第=page11頁，共=sectionpages11頁北京市北京中學2025-2026學年高二英才上學期期中質量調研數學試題一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知直線l經過兩點P1,2,Q4,3，那么直線l的斜率為A.?3 B.?13 C.132.已知圓C1:x+12+y?12A.?9 B.?4 C.1 D.33.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，若A.?1,1,1 B.1,?1,1 C.1,1,?1 D.?1,?1,?14.若直線x+y?m=0被圓C：x?12+y+12=4截得的弦長為A.±2 B.2 C.2 D.5.若橢圓x29+y24=1的弦AB被點A.4x+9y?13=0 B.9x+4y?13=0

C.x+2y?3=0 D.x+3y?4=06.已知等比數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，a2，a3+1，A.10 B.11 C.12 D.137.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0上有一點AA.33 B.22 C.8.設{an}是所有項都不為0的無窮等差數列，則“{1anA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.中國古代科學家發(fā)明了一種三級漏壺記錄時間，壺形都為正四棱臺，自上而下，三個漏壺的上底寬依次遞減1寸(約3.3厘米)，下底寬和深度也依次遞減1寸.設三個漏壺的側面與底面所成的銳二面角依次為θ1，θ2，θ3，則(

)

A.θ1+θ3=2θ2 B.10.曼哈頓距離(ManhattanDistance)是由十九世紀赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，是使用在幾何度量空間的幾何學用語，表示兩個點在空間(或平面)直角坐標系中的“絕對軸距”總和．例如：在平面直角坐標系內有兩個點Ax1,y1,Bx2,y2，它們之間的曼哈頓距離dA,B=xA.4 B.245 C.5 D.二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。11.若向量a=(4,?1,2)，b=(x,8,?6)且，則x=

．12.記等差數列an的前n項和為Sn,a3+a13.寫出一個關于直線x?y+1=0對稱的圓的方程

．14.如圖所示的多面體ABCDEF，其各個面都是邊長為2的等邊三角形，點P，Q分別為棱AB，AD的中點，則CP?FQ=

．

15.“蒙日圓”涉及幾何學中的一個著名定理，該定理的內容為：橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點，必在一個與橢圓同心的圓上.稱此圓為該橢圓的“蒙日圓”，該圓由法國數學家加斯帕爾·蒙日(1746?1818)最先發(fā)現.若橢圓C:x24+y2=1的左、右焦點分別為F1、F2，P為橢圓C上一動點，過P和原點作直線l與橢圓C的蒙日圓相交于M，N16.已知等差數列an與等比數列bn①不存在數列an與bn，使得②存在數列an與bn，使得③不存在數列an與bn，使得④存在數列an與bn，使得an其中正確結論的序號是

．三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題12分)已知Sn是等差數列an的前n項和，S3=a5=9，數列b(1)求數列an和b(2)設cn=an+bn，求18.(本小題13分)已知圓C經過點A(?2,0)，B(0,2)，且圓心在直線y=x上.(1)求圓C的方程；(2)若圓C與直線3x+y?b=0交于兩點(ⅰ)求b的取值范圍；(ⅱ)若在圓C上存在點D，使四邊形OEDF為平行四邊形，其中O為坐標原點，求b的值．19.(本小題15分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，Q為棱PD的中點．

(1)求證：PB/?/平面ACQ；(2)若BA⊥PD，再從條件①?條件②?條件③中選擇若干個作為已知，使四棱錐P?ABCD唯一確定，并求：(i)直線PC與平面ACQ所成角的正弦值；(ii)點P到平面ACQ的距離．條件①：二面角P?CD?A的大小為45條件②：PD=條件③：AQ⊥PC．20.(本小題15分)已知橢圓C:x2a2+(1)求橢圓C的方程；(2)直線l:y=kx+m與橢圓交于點M,N，直線AM,AN分別交直線x=?4于點P,Q，O為坐標原點.若OP=OQ，求證：直線l21.(本小題15分)在n×n(n≥2)個實數組成的n行n列的數表中，aij表示第i行第j列的數，記ri=ai1+ai2+?+ain(1≤i≤n)(1)請寫出一個“2階H表”；(2)對任意一個“n階H表”，若整數λ∈?n,n,且λ?H(3)求證：不存在“5階H表”

參考答案1.C

2.D

3.A

4.A

5.A

6.B

7.C

8.A

9.D

10.A

11.5

12.160

13.x2+(y?1)2=1(14.1

15.216.①②③

17.(1)在等差數列an中，S3=3(a因此數列an的公差d=a5設等比數列bn的公比為q(q>1)，由b32又b4?b2=12，則q4?q2所以數列an和bn的通項公式分別為an(2)由(1)得cn所以Tn

18.(1)根據圓心C在直線y=x上，設圓心C(a,a).

