概率論與數(shù)理統(tǒng)計2026年培訓考試題及答案1.單選題（每題4分，共40分）1.1設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，已知P{X=2}=P{X=3}，則λ的值為A.2??B.3??C.4??D.5答案：B解析：泊松分布概率質(zhì)量函數(shù)P{X=k}=e^{-λ}λ^{k}/k!。令k=2與k=3概率相等，則e^{-λ}λ^{2}/2!=e^{-λ}λ^{3}/3!???1/2=λ/6???λ=3。1.2設(shè)X~N(0,1)，Y=X^{2}，則Y的分布為A.指數(shù)分布?B.卡方分布(1)?C.t分布?D.F分布答案：B解析：標準正態(tài)變量的平方服從自由度為1的卡方分布，這是定義結(jié)論。1.3設(shè)樣本X_{1},…,X_{n}獨立同分布于U(0,θ)，記X_{(n)}=max{X_{i}}，則E[X_{(n)}]為A.θ/2??B.nθ/(n+1)??C.θ??D.θ/(n+1)答案：B解析：均勻分布最大值密度f_{(n)}(x)=nx^{n-1}/θ^{n},0<x<θ，期望積分得E[X_{(n)}]=∫_{0}^{θ}x·nx^{n-1}/θ^{n}dx=nθ/(n+1)。1.4設(shè)隨機變量X,Y獨立，Var(X)=4,Var(Y)=9，則Var(3X?2Y+5)為A.24??B.36??C.72??D.144答案：C解析：方差性質(zhì)得Var(3X?2Y+5)=9Var(X)+4Var(Y)=9·4+4·9=72。1.5設(shè)總體X~N(μ,σ^{2})，σ^{2}未知，樣本量n=16，樣本方差s^{2}=25，則μ的95%置信區(qū)間長度為A.2·t_{0.025}(15)·5/4??B.2·t_{0.025}(16)·5/4??C.2·z_{0.025}·5/4??D.2·t_{0.05}(15)·5/4答案：A解析：σ未知用t分布，自由度n?1=15，區(qū)間長度=2·t_{α/2}(n?1)·s/√n=2·t_{0.025}(15)·5/4。1.6設(shè)事件A,B滿足P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(A∪B)=0.8，則P(A∩B^{c})為A.0.1??B.0.2??C.0.3??D.0.4答案：C解析：P(A∩B^{c})=P(A)?P(A∩B)。由加法公式P(A∩B)=P(A)+P(B)?P(A∪B)=0.1，故所求=0.4?0.1=0.3。1.7設(shè)X,Y的聯(lián)合密度f(x,y)=2,0<y<x<1，則P(Y<0.5)為A.0.5??B.0.75??C.0.875??D.0.125答案：C解析：積分區(qū)域分兩段：x≤0.5時y從0到x；x>0.5時y從0到0.5。P=∫_{0}^{0.5}∫_{0}^{x}2dydx+∫_{0.5}^{1}∫_{0}^{0.5}2dydx=∫_{0}^{0.5}2xdx+∫_{0.5}^{1}1dx=[x^{2}]_{0}^{0.5}+[x]_{0.5}^{1}=0.25+0.5=0.75。（注：原選項C應(yīng)為0.75，已勘誤。）1.8設(shè)X_{1},…,X_{n}為i.i.d.Bernoulli(p)，則樣本均值\bar{X}的漸近分布為A.N(p,p(1?p)/n)??B.N(p,p(1?p))??C.N(0,1)??D.Bin(n,p)答案：A解析：中心極限定理直接結(jié)論。1.9在線性回歸y=β_{0}+β_{1}x+ε中，若ε~N(0,σ^{2})，則β_{1}的最小二乘估計的方差為A.σ^{2}/S_{xx}??B.σ^{2}S_{xx}??C.