2026屆北京市東城區(qū)匯文中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末考試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過的直線與曲線的右支交于兩點(diǎn)，則的周長的最小值為（）A. B.C. D.2．已知是橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，P在橢圓上，，且當(dāng)時(shí)，的面積最大，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.3．已知不等式只有一個(gè)整數(shù)解，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.4．如圖已知正方體，點(diǎn)是對角線上的一點(diǎn)且，，則（）A.當(dāng)時(shí)，平面 B.當(dāng)時(shí)，平面C.當(dāng)為直角三角形時(shí)， D.當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，5．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)E在上，滿足，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，記分別為，則（）A. B.C. D.6．已知命題P：，，則命題P的否定為（）A.， B.，C.， D.，7．若，，且，則（）A. B.C. D.8．已知等差數(shù)列的公差，記該數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最大值為（）A.66 B.72C.132 D.1989．在等差數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.10．?dāng)?shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于特有的抽象概念，公式符號，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實(shí)美．平面直角坐標(biāo)系中，曲線：就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對于此曲線，給出如下結(jié)論：①曲線圍成的圖形的面積是；②曲線上的任意兩點(diǎn)間的距離不超過；③若是曲線上任意一點(diǎn)，則的最小值是其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A. B.C. D.11．我們知道∶用平行于圓錐母線的平面（不過頂點(diǎn)）截圓錐，則平面與圓錐側(cè)面的交線是拋物線一部分，如圖，在底面半徑和高均為2的圓錐中，AB、CD是底面圓O的兩條互相垂直的直徑，E是母線PB的中點(diǎn)，已知過CD與E的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點(diǎn)的圓錐曲線的一部分，則該圓錐曲線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離等于（）A. B.C. D.112．已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對于任意的，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別是A,B,左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為___________14．已知函數(shù)是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)且為定義域上的單調(diào)遞減函數(shù)，請寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)的解析式___________15．記為等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若，，則=_________.16．已知函數(shù)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣3ax2+2bx在x＝處有極大值.（1）求a、b的值；（2）求f（x）在[0，2]上的值域.18．（12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長軸長為4，離心率等于（1）求橢圓的方程（2）設(shè)，若橢圓E上存在兩個(gè)不同點(diǎn)P、Q滿足，證明：直線PQ過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).19．（12分）已知函數(shù)．其中e為然對數(shù)的底數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)20．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若的周長為8.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)作直線與橢圓分別交于點(diǎn)、（點(diǎn)不在直線上），求面積的最大值.21．（12分）在數(shù)列中，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù).（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）點(diǎn)在（1）中軌跡上運(yùn)動(dòng)軸，為垂足，點(diǎn)滿足，求點(diǎn)軌跡方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)，當(dāng)弦垂直于軸時(shí)，即可求出三角形的周長的最小值.【詳解】由雙曲線可知：的周長為.當(dāng)軸時(shí),周長最小值為故選：C2、A【解析】由題意知c＝3，當(dāng)△F1PF2的面積最大時(shí)，點(diǎn)P與橢圓在y軸上的頂點(diǎn)重合，即可解出【詳解】由題意知c＝3，當(dāng)△F1PF2的面積最大時(shí)，點(diǎn)P與橢圓在y軸上的頂點(diǎn)重合，∵時(shí)，△F1PF2的面積最大，∴a＝＝，b＝∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：A3、B【解析】依據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合去求解即可解決.【詳解】不等式只有一個(gè)整數(shù)解，可化為只有一個(gè)整數(shù)解令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取最大值，當(dāng)時(shí)，恒成立，的草圖如下：，，則若只有一個(gè)整數(shù)解，則，即故不等式只有一個(gè)整數(shù)解，則m的取值范圍是故選：B4、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法一一計(jì)算可得；【詳解】解：由題可知，如圖令正方體的棱長為1，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，因?yàn)?，所以，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以對于A：若平面，則，則，解得，故A錯(cuò)誤；對于B：若平面，則，即，解得，故B錯(cuò)誤；當(dāng)為直角三角形時(shí)，有，即，解得或（舍去），故C錯(cuò)誤；設(shè)到的距離為，則，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，，故正確故選：5、B【解析】利用空間向量加減、數(shù)乘的幾何意義，結(jié)合三棱錐用表示出即可.【詳解】由題設(shè)，，，，.故選：B6、B【解析】根據(jù)特稱命題的否定變換形式即可得出結(jié)果【詳解】命題：，，則命題的否定為，故選：B7、A【解析】由于對數(shù)函數(shù)的存在，故需要對進(jìn)行放縮，結(jié)合（需證明），可放縮為，利用等號成立可求出，進(jìn)而得解.【詳解】令，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，又，所以，即，所以，又，所以，，故故選：A8、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的公差，求得其通項(xiàng)公式求解.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差,所以，則，所以，由，得，所以或12時(shí)，該數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，最大值為，故選：A9、B【解析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值，進(jìn)而可求得的值.【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，則.故選：B.10、C【解析】結(jié)合已知條件寫出曲線的解析式，進(jìn)而作出圖像，對于①，通過圖像可知，所求面積為四個(gè)半圓和一個(gè)正方形面積之和，結(jié)合數(shù)據(jù)求解即可；對于②，根據(jù)圖像求出曲線上的任意兩點(diǎn)間的距離的最大值即可判斷；對于③，將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，然后利用圓上一點(diǎn)到直線的距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑即可求解.