湖南省洞口縣九中2026屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列雙曲線中，以為一個(gè)焦點(diǎn)，以為一個(gè)頂點(diǎn)的雙曲線方程是（）A. B.C. D.2．方程所表示的曲線為（）A.射線 B.直線C.射線或直線 D.無(wú)法確定3．已知是邊長(zhǎng)為6的等邊所在平面外一點(diǎn)，，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為（）A. B.C. D.4．有下列四個(gè)命題，其中真命題是（）A.， B.，，C.，， D.，5．已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為，一條漸近線被圓截得的弦長(zhǎng)為2b，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.6．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．橢圓中以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線斜率為（）A. B.C. D.8．設(shè)橢圓：的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，為橢圓在第二象限內(nèi)的點(diǎn)，直線交橢圓于點(diǎn)，為原點(diǎn)，若直線平分線段，則橢圓的離心率為A. B.C. D.9．函數(shù)，若實(shí)數(shù)是函數(shù)的零點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.無(wú)法確定10．某公司門前有一排9個(gè)車位的停車場(chǎng)，從左往右數(shù)第三個(gè)，第七個(gè)車位分別停著A車和B車，同時(shí)進(jìn)來(lái)C，D兩車．在C，D不相鄰的情況下，C和D至少有一輛與A和B車相鄰的概率是（）A. B.C. D.11．在等差數(shù)列中，已知，，則使數(shù)列的前n項(xiàng)和成立時(shí)n的最小值為（）A.6 B.7C.9 D.1012．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B.1C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，則甲、乙兩人下成和棋的概率為_(kāi)__________.14．已知曲線的焦距是10，曲線上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離是2，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為_(kāi)_________.15．已知橢圓，為其右焦點(diǎn)，過(guò)垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)為，則橢圓的方程為_(kāi)_______.16．__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線C的焦點(diǎn)為，N為拋物線上一點(diǎn)，且（1）求拋物線C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，，求直線l的方程18．（12分）已知等差數(shù)列公差不為0，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．（12分）阿基米德（公元前年—公元前年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸與短半軸的乘積.已知平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn)，求面積的最大值.20．（12分）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求n的最小值21．（12分）已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率e為，點(diǎn)在橢圓上（1）求橢圓C的方程；（2）若A、B為橢圓的左右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)(1，0)的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，設(shè)直線AM、BN的斜率分別為，求證為定值22．（10分）已知數(shù)列中，，且（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出；（2）數(shù)列前項(xiàng)和為，求

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)出雙曲線方程，根據(jù)題意，求得，即可選擇.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，故可設(shè)雙曲線方程為，且；又為一個(gè)頂點(diǎn)，故可得，解得，則雙曲線方程為：.故選：.2、C【解析】將方程化為或，由此可得所求曲線.【詳解】由得：或，即或，方程所表示的曲線為射線或直線.故選：C.3、C【解析】由題意分析可得，當(dāng)時(shí)三棱錐的體積最大，然后作圖，將三棱錐還原成正三棱柱，按照正三棱柱外接球半徑的計(jì)算方法來(lái)計(jì)算，即可計(jì)算出球半徑，從而完成求解.【詳解】由題意可知，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)是時(shí)，為正三角形，如圖所示，將三棱錐補(bǔ)成正三棱柱，該正三棱柱的外接球就是三棱錐的外接球，而正三棱柱的外接球球心落在上下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)上，設(shè)外接圓半徑為，三棱錐外接球半徑為，由正弦定理可得：，所以，，所以三棱錐外接球的表面積為.故選：C.4、B【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，令即可驗(yàn)證其不正確；對(duì)于選項(xiàng)C、選項(xiàng)D，令，即可驗(yàn)證其均不正確，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，令，則，故A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)B，令，則，顯然成立，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，令，則顯然無(wú)解，故C錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)D，令，則顯然不成立，故D錯(cuò).故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查命題真假的判定，用特殊值法驗(yàn)證即可，屬于?？碱}型.5、A【解析】求出圓心到漸近線的距離，根據(jù)弦長(zhǎng)建立關(guān)系即可求解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，則點(diǎn)到漸近線的距離為，因?yàn)橄议L(zhǎng)為，圓半徑為，所以，即，因?yàn)?，所以，則雙曲線的離心率為.