大題03立體幾何（解答題答題模板）有關(guān)的10類(lèi)核心題型目錄第一部分命題解碼洞察命題意圖，明確攻堅(jiān)方向第二部分方法建模構(gòu)建方法體系，提供通用工具【結(jié)論背記清單】方法一空間中平行關(guān)系的證明方法二空間中垂直關(guān)系的證明方法三空間向量法求空間角與空間距離方法四純幾何法求空間角與空間距離方法五立體幾何中的翻折與軌跡問(wèn)題方法六立體幾何中的范圍與最值問(wèn)題方法七立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)與存在性問(wèn)題第三部分題型專(zhuān)攻實(shí)施靶向訓(xùn)練，提升應(yīng)試效率。【題型01】空間中平行關(guān)系的證明【題型02】空間中垂直關(guān)系的證明【題型03】空間向量法求空間角與空間距離【題型04】純幾何法求空間角與空間距離【題型05】立體幾何中的翻折與軌跡問(wèn)題【題型06】立體幾何中的范圍與最值問(wèn)題【題型07】立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)與存在性問(wèn)題【題型08】立體幾何中的劣構(gòu)性問(wèn)題【題型09】立體幾何中的雜糅問(wèn)題【題型10】立體幾何中的創(chuàng)新情景與新定義問(wèn)題第四部分答題實(shí)戰(zhàn)檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成效，錘煉應(yīng)用能力模塊說(shuō)明：洞察命題意圖，明確攻堅(jiān)方向模塊說(shuō)明：洞察命題意圖，明確攻堅(jiān)方向1.考向聚焦：精煉概括本專(zhuān)題在高考中的核心考查方向與價(jià)值。

2.思維瓶頸：精準(zhǔn)診斷學(xué)生在此類(lèi)題目上的高階思維誤區(qū)與能力短板。1.考向聚焦1.考向聚焦（精煉概括本專(zhuān)題在高考中的核心考查方向與價(jià)值）立體幾何解答題是高考數(shù)學(xué)中考查空間想象能力、邏輯推理能力與代數(shù)運(yùn)算能力的關(guān)鍵題型。其考查重心已從單一的位置關(guān)系證明或空間量計(jì)算，轉(zhuǎn)向?qū)缀沃庇^(guān)、推理論證、代數(shù)工具（向量法與坐標(biāo)法）及模型轉(zhuǎn)化能力的綜合檢驗(yàn)。試題設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)在復(fù)雜圖形中識(shí)別基本結(jié)構(gòu)，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面或代數(shù)問(wèn)題求解，并能處理動(dòng)點(diǎn)、最值、存在性等探索性問(wèn)題。核心題型歸類(lèi)：核心主干題：空間線(xiàn)面關(guān)系（平行、垂直）證明；空間角（異面角、線(xiàn)面角、二面角）與距離計(jì)算。交匯綜合題：與函數(shù)最值結(jié)合（建立幾何量函數(shù)求最值）；與解析幾何結(jié)合（坐標(biāo)軌跡）；實(shí)際應(yīng)用建模。探索創(chuàng)新題：截面作圖與計(jì)算；動(dòng)點(diǎn)軌跡與最值；存在性與探究性問(wèn)題；結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題。2.思維瓶頸（精準(zhǔn)診斷學(xué)生在此類(lèi)題目上的高階思維誤區(qū)與能力短板）邏輯鏈不嚴(yán)謹(jǐn)：證明過(guò)程跳步、定理使用不當(dāng)。轉(zhuǎn)化與運(yùn)算障礙：建系不當(dāng)、法向量計(jì)算錯(cuò)誤；忽視圖形性質(zhì)致計(jì)算繁瑣。動(dòng)態(tài)問(wèn)題策略缺失：面對(duì)動(dòng)點(diǎn)、存在性問(wèn)題時(shí)無(wú)法合理建模（設(shè)變量、建方程）。復(fù)雜圖形識(shí)別困難：難以從組合體中剝離基礎(chǔ)幾何結(jié)構(gòu)。應(yīng)用背景建模弱：無(wú)法將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何模型。模塊說(shuō)明：模塊說(shuō)明：構(gòu)建思維框架，提煉通用解法1.模模塊化知識(shí)體系：熟記立體幾何（解答題答題模板）的相關(guān)知識(shí)內(nèi)容，形成清晰的解題思維基礎(chǔ)邏輯，便于快速定位解題切入點(diǎn)。2.通用解法模板化：針對(duì)高頻題型，總結(jié)“審題-建模-推導(dǎo)-驗(yàn)證”法，規(guī)范解題流程，減少思維漏洞，提升答題效率。3.易錯(cuò)點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破：整理常見(jiàn)誤區(qū)，設(shè)計(jì)針對(duì)性訓(xùn)練題，通過(guò)對(duì)比正確與錯(cuò)誤解法，強(qiáng)化對(duì)知識(shí)邊界的理解，避免重復(fù)犯錯(cuò)。結(jié)論背記一、基礎(chǔ)公式/基礎(chǔ)結(jié)論1.空間中的平行關(guān)系線(xiàn)線(xiàn)平行①三角形、四邊形的中位線(xiàn)與第三邊平行，②平行四邊形的性質(zhì)（對(duì)邊平行且相等）③內(nèi)錯(cuò)角、同位角相等，兩直線(xiàn)平行；同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行線(xiàn)面平行的判定定理：平面外一直線(xiàn)與平面內(nèi)一直線(xiàn)平行，則線(xiàn)面平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理若線(xiàn)面平行，經(jīng)過(guò)直線(xiàn)的平面與該平面相交，則直線(xiàn)與交線(xiàn)平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言面面平行的判定定理判定定理1：一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)平面，則面面平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理2：一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)分別于另一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)平行，則面面平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言面面平行的性質(zhì)定理性質(zhì)定理1：兩平面互相平行，一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面性質(zhì)定理2：兩平面互相平行，一平面與兩平面相交，則交線(xiàn)互相平行2.空間中的垂直關(guān)系線(xiàn)線(xiàn)垂直①等腰三角形（等邊三角形）的三線(xiàn)合一證線(xiàn)線(xiàn)垂直②勾股定理的逆定理證線(xiàn)線(xiàn)垂直③菱形、正方形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直線(xiàn)面垂直的判定定理判定定理：一直線(xiàn)與平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)垂直，則線(xiàn)面垂直圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理性質(zhì)定理1：一直線(xiàn)與平面垂直，則這條直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理2：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言面面垂直的判定定理判定定理：一個(gè)平面內(nèi)有一條直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面，則兩個(gè)平面垂直（或：一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，則面面垂直）圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言面面垂直的性質(zhì)定理性質(zhì)定理：兩平面垂直，其中一個(gè)平面內(nèi)有一條直線(xiàn)與交線(xiàn)垂直，則這條直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言3.直線(xiàn)與平面所成角的向量求法設(shè)直線(xiàn)l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線(xiàn)l與平面α所成的角為θ，a與n的夾角為β，則sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).4.直線(xiàn)與平面所成角的幾何求法（1）由定義作出線(xiàn)面角的平面角，再求解：

