《應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)》練習(xí)試題和答案解析一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.某電商平臺(tái)想研究“618”大促期間用戶下單金額是否受優(yōu)惠券面額影響，隨機(jī)抽取1000名用戶，記錄其使用優(yōu)惠券面額與最終實(shí)付金額。下列哪種圖形最適合初步觀察兩變量間線性關(guān)系強(qiáng)弱？A.直方圖?B.箱線圖?C.散點(diǎn)圖?D.雷達(dá)圖答案：C解析：散點(diǎn)圖用橫縱坐標(biāo)分別表示兩個(gè)連續(xù)變量，點(diǎn)的分布趨勢(shì)可直觀反映線性相關(guān)強(qiáng)弱；直方圖、箱線圖用于單變量分布，雷達(dá)圖適合多指標(biāo)對(duì)比，均不滿足需求。2.在簡(jiǎn)單線性回歸y=β?+β?x+ε中，若ε服從N(0,σ2)，則β?的OLS估計(jì)量β??的抽樣分布為：A.t(n-2)?B.N(β?,σ2/Σ(xi-x?)2)?C.χ2(n-1)?D.F(1,n-2)答案：B解析：高斯-馬爾可夫定理下，β??是β?的無偏估計(jì)，且Var(β??)=σ2/Sxx，其中Sxx=Σ(xi-x?)2；又因ε正態(tài)，故β??~N(β?,σ2/Sxx)。3.對(duì)同一組數(shù)據(jù)分別建立95%置信區(qū)間與99%置信區(qū)間，則：A.兩者寬度相同?B.95%更寬?C.99%更寬?D.無法比較答案：C解析：置信水平越高，臨界值z(mì)α/2或tα/2越大，區(qū)間半寬越大，因此99%區(qū)間更寬。4.某質(zhì)檢部門每天抽檢10件產(chǎn)品，記錄不合格數(shù)，連抽30天，欲建立控制圖監(jiān)控過程質(zhì)量，應(yīng)選：A.x?-R圖?B.p圖?C.c圖?D.u圖答案：B解析：每件產(chǎn)品只有“合格/不合格”兩種結(jié)果，屬二項(xiàng)分布，樣本量固定為10，故選p圖監(jiān)控不合格率；c圖、u圖用于計(jì)點(diǎn)數(shù)據(jù)，x?-R圖用于連續(xù)變量。5.在單因素方差分析中，若F統(tǒng)計(jì)量=4.5，分子自由度=3，分母自由度=20，查表得F?.??(3,20)=3.10，則：A.拒絕原假設(shè)，說明所有總體均值全相等?B.拒絕原假設(shè)，說明至少一對(duì)均值不等?C.不拒絕原假設(shè)?D.需再作多重比較才能下結(jié)論答案：B解析：F=4.5>3.10，p<0.05，拒絕H?；拒絕僅表明“不全相等”，并非“全不相等”，也無需先做多重比較即可得出“至少一對(duì)不等”的結(jié)論。6.對(duì)某城市1200名成年人進(jìn)行血型調(diào)查，得到A:B:AB:O=270:240:90:600，欲檢驗(yàn)該分布是否符合“民族學(xué)理論比例”2:2:1:5，應(yīng)采用的檢驗(yàn)為：A.單樣本t檢驗(yàn)?B.配對(duì)t檢驗(yàn)?C.卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)?D.獨(dú)立樣本非參數(shù)檢驗(yàn)答案：C解析：比較觀測(cè)頻數(shù)與理論頻數(shù)差異，屬多項(xiàng)分布擬合問題，用χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)；t檢驗(yàn)用于均值，非參數(shù)檢驗(yàn)不針對(duì)比例。7.若隨機(jī)變量X~Poisson(λ)，則Var(X)與E(X)的比值為：A.λ2?B.1?C.1/λ?D.λ答案：B解析：泊松分布的期望與方差均為λ，故比值為1。8.在多元回歸中，若某自變量xk的VIF=8.5，則通常認(rèn)為：A.不存在多重共線性?B.存在輕度多重共線性?C.存在嚴(yán)重多重共線性?D.模型必定錯(cuò)誤答案：C解析：經(jīng)驗(yàn)規(guī)則VIF>10為嚴(yán)重，5~10為中度偏高，8.5已接近10，應(yīng)視為“嚴(yán)重”門檻邊緣，需警惕。9.對(duì)同一總體，若樣本量從n增大到4n，則樣本均值的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤將：A.不變?B.變?yōu)樵瓉?/2?C.變?yōu)樵瓉?/4?D.變?yōu)樵瓉?倍答案：B解析：標(biāo)準(zhǔn)誤=σ/√n，√(4n)=2√n，故新標(biāo)準(zhǔn)誤為σ/(2√n)=原標(biāo)準(zhǔn)誤的一半。10.在時(shí)間序列加法模型Y=T+S+C+I中，若采用移動(dòng)平均法估計(jì)趨勢(shì)T，則季節(jié)指數(shù)計(jì)算步驟中，首先應(yīng)：A.對(duì)原序列做中心化移動(dòng)平均?B.對(duì)原序列做差分?C.用回歸擬合趨勢(shì)?D.