2026屆黑龍江省哈爾濱市實驗中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．雙曲線的左頂點為，右焦點，若直線與該雙曲線交于、兩點，為等腰直角三角形，則該雙曲線離心率為（）A. B.C. D.2．已知直線與直線垂直，則（）A. B.C. D.3．已知點，分別在雙曲線的左右兩支上，且關(guān)于原點對稱，的左焦點為，直線與的左支相交于另一點，若，且，則的離心率為（）A B.C. D.4．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、大寒、雨水的日影長的和為36.3尺，小寒、驚蟄、立夏的日影長的和為18.3尺，則冬至的日影長為（）A4尺 B.8.5尺C.16.1尺 D.18.1尺5．如圖，在正方體中，是側(cè)面內(nèi)一動點，若到直線與直線的距離相等，則動點的軌跡所在的曲線是（）A.直線 B.圓C.雙曲線 D.拋物線6．已知點，，直線與線段相交，則實數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.7．中，，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，若，，，則（）A. B.C. D.8．?dāng)?shù)列，，，，…，是其第（）項A.17 B.18C.19 D.209．已知是邊長為6的等邊所在平面外一點，，當(dāng)三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為（）A. B.C. D.10．兩位同學(xué)課余玩一種類似于古代印度的“梵塔游戲”：有3個柱子甲、乙、丙，甲柱上有個盤子，最上面的兩個盤子大小相同，從第二個盤子往下大小不等，大的在下，小的在上（如圖）.把這個盤子從甲柱全部移到乙柱游戲結(jié)束，在移動的過程中每次只能移動一個盤子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3個柱子上的盤子始終保持小的盤子不能放在大的盤子之下.設(shè)游戲結(jié)束需要移動的最少次數(shù)為，則當(dāng)時，和滿足A. B.C. D.11．已知，則下列三個數(shù)，，（）A.都不大于-4 B.至少有一個不大于-4C.都不小于-4 D.至少有一個不小于-412．函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與雙曲線交于兩點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是______14．命題“若，則”的逆否命題為______15．已知正項等比數(shù)列的前n項和為，且，則的最小值為_________16．已知矩形的長為2，寬為1，以該矩形的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，.（1）若，求的最小值；（2）若，證明：恒成立.18．（12分）已知橢圓C：的左右焦點分別為，，點P是橢圓C上位于第二象限的任一點，直線l是的外角平分線，過左焦點作l的垂線，垂足為N，延長交直線于點M，（其中O為坐標(biāo)原點），橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過右焦點的直線交橢圓C于A，B兩點，點T在線段AB上，且，點B關(guān)于原點的對稱點為R，求面積的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)（1）求的定義域和導(dǎo)函數(shù)；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對，都有成立，且存在，使成立，求實數(shù)a的取值范圍20．（12分）已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且的面積為（為坐標(biāo)原點）（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點、是拋物線上異于原點的兩點，直線、的斜率分別為、，若，求證：直線恒過定點21．（12分）已知橢圓的右頂點為，上頂點為.離心率為，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，是橢圓上異于長軸端點的兩點（斜率不為0），已知直線，且，垂足為，垂足為，若，且的面積是面積的5倍，求面積的最大值.22．（10分）等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】求出，分析可得，可得出關(guān)于、、的齊次等式，由此可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】聯(lián)立，可得，則，易知點、關(guān)于軸對稱，且為線段的中點，則，又因為為等腰直角三角形，所以，，即，即，所以，，可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：A.2、D【解析】根據(jù)互相垂直兩直線的斜率關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以直線的斜率為，由，所以直線的斜率為，因為直線與直線垂直，所以，故選：D3、D【解析】根據(jù)雙曲線的定義及，，應(yīng)用勾股定理，可得關(guān)系，即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點為，連接,,,如圖：根據(jù)雙曲線的對稱性及可知，四邊形為矩形.