（2）在斜線(xiàn)上異于斜足取一點(diǎn)，求出該點(diǎn)到斜足的距離（設(shè)為l）和到平面的距離（設(shè)為d),則5.二面角的向量求法(1)如圖①，AB，CD是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線(xiàn)，則二面角的大小θ＝〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉．如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿(mǎn)足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)．6.二面角的幾何求法（1）定義法：利用二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點(diǎn)(特殊點(diǎn)),過(guò)該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的射線(xiàn)，兩射線(xiàn)所成的角就是二面角的平面角，這是一種最基本的方法。要注意用二面角的平面角定義的三個(gè)“主要特征”來(lái)找出平面角。（2）三垂線(xiàn)法：已知二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到一個(gè)面的垂線(xiàn)，用三垂線(xiàn)定理或逆定理作出二面角的平面角。（3）垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線(xiàn)時(shí)，過(guò)兩垂線(xiàn)作平面與兩個(gè)半平面的交線(xiàn)所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直。（4）射影面積法：凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cosθ=S7．空間距離空間兩點(diǎn)間的距離公式若，，則=.點(diǎn)到平面的距離（為平面的法向量，是經(jīng)過(guò)面的一條斜線(xiàn)，）.點(diǎn)面距可轉(zhuǎn)化為三棱錐等體積求解技法歸納方法一空間中平行關(guān)系的證明平行關(guān)系的證明是立體幾何的基礎(chǔ)，主要依據(jù)公理、判定定理及性質(zhì)定理，通過(guò)線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行推理。第一步：分析圖形與目標(biāo)明確已知條件（如中點(diǎn)、比例、已知平行等），確定待證結(jié)論（線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行或面面平行）。第二步：選擇證明路徑線(xiàn)線(xiàn)平行：可通過(guò)線(xiàn)面平行性質(zhì)、面面平行性質(zhì)或平面幾何知識(shí)（如中位線(xiàn)、平行四邊形）證得。

線(xiàn)面平行：需在面內(nèi)找（或作）一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行，或利用面面平行性質(zhì)。

面面平行：需在一個(gè)面內(nèi)找兩條相交直線(xiàn)分別平行于另一個(gè)面。第三步：應(yīng)用定理推理依據(jù)所選路徑，嚴(yán)格應(yīng)用相關(guān)判定與性質(zhì)定理，書(shū)寫(xiě)關(guān)鍵推理步驟。