因為圓C經過A(?2,0),B(0,2)，所以|CA|=|CB|，

所以(a+2)2所以圓心C(0,0)，所以圓C的方程為x2(2)(ⅰ)由題意，|?b|3+1<2即?4<b<4，所以b的取值范圍是(?4,4).

(ⅱ)因為四邊形OEDF為平行四邊形，又因為|OE|=|OF|，所以OEDF為菱形.

因為|OD|=2，所以點O到直線EF的距離|?b|3+1所以b=±2，符合題意．

19.(1)

(1)連接BD，交AC于O，連接OQ，底面ABCD是正方形，故O是BD的中點，又因為Q為棱PD的中點，所以，在?PBD中OQ//PB，而OQ?平面ACQ,PB?平面ACQ，所以PB//平面ACQ(2)選①②：因為四邊形ABCD是正方形，所以BA⊥AD,AD⊥CD,BA//CD，又因為BA⊥PD，所以CD⊥PD，因為二面角P?CD?A的大小為45°，平面PAD∩平面ABCD=CD,AD⊥CD,PD⊥CD，所以在?PAD中，PA所以PA故PA⊥AD，又因為BA⊥AD,BA⊥PD,AD∩PD=D,AD?PD?平面PAD，所以BA⊥平面PAD，選①③：因為四邊形ABCD是正方形，所以BA⊥AD,AD⊥CD,BA//CD，又因為BA⊥PD，所以CD⊥PD，因為二面角P?CD?A的大小為45°，平面PAD∩平面所以∠ADP=45因為CD⊥PD,CD⊥AD,AD∩PD=D,AD?PD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又因為AQ?平面PAD，所以CD⊥AQ，又因為AQ⊥PC,PC∩CD=C,PC?CD?平面PCD，所以AQ⊥平面PCD，因為PD?平面PCD，所以AQ⊥PD，又因為Q為PD中點，所以PA=AD，所以∠APD=∠ADP=45所以∠PAD=90°，即因為BA//CD,CD⊥平面PAD，所以BA⊥平面PAD，選②③：因為四邊形ABCD是正方形，所以AD⊥CD,BA//CD，因為CD⊥PD,CD⊥AD,AD∩PD=D,AD?PD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD，又因為AQ?平面PAD，所以CD⊥AQ，又因為AQ⊥PC,PC∩CD=C,PC?CD?平面PCD，所以AQ⊥平面PCD，因為PD?平面PCD，所以AQ⊥PD，又因為Q為PD中點，所以PA=AD=1，在?PAD中，PA故PA⊥AD，因為BA//CD,CD⊥平面PAD，所以BA⊥平面PAD，選①②③同上．以A為原點，AB,AD,AP為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則A0,0,0故AQ=令m=x,y,z為面ACQ令x=1，則m=(i)因為cosm所以直線PC與平面ACQ所成角的正弦值為13(ii)由(i)知點P到平面ACQ的距離13

20.

解：(1)由題得2a=4所以橢圓C的方程為x2(2)直線l:y=kx+m與橢圓方程x2化簡得(4k?=128k2?16設M(x1,y1)，直線MA的方程為y+1=y1+1直線NA的方程為y+1=y2+1因為OP=OQ所以kx所以(2k+1)x把韋達定理代入整理得(m?2k+1)(m?4k)=0,∴m=2k?1或m=4k，當m=2k?1時，直線方程為y=kx+2k?1,∴y+1=k(x+2)，過定點(?2,?1)，即點A，不符合題意，所以舍去．當m=4k時，直線方程為y=kx+4k,∴y=k(x+4)，過定點(?4,0)．所以直線l經過定點．

21.解：(1)由題意寫出一個“2階H表”如下：

1

1

0?1證明：(2)對任意一個“n階H表”，ri表示第i行所有數的和，

ci表示第j列所有數的和，(1≤i,j≤n)，

i=nri與j=1ncj均表示數表中所有數的和，∴i=nri=j=1ncj，

∵aij∈{?1,0,1}，∴r1，r2，…，rn，c1，c2，..，cn只能取[?n,n]內的整數，

∵r1，r2，…，rn，c1，c2，..，cn互不相等，λ∈[?n,n]，且λ?Hn，

∴{r1,r2,…,rn,c1,c2,..,cn}={?n,?n+1,…,?1,0,1,…,n?1,n}，

∴λ+i=1nri+j=1ncj=?n+(?n+1)+…+(?1)+0+1+…+(n?1)+n=0，

∴λ=?2i=1nri為偶數．

(3)假設存在一個“5階H表”，則由(Ⅱ)知5，?5，3