直接求各月平均答案：A解析：加法模型下，用中心化12期移動(dòng)平均可消除季節(jié)與不規(guī)則成分，得到趨勢(shì)循環(huán)分量TC，再用Y-TC得SI，繼續(xù)求季節(jié)指數(shù)。二、多項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分，多選少選均不得分）11.下列關(guān)于假設(shè)檢驗(yàn)的陳述，正確的有：A.p值是H?為真時(shí)，出現(xiàn)當(dāng)前樣本及更極端結(jié)果的概率?B.顯著性水平α是犯第一類錯(cuò)誤的最大允許概率?C.當(dāng)p>α?xí)r，可認(rèn)為H?必定為真?D.降低α?xí)瑫r(shí)降低檢驗(yàn)功效?E.雙側(cè)檢驗(yàn)的p值總是單側(cè)的兩倍答案：A、B、D解析：C錯(cuò)誤，p>α僅表示“無充分證據(jù)拒絕”，非“證明為真”；E錯(cuò)誤，僅當(dāng)抽樣分布對(duì)稱且觀測(cè)值位于單側(cè)尾部時(shí)才成立，非普遍。12.關(guān)于χ2分布的性質(zhì)，正確的有：A.取值非負(fù)?B.為對(duì)稱分布?C.隨著自由度增加，逐漸趨近正態(tài)?D.獨(dú)立χ2變量之和仍服從χ2，自由度相加?E.均值等于自由度答案：A、C、D、E解析：χ2為右偏，非對(duì)稱，故B錯(cuò)；其余均正確。13.在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣下，估計(jì)總體比例p時(shí)，所需樣本量n與下列哪些因素有關(guān)：A.允許誤差d?B.置信水平對(duì)應(yīng)的zα/2?C.總體大小N（當(dāng)N有限）?D.預(yù)估比例p?E.總體方差σ2答案：A、B、C、D解析：比例估計(jì)的公式n?=z2p(1-p)/d2，若N有限再修正n=n?/(1+n?/N)，與σ2無關(guān)。14.下列哪些方法可用于檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否來自正態(tài)總體：A.Q-Q圖?B.Shapiro-Wilk檢驗(yàn)?C.Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)?D.Jarque-Bera檢驗(yàn)?E.Levene檢驗(yàn)答案：A、B、C、D解析：Levene檢驗(yàn)用于方差齊性，不針對(duì)正態(tài)性。15.若建立Logistic回歸模型logit(π)=β?+β?x，則：A.π表示事件發(fā)生的概率?B.e^β?表示x增加一個(gè)單位時(shí)的優(yōu)勢(shì)比?C.參數(shù)估計(jì)采用最大似然法?D.殘差服從正態(tài)分布?E.可用Hosmer-Lemeshow檢驗(yàn)擬合優(yōu)度答案：A、B、C、E解析：Logistic回歸殘差非正態(tài)，D錯(cuò)。三、填空題（每空2分，共20分）16.若X~N(μ,25)，抽取n=16的樣本，得x?=18，則μ的95%置信區(qū)間為(____,____)。（保留一位小數(shù)）答案：(15.5,20.5)解析：σ=5，σx?=5/√16=1.25，z?.???=1.96，區(qū)間=18±1.96×1.25=18±2.45。17.在單因素方差分析中，已知SSB=180，SSE=420，k=4組，n=60，則MSB=____，MSE=____，F(xiàn)=____。答案：60；7.5；8解析：dfB=k-1=3，MSB=180/3=60；dfE=n-k=56，MSE=420/56=7.5；F=60/7.5=8。18.若隨機(jī)變量T服從自由度為15的t分布，則P(T>2.131)=____。（查表得t?.???(15)=2.131）答案：0.025解析：雙側(cè)尾部對(duì)稱，單尾概率為0.025。19.某指數(shù)平滑模型中，平滑系數(shù)α=0.3，上期平滑值S???=120，本期觀測(cè)y?=135，則本期平滑值S?=____。答案：124.5解析：S?=αy?+(1-α)S???=0.3×135+0.7×120=40.5+84=124.5。20.在質(zhì)量控制中，若過程均值偏移1.5σ，則采用3σ控制圖時(shí)，ARL（平均運(yùn)行長(zhǎng)度）約為____。答案：14解析：查偏移1.5σ的ARL表，得近似14。四、計(jì)算與綜合題（共45分）21.（10分）某高校欲估計(jì)本科生月均生活費(fèi)，歷史σ=180元?，F(xiàn)希望估計(jì)誤差不超過20元，置信水平95%，求所需樣本量。若預(yù)算限制最多調(diào)查400人，問允許誤差變?yōu)槎嗌?？解：n?=z2σ2/d2=1.962×1802/202=3.8416×32400/400=311.17→312人。若n=400，則d=zσ/√n=1.96×180/√400=352.8/20=17.64元。答案：需312人；若僅400人，誤差降至約17.6元。22.