關(guān)鍵定理：線(xiàn)面平行判定定理（若線(xiàn)線(xiàn)平行，則線(xiàn)面平行）；面面平行判定定理（若線(xiàn)面平行，則面面平行）；線(xiàn)面平行性質(zhì)定理（若線(xiàn)面平行，且過(guò)該線(xiàn)的面與已知面交于某線(xiàn)，則該交線(xiàn)平行于原線(xiàn)）。第四步：規(guī)范書(shū)寫(xiě)結(jié)論完整寫(xiě)出“因?yàn)椤?，所以…”的推理鏈條，最終得到平行結(jié)論。關(guān)鍵技巧1.優(yōu)先考慮中位線(xiàn)、平行四邊形、相似三角形等平面幾何工具證線(xiàn)線(xiàn)平行。

2.作輔助線(xiàn)時(shí)常在已知平面內(nèi)作已知直線(xiàn)的平行線(xiàn)，或作交線(xiàn)。例題1（2025·江西景德鎮(zhèn)·二模）如圖所示，在四棱錐中，，，，，，點(diǎn)在棱上，且．(1)證明：平面；(2)若，求與平面所成角的正弦值．例題2（2025·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，四邊形是直角梯形，，且，，，E為中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)證明：平面；(3)在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為?若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.方法二空間中垂直關(guān)系的證明垂直關(guān)系的證明與平行類(lèi)似，同樣基于判定與性質(zhì)定理，核心在于線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，尤其強(qiáng)調(diào)“線(xiàn)線(xiàn)垂直”是源頭。第一步：分析垂直目標(biāo)明確待證結(jié)論是線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直還是面面垂直。第二步：尋找或證明線(xiàn)線(xiàn)垂直所有垂直證明最終都需轉(zhuǎn)化為證明兩條直線(xiàn)垂直。

常用方法：

1.

平面幾何法：等腰三角形三線(xiàn)合一、勾股定理逆定理、菱形對(duì)角線(xiàn)等。

2.

線(xiàn)面垂直性質(zhì)：若一直線(xiàn)垂直于一平面，則它垂直于該平面內(nèi)所有直線(xiàn)。

3.

三垂線(xiàn)定理及其逆定理。第三步：應(yīng)用判定定理轉(zhuǎn)化證線(xiàn)面垂直：需證該直線(xiàn)垂直于平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)。

證面面垂直：需證一個(gè)平面內(nèi)有一條直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面。第四步：循環(huán)論證至結(jié)論利用轉(zhuǎn)化關(guān)系，最終證得目標(biāo)垂直關(guān)系，并規(guī)范書(shū)寫(xiě)。關(guān)鍵技巧1.善用等腰（邊）三角形三線(xiàn)合一找垂直關(guān)系。

2.

計(jì)算法：用勾股定理逆定理證明線(xiàn)線(xiàn)垂直。

3.

面面垂直的性質(zhì)：若兩平面垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)必垂直于另一平面。例題3（2025·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱中，平面，.(1)證明：；(2)若直線(xiàn)與平面所成角為，求.例題4（2025·湖北武漢·三模）如圖，在三棱柱中，平面平面，，，，(1)證明：平面；(2)求的長(zhǎng)；(3)求平面與平面夾角的余弦值．方法三空間向量法求空間角與空間距離空間向量法通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，將幾何問(wèn)題代數(shù)化，是解決空間角與距離問(wèn)題的通用且程序化的方法。第一步：合理建系依據(jù)圖形中是否存在兩兩垂直的三條直線(xiàn)（或可構(gòu)造），建立空間直角坐標(biāo)系。原則：盡可能讓更多點(diǎn)落在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面上，以簡(jiǎn)化坐標(biāo)。第二步：求點(diǎn)坐標(biāo)寫(xiě)出或求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)。常用技巧：利用中點(diǎn)公式、向量共線(xiàn)、平面向量基本定理等。第三步：求向量坐標(biāo)寫(xiě)出相關(guān)直線(xiàn)的方向向量或平面的法向量坐標(biāo)。法向量可通過(guò)設(shè)n=(x,y,z)，利用n?v=0

解方程組求得。第四步：代公式計(jì)算參考文章前面總結(jié)的公式第五步：結(jié)合定義給結(jié)論根據(jù)計(jì)算結(jié)果，寫(xiě)出所求角或距離的大小。例題5（2025·廣東汕尾·一模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn).(1)若，求點(diǎn)到平面的距離；(2)求平面與平面夾角的正弦值.例題6．（2025·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，，，．(1)若平面平面，①證明：．②三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．(2)若二面角的正切值為，求的長(zhǎng)．方法四純幾何法求空間角與空間距離純幾何法不建立坐標(biāo)系，通過(guò)作輔助線(xiàn)、找射影、構(gòu)造三角形等手段，將空間角或距離轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解，對(duì)空間想象能力要求較高。第一步：分析圖形關(guān)系觀(guān)察幾何體中各元素的位置關(guān)系，初步判斷角或距離的可能位置。第二步：作輔助線(xiàn)找空間角：