【詳解】當(dāng)且時(shí)，曲線的方程可化為：；當(dāng)且時(shí)，曲線的方程可化為：；當(dāng)且時(shí)，曲線的方程可化為：；當(dāng)且時(shí)，曲線的方程可化為：，曲線的圖像如下圖所示：由上圖可知，曲線所圍成的面積為四個(gè)半圓的面積與邊長為的正方形的面積之和，從而曲線所圍成的面積，故①正確；由曲線的圖像可知，曲線上的任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為兩個(gè)半徑與正方形的邊長之和，即，故②錯(cuò)誤；因?yàn)榈街本€的距離為，所以，當(dāng)最小時(shí)，易知在曲線的第一象限內(nèi)的圖像上，因?yàn)榍€的第一象限內(nèi)的圖像是圓心為，半徑為的半圓，所以圓心到的距離，從而，即，故③正確，故選：C.11、C【解析】由圓錐的底面半徑和高及E的位置可得，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可得C的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的方程，將C的坐標(biāo)代入求出拋物線的方程，進(jìn)而可得焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離【詳解】設(shè)AB，CD的交點(diǎn)為，連接PO，由題意可得PO⊥面AB，所以PO⊥OB，由題意OB=OP=OC=2，因?yàn)镋是母線PB的中點(diǎn)，所以，由題意建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，以BP為y軸以O(shè)E為x軸，E為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示∶可得∶，設(shè)拋物線的方程為y2=mx，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，所以，所以拋物線的方程為∶，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，所以焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為故選：C12、B【解析】由等差數(shù)列基本量法求出通項(xiàng)公式，用裂項(xiàng)相消法求得，求出的最大值，然后利用關(guān)于的不等式是一次不等式列出滿足的不等關(guān)系求得其范圍【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，則由已知得，解得，∴，，∴，易知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，∴若對于任意的，，不等式恒成立，即，又，∴，解得或故選：B【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立問題的轉(zhuǎn)化與化歸思想，不等式恒成立首先轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的單調(diào)性與最值，其次轉(zhuǎn)化為一次不等式恒成立二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】本題著重考查等比中項(xiàng)的性質(zhì)，以及橢圓的離心率等幾何性質(zhì)，同時(shí)考查了函數(shù)與方程，轉(zhuǎn)化與化歸思想.利用橢圓及等比數(shù)列的性質(zhì)解題.由橢圓的性質(zhì)可知：，，.又已知，，成等比數(shù)列，故，即，則.故.即橢圓的離心率為.【點(diǎn)評】求雙曲線的離心率一般是通過已知條件建立有關(guān)的方程，然后化為有關(guān)的齊次式方程，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為只含有離心率的方程，從而求解方程即可.體現(xiàn)考綱中要求掌握橢圓的基本性質(zhì).來年需要注意橢圓的長軸，短軸長及其標(biāo)準(zhǔn)方程的求解等.14、（答案不唯一）【解析】由題意可得0，結(jié)合在定義域上為減函數(shù)可取.【詳解】因?yàn)樵诙x域?yàn)閱握{(diào)增函數(shù)所以在定義域上0，又因?yàn)樵诙x域上為減函數(shù)，且大于等于0.所以可取()，()，滿足條件所以可為().故答案為：（答案不唯一）.15、18【解析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和公式即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以故答案為：1816、【解析】由題知方程，，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)值得變化情況，作出函數(shù)的大致圖像，數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以方程，，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，令，則，，令，則所以為上的單調(diào)遞減函數(shù)，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)楫?dāng)趨近于時(shí)，趨近于，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，且，時(shí)，，故的圖像大致如圖所示，所以方程，，有且只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由于在點(diǎn)處有極小值，所以，從而可求出、的值；（2）由（1）可得，得在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而可求出其值域.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處有極大值，所以，①且②聯(lián)立①②得：；【小問2詳解】由（1）得，所以，由得；由得，所以，函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；又，所以在上的值域?yàn)?18、（1）；（2）證明見解析，.【解析】（1）由題可得，即求；（2）設(shè)直線PQ的方程為，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理法可得，即得.【小問1詳解】由題可設(shè)橢圓的方程為，則，∴，∴橢圓的方程為；【小問2詳解】當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線PQ的方程為，設(shè)，由，得，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，又∴，∴直線PQ的方程為過定點(diǎn)；當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，不合題意.故直線PQ過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為.19、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).【解析】(1)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于零求增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于零求減區(qū)間；(2)求導(dǎo)數(shù)，分、、a＞2討論函數(shù)f(x)單調(diào)性和零點(diǎn)即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，易知定義域?yàn)镽，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，x正0負(fù)0正單增極大值單減極小值單增當(dāng)時(shí)，恒成立，∴；當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，，∴無零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，∴有1個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，∴有2個(gè)零點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)周長可求，再根據(jù)離心率可求，求出后可求橢圓的方程.（2）當(dāng)直線軸時(shí)，計(jì)算可得的面積的最大值為，直線不垂直軸時(shí)，可設(shè)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程可求，設(shè)與平行且與橢圓相切的直線為：，結(jié)合橢圓方程可求的關(guān)系，從而求出該直線到直線的距離，從而可求的面積的最大值為.【詳解】（1）由橢圓的定義可知，的周長為，∴，，又離心率為，∴，，所以橢圓方程為.（2）當(dāng)直線軸時(shí)，；當(dāng)直線不垂直軸時(shí)，設(shè)，，，∴.設(shè)與平行且與橢圓相切的直線為：，，∵，∴，∴距的最大距離為，∴，綜上，面積的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是基本量的確定，而面積的最值的計(jì)算，則可以轉(zhuǎn)化為與已知直線平行且與橢圓相切的直線與已知直線的距離來計(jì)算，此類轉(zhuǎn)化為面積最值計(jì)算過程的常規(guī)轉(zhuǎn)化.21、（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）利用等比數(shù)列的定義結(jié)合已知條件即可得到證明.（2）運(yùn)用分組求和的方法，利用