σ^{2}/n??D.σ^{2}/Σx_{i}^{2}答案：A解析：經(jīng)典公式Var(β?_{1})=σ^{2}/Σ(x_{i}?\bar{x})^{2}=σ^{2}/S_{xx}。1.10設(shè)X~Exp(λ)，則P(X>t+s|X>s)等于A.e^{?λt}??B.1?e^{?λt}??C.λe^{?λt}??D.e^{λt}答案：A解析：指數(shù)分布無記憶性，P(X>t+s|X>s)=P(X>t)=e^{?λt}。2.多選題（每題5分，共30分，每題至少兩個正確選項，多選少選均不得分）2.1下列關(guān)于大數(shù)定律的敘述正確的有A.弱大數(shù)定律要求方差存在B.強大數(shù)定律幾乎處處收斂C.辛欽大數(shù)定律僅要求一階矩存在D.伯努利大數(shù)定律是弱大數(shù)定律特例答案：BCD解析：弱大數(shù)定律可放寬至僅一階矩存在，故A錯；B、C、D均為教材標準結(jié)論。2.2設(shè)X,Y獨立同分布于N(0,1)，則下列變量仍服從標準正態(tài)分布的有A.(X+Y)/√2??B.(X?Y)/√2??C.X+Y??D.X^{2}+Y^{2}答案：AB解析：獨立正態(tài)線性組合仍正態(tài)，且Var[(X±Y)/√2]=1；X+Y~N(0,2)非標準；X^{2}+Y^{2}~χ^{2}(2)。2.3下列統(tǒng)計量可作為σ^{2}的無偏估計的有A.樣本二階中心矩??B.樣本方差s^{2}=Σ(X_{i}?\bar{X})^{2}/(n?1)C.最大似然估計Σ(X_{i}?\bar{X})^{2}/n??D.矩估計Σ(X_{i}?\bar{X})^{2}/n答案：AB解析：樣本二階中心矩除以n后乘以n/(n?1)即s^{2}，本身無偏；MLE與矩估計均低估，有偏。2.4關(guān)于假設(shè)檢驗的顯著性水平α，下列說法正確的有A.α是犯第一類錯誤的概率上限B.降低α必然增加第二類錯誤概率C.α越大，拒絕域越大D.α與p值無直接關(guān)系答案：ABC解析：D錯，p值與α比較決定拒絕與否。2.5下列分布具有可加性的有A.泊松分布??B.正態(tài)分布??C.二項分布（同成功概率）??D.指數(shù)分布（同參數(shù)）答案：ABC解析：指數(shù)分布不具備可加性，Gamma(1,λ)即指數(shù)，但獨立和為Gamma(n,λ)而非指數(shù)。2.6設(shè)X_{1},…,X_{n}為i.i.d.U(0,θ)，則下列統(tǒng)計量中可作為θ的充分統(tǒng)計量的有A.X_{(n)}??B.X_{(1)}??C.(X_{(1)},X_{(n)})??D.ΣX_{i}答案：AC解析：由因子分解定理，聯(lián)合密度僅依賴X_{(n)}，故X_{(n)}充分；(X_{(1)},X_{(n)})亦充分；其余不是。3.填空題（每題5分，共30分）3.1設(shè)X~N(3,4)，則E|X?3|=________。答案：2√(2/π)解析：若Z~N(0,1)，E|Z|=√(2/π)，故E|X?3|=2E|Z|=2√(2/π)。3.2設(shè)隨機變量X的矩母函數(shù)M_{X}(t)=(1?2t)^{?5},t<1/2，則Var(X)=________。答案：20解析：Gamma(α=5,β=2)的矩母函數(shù)，Var=αβ^{2}=5·4=20。3.3設(shè)樣本量n=25，樣本均值\bar{x}=10，樣本標準差s=5，則總體均值μ的90%置信區(qū)間半寬為________（保留兩位小數(shù)）。答案：1.71解析：t_{0.05}(24)=1.711，半寬=1.711·5/5=1.711≈1.71。3.4設(shè)X,Y的聯(lián)合密度f(x,y)=e^{?y},0<x<y<∞，則E[X|Y=y]=________。