線(xiàn)線(xiàn)角：平移至共頂點(diǎn)。

線(xiàn)面角：過(guò)斜足作平面的垂線(xiàn)，連垂足與斜足得射影，線(xiàn)與其射影夾角即為所求。

二面角：在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作棱的垂線(xiàn)，兩垂線(xiàn)夾角即為平面角。

找空間距離：

點(diǎn)面距：直接作垂線(xiàn)段；或通過(guò)等體積法轉(zhuǎn)化。第三步：確定平面角或距離將所作的輔助線(xiàn)、垂足等關(guān)鍵點(diǎn)連接，在某個(gè)平面三角形中鎖定目標(biāo)角或線(xiàn)段。第四步：解三角形求值在所確定的三角形中，利用正弦定理、余弦定理、勾股定理等求解。第五步：給出最終答案寫(xiě)出角的大小或距離的長(zhǎng)度。關(guān)鍵技巧1.

三垂線(xiàn)定理是作線(xiàn)面角射影和構(gòu)造二面角平面角的利器。

2.

垂面法找二面角的平面角：過(guò)棱上一點(diǎn)作垂直于棱的平面，該平面與兩個(gè)半平面的交線(xiàn)所成角即為平面角。

3.

等體積法求點(diǎn)面距：，變換底面求高

h。例題7如圖，在四棱錐中，平面.(1)求證：平面平面；(2)若，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.例題8如圖，三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，為等邊三角形.

(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)求二面角的正弦值.方法五立體幾何中的翻折與軌跡問(wèn)題翻折問(wèn)題的核心是抓住折疊過(guò)程中的“不變關(guān)系”（如長(zhǎng)度、角度、平行垂直關(guān)系）；軌跡問(wèn)題的核心是分析動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何條件，確定其形狀。第一步：翻折問(wèn)題-找不變性分析折疊前后哪些線(xiàn)段長(zhǎng)度、角度關(guān)系保持不變，哪些位置關(guān)系（如垂直、平行）不變。第二步：翻折問(wèn)題-還原或?qū)Ρ瓤蓪D形展開(kāi)還原到折疊前的狀態(tài)，或?qū)⒄郫B前后的圖形對(duì)比分析，便于發(fā)現(xiàn)關(guān)系和計(jì)算。第三步：軌跡問(wèn)題-分析約束明確動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)范圍（線(xiàn)上、面上、體內(nèi)）及其必須滿(mǎn)足的幾何條件（如距離為定值、角度為定值）。第四步：軌跡問(wèn)題-確定軌跡將條件轉(zhuǎn)化為軌跡定義：

到定點(diǎn)距定：球面或圓。

到兩定點(diǎn)距和/差定：橢圓或雙曲線(xiàn)。

到定直線(xiàn)距定：圓柱面。

視角定：圓弧。第五步：計(jì)算與驗(yàn)證根據(jù)翻折后的關(guān)系計(jì)算所求量，或計(jì)算軌跡的長(zhǎng)度、范圍等。關(guān)鍵技巧1.翻折中，垂直于折痕的線(xiàn)段折疊后仍垂直是關(guān)鍵性質(zhì)。

2.軌跡在幾何體表面時(shí)，常需表面展開(kāi)，化空間為平面處理。

3.熟悉常見(jiàn)軌跡模型，如“定長(zhǎng)線(xiàn)段在空間中一端點(diǎn)固定，另一端點(diǎn)在平面上滑動(dòng)，其中點(diǎn)軌跡為圓”。例題9（2025·海南·模擬預(yù)測(cè)）如圖（1），正方形的邊長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上且.將沿折起到圖（2）中的位置，使得平面平面.

(1)證明：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)如圖（2），點(diǎn)在線(xiàn)段上，過(guò)點(diǎn)、的平面截四棱錐所得的截面是一個(gè)直角三角形，在圖中畫(huà)出這個(gè)直角三角形.（請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定位置作圖，不必說(shuō)明畫(huà)法和理由）例題10（2025·廣東江門(mén)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是底面的中心．(1)證明：平面．(2)若是側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到平面的距離為，證明點(diǎn)的軌跡為一條線(xiàn)段，并求該線(xiàn)段的長(zhǎng)度.方法六立體幾何中的范圍與最值問(wèn)題此類(lèi)問(wèn)題通常涉及動(dòng)態(tài)變化的幾何量（如距離、角、面積、體積），需通過(guò)建立函數(shù)模型或利用幾何性質(zhì)（如公垂線(xiàn)段最短）來(lái)確定其取值范圍或最值。第一步：識(shí)別變量與目標(biāo)明確問(wèn)題中變化的元素是什么（動(dòng)點(diǎn)位置、角度大小等），以及要求的是哪個(gè)量的最值或范圍。第二步：選擇方法-幾何法利用幾何圖形的固有性質(zhì)直接判斷。

距離最值：點(diǎn)到直線(xiàn)垂線(xiàn)段最短；點(diǎn)到平面垂線(xiàn)段最短；異面直線(xiàn)距離公垂線(xiàn)段最短。

表面距離：將立體表面展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間直線(xiàn)距離。第三步：選擇方法-代數(shù)法當(dāng)幾何法不易處理時(shí)，建立函數(shù)關(guān)系。

1.