故選：A.6、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在有解，進(jìn)而求函數(shù)的最值，即可求出的范圍.【詳解】∵，∴，若在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則有解，故，令，則在單調(diào)遞增，，故.故選：D.7、A【解析】先設(shè)出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入橢圓方程，兩式相減后整理即可求得弦所在的直線的斜率【詳解】設(shè)弦的兩端點(diǎn)為，，代入橢圓得兩式相減得，即，即，即，即，弦所在的直線的斜率為，故選:A8、B【解析】如上圖，設(shè)AC中點(diǎn)為M,連OM，則OM為的中位線，易得∽，且,即可得，選B.點(diǎn)睛：本題主要考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要是離心率的求法，本題的關(guān)鍵是利用中位線定理和相似三角形定理9、A【解析】利用函數(shù)在遞減求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在遞減，又實(shí)數(shù)是函數(shù)的零點(diǎn)，即，又因?yàn)?，所以，故選：A10、B【解析】先求出基本事件總數(shù)，和至少有一輛與和車相鄰的對(duì)立事件是和都不與和車相鄰，由此能求出和至少有一輛與和車相鄰的概率【詳解】解：某公司門前有一排9個(gè)車位的停車場(chǎng)，從左往右數(shù)第三個(gè)，第七個(gè)車位分別停著車和車，同時(shí)進(jìn)來(lái)，兩車，在，不相鄰的條件下，基本事件總數(shù)，和至少有一輛與和車相鄰的對(duì)立事件是和都不與和車相鄰，和至少有一輛與和車相鄰的概率：故選：B11、D【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及等差中項(xiàng)結(jié)合前項(xiàng)和公式求得，,從而得出結(jié)論.【詳解】，，，，，，,使數(shù)列的前n項(xiàng)和成立時(shí)n的最小值為10，故選：D.12、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知，得，，，，，所以在上的投影為，所以點(diǎn)到直線的距離為故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】直接根據(jù)概率和為1計(jì)算得到答案.【詳解】.故答案為：.14、或10.【解析】對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論，考慮曲線是橢圓和雙曲線的情況，進(jìn)而結(jié)合橢圓與雙曲線的定義和性質(zhì)求得答案.【詳解】由題意，曲線的半焦距為5，若曲線是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則a>16，所以，而橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)距離是2，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為；若曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則0<a<16，所以，舍去；若曲線是雙曲線，則a<0，容易判斷雙曲線的焦點(diǎn)在y軸，所以，不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的上半支，上下焦點(diǎn)分別為，因?yàn)閷?shí)半軸長(zhǎng)為4，容易判斷點(diǎn)P到下焦點(diǎn)的距離的最小值為4+5=9>2，不合題意，所以點(diǎn)P到上焦點(diǎn)的距離為2，則它到下焦點(diǎn)的距離.故答案為：或10.15、##【解析】將代入橢圓的方程，可得出，可得出關(guān)于的等式，求出的值，進(jìn)而可求得的值，由此可得出橢圓的方程.【詳解】將代入橢圓的方程可得，可得，由已知可得，整理可得，，解得，所以，，因此，橢圓的方程為.故答案為：.16、【解析】先由題得到，再整體代入化簡(jiǎn)即得解.【詳解】因?yàn)?，所以，則故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查差角的正切公式，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）拋物線的方程為，利用拋物線的定義求出點(diǎn)N，代入拋物線方程即可求解.（2）設(shè)直線的方程為，將直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及焦半徑公式可得或，即求.【小問(wèn)1詳解】拋物線的方程為，設(shè)，依題意，由拋物線定義，即.所以，又由，得，解得(舍去)，所以拋物線的方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，設(shè)直線的方程為，，，由，得.因?yàn)?，故所?由題設(shè)知，解得或，因此直線方程為或.18、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)分式的合分比性質(zhì)以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出；（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可求出【小問(wèn)1詳解】由題意：，即，又∵，∴，∴，∴，.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?19、(1)；(2).【解析】（1）根據(jù)題意計(jì)算得到，得到橢圓方程.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到，，表示出，解得答案.【詳解】(1)依題意有解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.(2)由題意直線的斜率不能為，設(shè)直線的方程為，由方程組得，設(shè)，，所以，，所以，所以，令（），則，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)，即時(shí)，面積取得最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程，橢圓內(nèi)三角形面積的最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.20、（1）（2）12【解析】（1）設(shè)的公差為d，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求解；（2）利用等差數(shù)的求和公式，得到，結(jié)合的單調(diào)性，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)的公差為d，因?yàn)椋傻?，解得，所以，即?shù)列的通項(xiàng)公式為【小問(wèn)2詳解】解：由，可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)且，可得單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故n的最小值為1221、（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】(1)根據(jù)題意列出關(guān)于a、b