設(shè)因為，所以，又，所以，,在和中，，①，②由②化簡可得，③把③代入①可得：，所以，故選：D【點睛】本題主要考查了雙曲線的定義，雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，勾股定理，屬于難題.4、C【解析】設(shè)等差數(shù)列，用基本量代換列方程組，即可求解.【詳解】由題意，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長依次成等差數(shù)列，記為數(shù)列，公差為d，則有，即，解得：，即冬至的日影長為16.1尺.故選：C5、D【解析】由到直線的距離等于到點的距離可得到直線的距離等于到點的距離，然后可得答案.【詳解】因為到直線的距離等于到點的距離，所以到直線的距離等于到點的距離，所以動點的軌跡是以為焦點、為準(zhǔn)線的拋物線故選：D6、B【解析】由可求出直線過定點，作出圖象，求出和，數(shù)形結(jié)合可得或，即可求解.【詳解】由可得：，由可得，所以直線：過定點，作出圖象如圖所示：，，若直線與線段相交，則或，所以實數(shù)的取值范圍是或，故選：B7、C【解析】利用正弦定理求解即可.【詳解】，，，由正弦定理可得，解得，故選：C.8、D【解析】根據(jù)題意，分析歸納可得該數(shù)列可以寫成，，，……，，可得該數(shù)列的通項公式，分析可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，數(shù)列，，，，…，，可寫成，，，……，，對于，即，為該數(shù)列的第20項；故選：D.【點睛】此題考查了由數(shù)列的項歸納出數(shù)列的通項公式，考查歸納能力，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】由題意分析可得，當(dāng)時三棱錐的體積最大，然后作圖，將三棱錐還原成正三棱柱，按照正三棱柱外接球半徑的計算方法來計算，即可計算出球半徑，從而完成求解.【詳解】由題意可知，當(dāng)三棱錐的體積最大時是時，為正三角形，如圖所示，將三棱錐補成正三棱柱，該正三棱柱的外接球就是三棱錐的外接球，而正三棱柱的外接球球心落在上下底面外接圓圓心連線的中點上，設(shè)外接圓半徑為，三棱錐外接球半徑為，由正弦定理可得：，所以，，所以三棱錐外接球的表面積為.故選：C.10、C【解析】通過寫出幾項，尋找規(guī)律，即可得到和滿足的遞推公式.【詳解】若甲柱有個盤，甲柱上的盤從上往下設(shè)為，其中，，當(dāng)時，將移到乙柱，只移動1次；當(dāng)時，將移到乙柱，將移到乙柱，移動2次；當(dāng)時，將移到丙柱，將移到丙柱，將移到乙柱，再將移到乙柱，將移到乙柱，；當(dāng)時，將上面的3個移到丙柱，共次，然后將移到乙柱，再將丙柱的3個移到乙柱，共次，所以次；當(dāng)時，將上面的4個移到丙柱，共次，然后將移到乙柱，再將丙柱的4個移到乙柱，共次，所以次；……以此類推，可知，故選.【點睛】主要考查了數(shù)列遞推公式的求解，屬于中檔題.這類型題的關(guān)鍵是寫出幾項，尋找規(guī)律，從而得到對應(yīng)的遞推公式.11、B【解析】利用反證法設(shè)，，都大于，結(jié)合基本不等式即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)，，都大于，則，由于，故，利用基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，這與假設(shè)所得結(jié)論矛盾，故假設(shè)不成立，故下列三個數(shù)，，至少有一個不大于，故選：B.12、A【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域及零點的情況即可得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域為，則排除選項、,當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，且，，由零點存在定理可知在上存在一個零點，則排除，故選：.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析可知，由可求得結(jié)果.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由題意可知，.故答案為：.14、若，則【解析】否定原命題條件和結(jié)論，并將條件與結(jié)論互換，即可寫出逆否命題.【詳解】由逆否命題的定義知：原命題的逆否命題為“若，則”.故答案為：若，則.15、16【解析】根據(jù)是等比數(shù)列，由，即可得也是等比數(shù)列，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)即可求出的最小值.【詳解】是等比數(shù)列，，即，也是等比數(shù)列，且，，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，的最小值為16.故答案為：1616、或##或【解析】分兩種情況進(jìn)行解答，①以邊長為2的邊為軸旋轉(zhuǎn)，②以邊長為1的邊為軸旋轉(zhuǎn)．進(jìn)行解答即可【詳解】解：①以邊長為2的邊為軸旋轉(zhuǎn)，表面積兩個底面積側(cè)面積，即：，②以邊長為1的邊為軸旋轉(zhuǎn)，表面積兩個底面積側(cè)面積，即：，故答案為：或三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】（1）當(dāng)時，，求出，可得答案；（2）設(shè)，，，，，設(shè)，求出利用單調(diào)性可得答案.