設(shè)參數(shù)：用變量（如角度θ、長(zhǎng)度t）表示動(dòng)點(diǎn)位置。

2.

建函數(shù)：將目標(biāo)量表示為該變量的函數(shù)

f(θ)f(θ)。

3.

求最值：利用函數(shù)單調(diào)性、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等工具求最值。第四步：考慮邊界與存在性檢查變量取值范圍（定義域），最值點(diǎn)是否在圖形允許的范圍內(nèi)。第五步：整合結(jié)論寫(xiě)出最值或取值范圍，并說(shuō)明取得最值的條件。關(guān)鍵技巧1.

展開(kāi)圖法求表面路徑最值是高頻技巧。

2.建立函數(shù)時(shí)，優(yōu)先選擇便于求導(dǎo)或應(yīng)用不等式的變量形式。

3.關(guān)注對(duì)稱(chēng)性，最值常出現(xiàn)在對(duì)稱(chēng)位置。例題11（2025·浙江紹興·二模）在四面體中，，(1)證明：．(2)求四面體體積的最大值．例題12（2025·山東菏澤·二模）如圖，圓臺(tái)的下底面圓的半徑為，為圓的內(nèi)接正方形．為上底面圓上兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且平面平面，．(1)求證：；(2)若，求與平面所成角正弦值的最大值．方法七立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)與存在性問(wèn)題動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題關(guān)注點(diǎn)在變化時(shí)對(duì)幾何量的影響；存在性問(wèn)題探討滿(mǎn)足特定條件的幾何對(duì)象（點(diǎn)、線(xiàn)、面）是否存在，常采用“假設(shè)-推理-驗(yàn)證”或“構(gòu)造法”解決。第一步：假設(shè)存在先假設(shè)滿(mǎn)足題目條件的點(diǎn)、線(xiàn)或面是存在的。第二步：代數(shù)化/坐標(biāo)化引入?yún)?shù)（如設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)含參數(shù)

t），或?qū)缀螚l件（如垂直、共面）轉(zhuǎn)化為方程（組）。第三步：構(gòu)造方程（組）利用距離公式、向量垂直（數(shù)量積為零）、共線(xiàn)向量定理等，建立關(guān)于參數(shù)的方程。第四步：求解并驗(yàn)證解方程，得到參數(shù)值。檢驗(yàn)該值是否在幾何約束范圍內(nèi)（如點(diǎn)在線(xiàn)段上則參數(shù)需在[0,1]區(qū)間）。第五步：給出結(jié)論若方程有解且在范圍內(nèi)，則存在，并指出具體位置；若無(wú)解或解不合范圍，則不存在。關(guān)鍵技巧1.

向量法是處理此類(lèi)問(wèn)題的強(qiáng)大工具，尤其是證明垂直或共面時(shí)。

2.可嘗試從特殊位置（如中點(diǎn)、端點(diǎn)）入手，先猜后證。

3.對(duì)于存在性，有時(shí)直接構(gòu)造出符合條件的圖形比純代數(shù)證明更簡(jiǎn)潔。例題13（25-26高三上·黑龍江大慶·期中）如圖，四棱錐中，平面，，，，，，，是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值；(3)在線(xiàn)段上是否存在除端點(diǎn)外的一點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例題14（2025·廣東佛山·三模）如圖，在直三棱柱中，，．側(cè)棱．分別為上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為．(1)證明：是正三棱柱；(2)若運(yùn)動(dòng)時(shí)，總滿(mǎn)足．當(dāng)面積最小時(shí)，求二面角的大?。K說(shuō)明：模塊說(shuō)明：聚焦前沿題型，靶向提升解題能力1.精選各省市最新模擬題，確保訓(xùn)練內(nèi)容緊密貼合當(dāng)前考查方向與命題動(dòng)態(tài)，幫助學(xué)生把握前沿考點(diǎn)。2.按題型進(jìn)行系統(tǒng)分類(lèi)與專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練，使學(xué)生能夠集中突破特定題型，深度掌握其核心解題思路與技巧。題型01空間中平行關(guān)系的證明（共3題）1．（2025·廣西·三模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，，為線(xiàn)段的中點(diǎn).(1)證明：直線(xiàn)平面；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.2．（2025·天津·一模）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，，為棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)P到平面的距離．3．（2025·山東菏澤·一模）如圖，在三棱柱中，分別為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若側(cè)面底面，底面是等邊三角形，側(cè)面是菱形，且，求直線(xiàn)與側(cè)面所成角的正弦值.題型02空間中垂直關(guān)系的證明（共4題）4．（2025·江蘇蘇州·三模）如圖，正四棱錐，，，為側(cè)棱上的點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值．5．（2025·黑龍江哈爾濱·二模）如圖，矩形中，，，E為BC的中點(diǎn)，將沿翻折至，平面平面．(1)求證：平面；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．6．（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）在棱柱中，，，，，E，G分別為線(xiàn)段，的中點(diǎn)，F(xiàn)為直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)．