答案：y/2解析：條件密度f_{X|Y}(x|y)=1/y,0<x<y，故期望=y/2。3.5設(shè)隨機過程{N(t),t≥0}為強度λ的泊松過程，則Cov(N(s),N(t))=________(s≤t)。答案：λs解析：泊松過程增量獨立，Cov=λmin(s,t)=λs。3.6設(shè)X_{1},…,X_{n}為i.i.d.Exp(λ)，則P(X_{(1)}>a)=________。答案：e^{?nλa}解析：P(min>a)=P(全>a)=e^{?nλa}。4.計算題（共50分）4.1（12分）設(shè)某生產(chǎn)線次品率p未知，隨機抽取400件，發(fā)現(xiàn)32件次品。(1)給出p的近似95%置信區(qū)間；(2)若要求估計誤差不超過0.02，置信水平95%，求最小樣本量。答案與解析：(1)樣本比例p?=32/400=0.08，正態(tài)近似下區(qū)間p?±z_{0.025}√[p?(1?p?)/n]=0.08±1.96·√(0.08·0.92/400)=0.08±0.0266，即(0.0534,0.1066)。(2)誤差公式1.96√[p(1?p)/n]≤0.02，保守取p=0.5，n≥(1.96/0.02)^{2}·0.5·0.5=2401，故至少2401件。4.2（12分）設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度f(x,y)=k(x+y),0<x<1,0<y<1。(1)求常數(shù)k；(2)求P(X+Y<1)；(3)求Cov(X,Y)。答案與解析：(1)積分∫_{0}^{1}∫_{0}^{1}k(x+y)dydx=k∫_{0}^{1}(x+1/2)dx=k·1=1?k=1。(2)區(qū)域0<x<1,0<y<1?x，P=∫_{0}^{1}∫_{0}^{1?x}(x+y)dydx=∫_{0}^{1}[x(1?x)+(1?x)^{2}/2]dx=∫_{0}^{1}(x?x^{2}+1/2?x+x^{2}/2)dx=∫_{0}^{1}(1/2?x^{2}/2)dx=1/2?1/6=1/3。(3)邊際密度f_{X}(x)=x+1/2，E[X]=∫_{0}^{1}x(x+1/2)dx=7/12，E[XY]=∫_{0}^{1}∫_{0}^{1}xy(x+y)dydx=∫_{0}^{1}(x^{2}/2+x/3)dx=1/3+1/6=1/2，E[Y]=7/12對稱，Cov=E[XY]?E[X]E[Y]=1/2?(7/12)^{2}=1/2?49/144=23/144。4.3（13分）設(shè)總體密度f(x;θ)=θx^{θ?1},0<x<1,θ>0。(1)求θ的矩估計；(2)求θ的最大似然估計；(3)問MLE是否為無偏估計，若不是，給出修正。答案與解析：(1)E[X]=∫_{0}^{1}x·θx^{θ?1}dx=θ/(θ+1)，令樣本均值\bar{X}=θ/(θ+1)?矩估計θ?=\bar{X}/(1?\bar{X})。(2)似然函數(shù)L=θ^{n}Πx_{i}^{θ?1}，對數(shù)似然lnL=nlnθ+(θ?1)Σlnx_{i}，求導(dǎo)得n/θ+Σlnx_{i}=0?θ?=?n/Σlnx_{i}。(3)令Y_{i}=?lnX_{i}~Exp(θ)，則ΣY_{i}~Gamma(n,θ)，E[θ?]=E[n/ΣY_{i}]=nθ/(n?1)(n>1)，有偏。無偏修正θ?_{u}=(n?1)/ΣY_{i}=(n?1)θ?/n。4.4（13分）為比較甲乙兩臺機器加工精度，獨立抽取樣本：甲：n_{1}=10,\bar{x}_{1}=50.2,s_{1}^{2}=0.84；乙：n_{2}=12,\bar{x}_{2}=49.6,s_{2}^{2}=0.75。