【小問1詳解】當(dāng)時，，則，所以單調(diào)遞增，又，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以.【小問2詳解】設(shè)，若，則，若，則，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，又，當(dāng)時，，上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，所以，綜上，恒成立.【點睛】本題考查了求函數(shù)值域或最值的問題，一般都需要通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值來處理，特別的要根據(jù)所求問題，適時構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，再利用所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、最值解決問題是常用方法，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意可得到的值，結(jié)合橢圓的離心率，即可求得b,求得答案;（2）由可得，進(jìn)一步推得，于是設(shè)直線方程和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得弦長，表示出三角形AOB的面積，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求其范圍.【小問1詳解】由題意可知：為的中點，為的中點，為的中位線，，,又,故,即,，又，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】由題意可知，，,①當(dāng)過的直線與軸垂直時，，,②當(dāng)過的直線不與軸垂直時，可設(shè)，，直線方程為,聯(lián)立,可得：.,,,由弦長公式可知，到距離為,故，令，則原式變?yōu)?，令，原式變?yōu)楫?dāng)時，故，由①②可知.【點睛】本題考查了橢圓方程的求解，以及直線和橢圓相交時的三角形的面積問題，考查學(xué)生的計算能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，解答的關(guān)鍵是計算三角形面積時要理清運算的思路，準(zhǔn)確計算.19、（1），（2）在單減，也單減，無增區(qū)間（3）【解析】（1）根據(jù)分母不等于0，對數(shù)的真數(shù)大于零即可求得函數(shù)的定義域，根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及商的導(dǎo)數(shù)公式即可求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號即可得出答案；（3）若對，都有成立，即，即，令，，只要即可，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可求出的范圍，，，求出函數(shù)的值域，根據(jù)存在，使成立，則0在函數(shù)的值域中，從而可得出的范圍，即可得解.【小問1詳解】解：的定義域為，；【小問2詳解】解：當(dāng)時，，恒成立，所以在和上遞減；【小問3詳解】解：若對，都有成立，即，即，令，，則，對于函數(shù)，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以，當(dāng)時，，所以，所以，故恒成立，在為減函數(shù)，所以，所以，由（1）知，，所以，記，令，，則原式的值域為，因為存在，使成立，所以，，所以，綜上，【點睛】本題考查了函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)的四則運算，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了不等式恒成立問題，考查了計算能力及數(shù)據(jù)分析能力，對不等式恒成立合理變形轉(zhuǎn)化為求最值是解題關(guān)鍵.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由點在拋物線上可得出，再利用三角形的面積公式可得出關(guān)于的等式，解出正數(shù)的值，即可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點、，利用斜率公式結(jié)合已知條件可得出的值，分析可知直線不與軸垂直，可設(shè)直線的方程為，將該直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：拋物線的焦點為，由已知可得，則，，，解得，因此，拋物線的方程為.【小問2詳解】證明：設(shè)點、，則，可得.若直線軸，則該直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，可得，此時，合乎題意.所以，直線的方程為，故直線恒過定點.21、（1）（2）面積的最大值為【解析】（1）由離心率為，，得，解得，，，進(jìn)而可得答案（2）設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得，，由弦長公式可得，點到直線的距離，則，，由的面積是面積的5倍，解得，再