(1)求證：；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．7．（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且.(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.題型03空間向量法求空間角與空間距離（共4題）8．（2025·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐中，，，側(cè)面為等邊三角形，，．(1)證明：平面；(2)求與平面所成角的正弦值．9．（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐的底面是正方形，且，，點(diǎn)在底面上的射影在正方形內(nèi)，且與平面ABCD所成角的正切值為．(1)若、分別是、的中點(diǎn)，求證：點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在線(xiàn)段上，并求出的值；(2)點(diǎn)在棱上，滿(mǎn)足二面角的余弦值為，求的長(zhǎng)．10．（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知直三棱柱如圖所示，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且.(1)證明：；(2)若，，平面與平面的夾角為，點(diǎn)是線(xiàn)段上靠近的四等分點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.11．（2025·云南昭通·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，平面，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且．(1)求證：平面；(2)若是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，且三棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值．題型04純幾何法求空間角與空間距離（共3題）12．（24-25高一下·四川成都·期末）如圖，已知四棱錐中，側(cè)面PAD為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，，O為AD中點(diǎn)，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為．

(1)證明平面PBO；(2)求點(diǎn)P到平面ABCD的距離；(3)求二面角的余弦值．13．（24-25高一下·北京順義·期末）如圖在四棱柱中，四邊形ABCD為梯形，，，E為中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若平面，，且，（ⅰ）求證：；（ⅱ）寫(xiě)出二面角的正切值.（結(jié)論不要求證明）14．（24-25高一下·山西·期末）如圖，在三棱錐中，平面平面，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是棱BC上的一點(diǎn).

(1)求證：；(2)若，求二面角的余弦值；(3)若直線(xiàn)EM與平面所成角的正弦值為，求線(xiàn)段BM的長(zhǎng).題型05立體幾何中的翻折與軌跡問(wèn)題（共6題）15．（2025·浙江嘉興·二模）如圖，已知，平面平面，，，，點(diǎn)為梯形內(nèi)（包括邊界）一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且平面．(1)求點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度；(2)當(dāng)線(xiàn)段最短時(shí)，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，求三棱錐的體積．16．（2025·廣東佛山·一模）如圖，四邊形中，，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在上，，.將四邊形沿翻折至四邊形.

(1)證明：平面平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.17．（2025·廣西桂林·一模）如圖，梯形中，為上一點(diǎn)，，且，將沿著翻折至所在位置，使得平面平面，連接，得到四棱錐為的中點(diǎn).

