所求直線的方程為，將代入可得，解得，∴直線方程.16.已知等差數(shù)列的公差，若，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式及前n項和；（2）令，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由題列出的方程組，求出，進而求得和；（2）由（1）得，利用裂項相消法求和.【小問1詳解】依題意，有，即，又，解得，∴，∴.【小問2詳解】由（1），，∴.17.如圖，在直三棱柱中，，，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）由線面垂直定理證明平面即可；（2）建立空間直角坐標系，求出的法向量，再根據(jù)數(shù)量積公式求解即可.【小問1詳解】證明：因為，所以,因為平面，平面，所以，因為，且平面平面【小問2詳解】如圖所示建立空間直角坐標系，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，∴，即，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，∴，∴直線與平面所成角的正弦值為.18.如圖，這是某圓弧形山體隧道的示意圖，其中底面的長為16米，最大高度的長為4米，以C為坐標原點，所在的直線為x軸建立平面直角坐標系.（1）求該圓弧所在圓的方程.（2）若某種汽車的寬約為2.5米，高約為1.5米，車輛行駛時兩車的間距要求不小于0.5米以保證安全，同時車頂不能與隧道有剮蹭，則該隧道最多可以并排通過多少輛該種汽車？（將汽車看作長方體）參考數(shù)據(jù)：【答案】（1）（2）4輛【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)確定圓心的位置，結(jié)合垂徑定理與勾股定理求圓心與半徑，即可求得圓弧所在圓的方程；（2）確定汽車通過的最大寬度，再分析可得最多可以并排通過該種汽車數(shù)量.【小問1詳解】由圓的對稱性可知，該圓弧所在的圓的圓心在y軸上，設(shè)圓心為，設(shè)該圓半徑為r米，又，則，∴，∴，∴圓弧所在的圓的方程為.【小問2詳解】設(shè)與該種汽車等高且能通過該隧道的最大寬度為d米，∴，∴若并排通過5輛該種汽車，則安全通行的寬度應(yīng)為，故該隧道不能并排通過5輛該種汽車，若并排通過4輛該種汽車，則安全通行的寬度應(yīng)為，則該隧道可以并排通過4輛該種汽車，綜上所述，該隧道最多可以并排通過4輛該種汽車.19.已知點是橢圓C：上的一點，且橢圓的長軸長是短軸長的倍.（1）求橢圓C的方程；（2）點P在橢圓C上，點A關(guān)于坐標原點的對稱點為點B，直線和的斜率都存在且不為0，試問直線和的斜率之積是否為定值？若是，求此定值；若不是，請說明理由；（3）斜率為的直線l交橢圓C于，兩點，求△面積的最大值，并求此時直線l的方程.【答案】（1）（2）是定值（3）最大值為，【解析】【分析】（1）根據(jù)和過點可求結(jié)果；（2）設(shè)，所以，，從