（12分）為比較三種包裝材料對(duì)零食保質(zhì)期的影響，隨機(jī)分配15批產(chǎn)品，每批5包，記錄保質(zhì)期（天）：材料A：185190188184187材料B：180178182181179材料C：175173176174175（1）提出假設(shè)；（2）完成方差分析表；（3）若顯著，用TukeyHSD做多重比較（α=0.05）。解：（1）H?：μA=μB=μC；H?：至少一對(duì)不等。（2）計(jì)算：x?A=186.8，x?B=180，x?C=174.6，總均值x?=180.47SSB=5[(186.8-180.47)2+(180-180.47)2+(174.6-180.47)2]=5(40.07+0.22+34.45)=373.7SSE=Σ(xij-x?i)2=[(185-186.8)2+…+(187-186.8)2]+…=10.8+10+4.8=25.6dfB=2，dfE=12，MSB=186.85，MSE=2.133，F(xiàn)=87.6查F?.??(2,12)=3.89，87.6>3.89，拒絕H?。（3）Tukey臨界值q?.??(3,12)=3.77，標(biāo)準(zhǔn)誤=√(MSE/5)=0.653，HSD=3.77×0.653=2.46|x?A-x?B|=6.8>2.46，|x?A-x?C|=12.2>2.46，|x?B-x?C|=5.4>2.46，均顯著。結(jié)論：三種材料保質(zhì)期差異顯著，材料A最佳，C最差。23.（10分）某城市出租車公司想預(yù)測(cè)日均訂單量y（千單），收集連續(xù)12個(gè)月數(shù)據(jù)，得回歸方程：y?=2.5+0.8x?-0.6x?，其中x?為“雨天比例(%)”，x?為“油價(jià)(元/升)”。已知：SST=48，SSR=36，n=12，se(β??)=0.15，se(β??)=0.2。（1）計(jì)算R2并解釋；（2）檢驗(yàn)β?是否顯著（α=0.05）；（3）若x?=30%，x?=7.2元，求y的點(diǎn)預(yù)測(cè)及95%近似置信區(qū)間。解：（1）R2=SSR/SST=36/48=0.75，表示雨天比例與油價(jià)可解釋75%的訂單量波動(dòng)。（2）t?=β??/se=0.8/0.15=5.33，t?.???(9)=2.26，|5.33|>2.26，拒絕H?，β?顯著。（3）y?=2.5+0.8×30-0.6×7.2=2.5+24-4.32=22.18千單MSE=(SST-SSR)/(n-3)=12/9=1.33，s=√1.33=1.154近似區(qū)間=y?±t?.???(9)×s=22.18±2.26×1.154≈(19.6,24.8)。24.（13分）某連鎖咖啡店推出新品，隨機(jī)選擇200家門店，其中100家設(shè)置“限時(shí)折扣”為實(shí)驗(yàn)組，另100家為對(duì)照組。一周后記錄每家門店新品銷量（杯）：實(shí)驗(yàn)組：x??=520，s?=80對(duì)照組：x??=480，s?=75（1）檢驗(yàn)折扣是否有效（α=0.05）；（2）計(jì)算效應(yīng)量Cohen’sd；（3）若總體為5000家門店，求實(shí)驗(yàn)組總銷量提升的95%置信區(qū)間；（4）討論結(jié)果商業(yè)意義。解：（1）H?：μ?≤μ?，H?：μ?>μ?（單側(cè)）合并標(biāo)準(zhǔn)誤sp2=[(99×802+99×752)/198]=6018.75，sp=77.58t=(520-480)/(77.58×√(1/100+1/100))=40/10.97=3.65t?.??(198)=1.65，3.65>1.65，拒絕H?，折扣顯著有效。（2）d=(x??-x??)/sp=40/77.58≈0.52，中等效應(yīng)。（3）提升均值=40杯/店，總量提升=40×5000=200000杯標(biāo)準(zhǔn)誤=10.97×50=548.5，區(qū)間=200000±1.96×548.5×50→(146000,254000)杯（4）折扣帶來約14.6~25.4萬杯增量，按毛利5元/杯，可增73~127萬元利潤(rùn)，扣除折扣成本后仍可觀，建議推廣但需監(jiān)控長(zhǎng)期品牌溢價(jià)。五、軟件輸出解讀題（共20分）25.下表為R輸出Logistic回歸部分結(jié)果，因變量為“是否復(fù)購(gòu)”，自變量為“滿意度評(píng)分(1~5)”與“配送時(shí)長(zhǎng)(分鐘)”：|系數(shù)??|估計(jì)值|標(biāo)準(zhǔn)誤|z值?|Pr(>|z|)||----------|--------|--------|------|----------||截距??|-6.200|1.100?|-5.64|<0.001||滿意度?|1.200?|0.250?|4.80?|<0.001||配送時(shí)長(zhǎng)|-0.030|0.008?|-3.75|<0.001|（1）寫出回歸方程；（2）解釋滿意度系數(shù)；（3）計(jì)算滿意度從3提升到5時(shí)，優(yōu)勢(shì)比變化百分比；（4）若配送時(shí)長(zhǎng)縮短20分鐘，求優(yōu)勢(shì)比變化；（5）預(yù)測(cè)滿意度4分、配送30分鐘顧客的復(fù)購(gòu)概率。解：（