(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；(2)在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．（2025·江西·二模）如圖，在平面四邊形中，為線(xiàn)段上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，將沿向上翻折至，連接.(1)若，證明：平面平面；(2)若，求平面與平面所成角的余弦值.19．（2025·安徽黃山·二模）如圖1，在平行四邊形中，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，沿將翻折到的位置，使，如圖2．(1)證明：平面；(2)求平面和平面所成角的余弦值．20．（2025·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在菱形中，，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，，.沿直線(xiàn)將翻折到的位置，連接，得到如圖2所示的五棱錐.(1)證明：在翻折過(guò)程中，總有.(2)若平面平面，線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)（可與點(diǎn)重合），使得點(diǎn)到平面的距離是菱形邊長(zhǎng)的？若存在，試確定點(diǎn)的位置，并求此時(shí)平面與平面所成銳二面角的余弦值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.題型06立體幾何中的范圍與最值問(wèn)題（共7題）21．（2025·廣東揭陽(yáng)·二模）如圖，，，都是等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在平面的上方和下方，點(diǎn)為中點(diǎn).(1)求證：A，D，O，E四點(diǎn)共面；(2)若，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的最大值.22．（24-25高三下·山西·月考）如圖，在直四棱柱中，，，，，．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值：(3)若為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，求到直線(xiàn)距離的最小值.23．（2025·四川成都·一模）如圖，在菱形中，將三角形沿翻折至三角形，連接，構(gòu)成四棱錐.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面；(3)若，，四棱錐的體積不大于，求平面與平面夾角的余弦值的最大值.24．（2025·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖①所示，矩形中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿翻折到，連接，得到圖②的四棱錐為中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若平面平面，求直線(xiàn)與平面所成角的大?。?3)設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．25．（2025·湖南·二模）如圖所示，在直角梯形中，分別是上的點(diǎn)，且，將四邊形沿向上折起，連接，在折起的過(guò)程中，記二面角的平面角為.(1)請(qǐng)將幾何體的體積表達(dá)為關(guān)于的函數(shù)，并求其最大值；(2)當(dāng)時(shí)，求平面和平面夾角的余弦值的取值范圍.26．（2025·湖南·三模）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別是線(xiàn)段，的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)平面與平面的交線(xiàn)記為直線(xiàn)，點(diǎn)為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成角的范圍.27．（2025·湖南郴州·三模）如圖所示，在圓柱中，矩形為圓柱的軸截面，圓柱過(guò)點(diǎn)的母線(xiàn)為，點(diǎn)，為圓上異于點(diǎn)，且在線(xiàn)段AB同側(cè)的兩點(diǎn)，且，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，.(1)求證：平面；(2)若平面與平面所成夾角的余弦值為，求的大??；(3)若，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且直線(xiàn)與平面所成的角為，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線(xiàn)（垂足為），求直線(xiàn)AQ與直線(xiàn)所成角的范圍.題型07立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)與存在性問(wèn)題（共7題）28．（2025·安徽合肥·三模）如圖，在四棱錐中，平面平面，為的中點(diǎn)，，，，，．(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得平面?若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由．29．（2025·云南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，圓錐的底面半徑和高都為2，線(xiàn)段是圓錐底面圓的直徑，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，是底面上圓的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，點(diǎn)在圓錐底面形成的曲線(xiàn)為.

(1)判斷曲線(xiàn)是何種曲線(xiàn)，并求的離心率；(2)在曲線(xiàn)上是否存在異于兩點(diǎn)的點(diǎn)，使得平面平面？若存在，求出直線(xiàn)與平面所成角，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.30．（2025·湖北武漢·一模）已知四棱錐的底面為平行四邊形，，，，，.(1)求三棱錐外接球的表面積.(2)設(shè)為線(xiàn)段上的點(diǎn).（i）若，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.（ii）平面過(guò)點(diǎn)，，且平面，探究：是否存在點(diǎn)，使得平面與平面之間所成角的正切值為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.31．（2025·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面，，動(dòng)點(diǎn)在棱上移動(dòng)，連接．(1)證明：平面平面；(2)若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，平面，平面．（i）與所成的最小角為，求；（ii）設(shè)平面平面，，與所成角的最小值為，當(dāng)最小時(shí)，求的值．32．（2025·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直四棱柱的下底面為菱形，，是上底面內(nèi)兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)．

(1)若為正方體，為上底面的中心，求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值；(2)若恰好是二面角的平面角．證明：在動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，三棱錐的體積保持不變．33．（2025·四川成都·一模）如圖所示，在直三棱柱中，，，點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）.(1)求證：(2)若平面與平面所成角的正弦值不小于，求線(xiàn)段的取值范圍.(3)設(shè)點(diǎn)到面的距離為，四面體的外接球半徑為，求的取值范圍.34．（2025·四川雅安·二模）如圖，已知四面體中，，，，平面平面.