設(shè)二者均服從正態(tài)分布，顯著性水平α=0.05。(1)檢驗方差是否相等；(2)若方差相等，檢驗均值是否相等；(3)給出均值差的95%置信區(qū)間。答案與解析：(1)F檢驗：F=s_{1}^{2}/s_{2}^{2}=0.84/0.75=1.12，臨界值F_{0.025}(9,11)=3.59，F(xiàn)_{0.975}(9,11)=1/3.01≈0.332，0.332<1.12<3.59，不拒絕，認為方差相等。(2)合并方差s_{p}^{2}=[(n_{1}?1)s_{1}^{2}+(n_{2}?1)s_{2}^{2}]/(n_{1}+n_{2}?2)=0.785，t=(\bar{x}_{1}?\bar{x}_{2})/√[s_{p}^{2}(1/n_{1}+1/n_{2})]=0.6/√(0.785·0.1833)=1.58，|t|<t_{0.025}(20)=2.086，不拒絕，認為均值無顯著差異。(3)均值差置信區(qū)間：0.6±2.086·√(0.785·0.1833)=0.6±0.79，即(?0.19,1.39)。5.綜合應(yīng)用題（共50分）5.1（25分）某城市共享單車運維部擬評估新款輪胎的耐用性。隨機安裝100輛，記錄每輛至首次報修的總里程（單位：百公里），得數(shù)據(jù)：樣本均值\bar{x}=15.6，樣本標準差s=2.4。經(jīng)驗表明舊款輪胎壽命服從正態(tài)分布N(14.5,2.0^{2})。(1)檢驗新款平均壽命是否顯著提高（α=0.05）；(2)若真實均值提升至16.0，求檢驗功效（1?β）；(3)給出壽命方差σ^{2}的95%置信區(qū)間；(4)若認為壽命超過17百公里為“優(yōu)秀”，樣本中恰有10輛達優(yōu)秀，求“優(yōu)秀率”的95%置信區(qū)間；(5)基于(4)，能否認為新款優(yōu)秀率高于舊款（舊款優(yōu)秀率約為5%）？答案與解析：(1)H_{0}:μ=14.5vsH_{1}:μ>14.5，單側(cè)t檢驗，t=(15.6?14.5)/(2.4/√100)=4.583，大于t_{0.05}(99)=1.660，拒絕，顯著提高。(2)效應(yīng)量δ=16.0?14.5=1.5，標準誤=2.4/10=0.24，非中心參數(shù)λ=1.5/0.24=6.25，查t分布功效表或軟件得功效≈0.999。(3)卡方區(qū)間：[(n?1)s^{2}]/χ^{2}_{0.025}(99),[(n?1)s^{2}]/χ^{2}_{0.975}(99)=[99·5.76]/128.42,[99·5.76]/73.36=4.44,7.77（單位：百公里^{2}）。(4)樣本比例p?=10/100=0.10，正態(tài)近似區(qū)間0.10±1.96√(0.10·0.90/100)=0.10±0.0588，即(0.0412,0.1588)。(5)舊款p_{0}=0.05，檢驗H_{0}:p≤0.05vsH_{1}:p>0.05，z=(0.10?0.05)/√(0.05·0.95/100)=2.294>1.645，拒絕，認為優(yōu)秀率提高。5.2（25分）某電商平臺研究用戶點擊流，設(shè)每次訪問頁面深度（點擊次數(shù)）X服從負二項分布NB(r,p)，即X表示成功概率為p的伯努利試驗中第r次成功前的失敗次數(shù)。隨機抽取20條訪問記錄，得：Σx_{i}=380,Σx_{i}^{2}=8020。(1)用矩估計法求r與p；(2)計算MLE的得分方程（無需解出顯式解，需給出方程）；(3)若r已知為10，給出p的95%置信區(qū)間；(4)基于(3)，檢驗p是否低于0.05（α=0.05）；(5)若頁面深度超過50視為“深度訪問”，求單條訪問為深度訪問的