(1)求證：；(2)在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)在此四面體中任取兩條棱，記它們互相垂直的概率為；任取兩個(gè)面，記它們互相垂直的概率為；任取一個(gè)面和不在此面上的一條棱，記它們互相垂直的概率為.試比較，，的大小.題型08立體幾何中的劣構(gòu)性問(wèn)題（共3題）35．（2025高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD為矩形，平面為直角梯形，，，，M為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)從條件①；②中任選一個(gè)作為已知，求二面角的余弦值．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．36．（25-26高二上·四川成都·期中）如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，．再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇兩個(gè)能解決下面問(wèn)題的條件作為已知，并作答．(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值．條件①：；條件②：；條件③：平面平面37．（25-26高三上·北京海淀·月考）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面平面，，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求二面角的大小.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.題型09立體幾何中的雜糅問(wèn)題（共4題）38．（2025·江蘇南通·二模）在正三棱臺(tái)中，，，分別是，的中點(diǎn)．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；(3)若一只電子貓從點(diǎn)出發(fā)，每次等可能地沿著棱去向相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn)，設(shè)在次運(yùn)動(dòng)后電子貓仍停留在下底面的概率為，求.39．（2025·青海西寧·二模）如圖1，已知拋物線(xiàn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B是E上異于點(diǎn)O的兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在第一象限），直線(xiàn)AB交x軸于點(diǎn)C，且，將平面AOC沿著x軸翻折得到三棱錐，如圖2所示，且．(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求證：平面平面；(3)若，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．40．（2025·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，分別以軸和軸為實(shí)軸和虛軸建立復(fù)平面，已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)滿(mǎn)足為定值的點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)．且點(diǎn)在曲線(xiàn)上．(1)求曲線(xiàn)的平面直角坐標(biāo)系方程；(2)若斜率為的直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于、兩點(diǎn)（直線(xiàn)斜率為正），直線(xiàn)、（若、重合，直線(xiàn)即為橢圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)）分別與軸交于、兩點(diǎn)，為中點(diǎn)．（i）證明：為定值；（ii）最大時(shí)，將坐標(biāo)平面沿軸折成二面角，在二面角大小變化過(guò)程中，求三棱錐外接球的半徑最小時(shí)，三棱錐的表面積．41．（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖①，圓柱的底面直徑和母線(xiàn)的長(zhǎng)均為2，過(guò)，兩點(diǎn)與底面所成角為的平面與圓柱的交線(xiàn)為曲線(xiàn)，若沿母線(xiàn)將其側(cè)面剪開(kāi)并展平，以母線(xiàn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖②所示，曲線(xiàn)在平面直角坐標(biāo)系中為函數(shù)圖象的一部分.(1)在圖①中，為弧的中點(diǎn)，直線(xiàn)與該圓柱體的內(nèi)切球（與上、下底面和側(cè)面均相切的球）的球面交于，兩點(diǎn)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；(2)求的解析式；(3)已知，當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.題型10立體幾何中的創(chuàng)新情景與新定義問(wèn)題（共4題）42．（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱臺(tái)中，，，，點(diǎn)在底面的投影是的重心．(1)證明：平面平面；(2)已知空間直角坐標(biāo)系中的方程：，它表示球心為，半徑為的球面．，是棱上兩點(diǎn)，，是三棱臺(tái)表面上一點(diǎn)，且．求滿(mǎn)足條件的點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度．43．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）空間中，我們將至少兩條坐標(biāo)軸不垂直的坐標(biāo)系稱(chēng)為“空間斜坐標(biāo)系”．類(lèi)比空間直角坐標(biāo)系，分別為“空間斜坐標(biāo)系”中三條數(shù)軸（軸、軸、軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組相對(duì)應(yīng)，稱(chēng)向量的斜坐標(biāo)為，記作．如圖，在平行六面體中，，，，．以為基底建立“空間斜坐標(biāo)系”．(1)若點(diǎn)在平面內(nèi)，且平面，求的斜坐標(biāo)；(2)若的斜坐標(biāo)為，求平面與平面的夾角的余弦值．44．（25-26高二上·遼寧朝陽(yáng)·期中）球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門(mén)學(xué)科.如圖1，球O的半徑為R，A，B，C為球面上三點(diǎn)，曲面ABC（陰影部分）叫做球面三角形.若設(shè)二面角C-OA-B，A-OB-C，B-OC-A分別為，，，則球面三角形ABC的面積為.

(1)若平面OAB，平面OAC，平面OBC兩兩垂直，求球面三角形ABC的面積；(2)將圖1中四面體OABC截出得到圖2，若平面三角形ABC為直角三角形，，延長(zhǎng)AO與球O交于點(diǎn)D，連接BD，CD.（?。┳C明：；（ⅱ）若直線(xiàn)DA，DC與平面ABC所成的角分別為，，且，，S為AC的中點(diǎn)，T為BC的中點(diǎn)，設(shè)平面OBC與平面EST的夾角為，求的最小值.45．（24-25高三上·河南南陽(yáng)·期末）空間直角坐標(biāo)系中，任何一個(gè)平面的方程都能表示成（其中），且為該平面的法向量.(1)若平面，，且，求實(shí)數(shù)的值；(2)請(qǐng)利用法向量和投影向量的相關(guān)知識(shí)證明：點(diǎn)到平面的距離為，若記集合所圍成的幾何體為，求的內(nèi)切球的表面積；(3)記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為.①求的體積的值；②求的相鄰（有公共棱）兩個(gè)面所成二面角的大小.模塊說(shuō)明：模塊說(shuō)明：答題強(qiáng)化訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)能力躍遷。模塊題量適中，全部選用最新高質(zhì)量模擬題，側(cè)重對(duì)方法模型的直接應(yīng)用與鞏固。題量15題1．（2025·山西·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱上的點(diǎn)（異于端點(diǎn)），且．(1)證明：與相交且交點(diǎn)在直線(xiàn)上．(2)當(dāng)直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為時(shí)，求的值．2．（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，平面，，，，．(1)求證：平面平面；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．3．（2025·四川樂(lè)山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，且，，．(1)證明：；(2)若三棱錐的體積為，求平面與平面的夾角的余弦值．4．（2025·江蘇南京·二模）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，點(diǎn)在線(xiàn)段上，平面.(1)證明：