靖邊中學(xué)2024級(jí)2025~2026學(xué)年度第-學(xué)期期末考試試卷●高二數(shù)學(xué)

參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則

4

1.D因?yàn)閍1=2,an+1=2an,數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,所以a5=2×2=32.故選D.

|1—(—4)|

2.B由題意可知l2:r+2y—2=0可以化為2r+4y—4=0,所以兩平行直線l1,l2之間的距離d=

、22+42

5、5

==故選B

..

2、52

3.C“橢圓的短軸長(zhǎng)是焦距的、倍,:b=、3c,又“a2=b2+c2,:a2=3c2+c2=4c2,可得a=2c,:橢圓的離

心率為e.故選C.

4.A將圓O1與圓O2的方程相減,得—6r—4y+8=0,所以直線MN的方程為3r+2y—4=0.故選A.

—2+3

5.D令t=—2r+3,由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式,得f’(r)=(et)’(—2r+3)’=—2et=—2er,故f’(2)=

2

—故選D.

e.

an+n為奇數(shù),

6.C因?yàn)閍1=1,an+1=所以a2=a1+1=2,a3=—a2+2=0,a4=a3+1=1,a5=—a4+2

{—an2,n為偶數(shù),

=1,a6=a5+1=2,…,所以數(shù)列{an}是周期為4的周期數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=1+2+0+1=4,所以

S2025=a1+a2+…+a2025=506×(a1+a2+a3+a4)+a1=2025.故選C.

7.Af’=3r2—m因?yàn)楹瘮?shù)f(r)在定義域(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以f’(r)≥0在(0,+∞)上

恒成立,即m≤3r2+在(0,+∞)上恒成立,令g(r)=3r2+(r∈(0,+∞)),則g’

令g’得r=1,當(dāng)r∈(0,1)時(shí),g’(r)<0,g(r)單調(diào)遞減,當(dāng)r∈(1,+∞)時(shí),g’(r)>

0,g(r)單調(diào)遞增,所以g(r)min=g(1)=9,所以m≤9,即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(—∞,9].故選A.

m

8B設(shè)OA=m(m>0)因?yàn)锳在第一象限且直線OA的傾斜角為60。所以A、設(shè)機(jī)器人甲

.,,,,2),

在點(diǎn)P(r,y)處追上機(jī)器人乙,由機(jī)器人甲的速度是機(jī)器人乙的3倍,得OP=3AP,所以、=

化簡(jiǎn)可得所以點(diǎn)P在以B,9、m為

1)

3m

圓心,為半徑的圓上.若要保證機(jī)器人甲在競(jìng)技區(qū)(含直線l)內(nèi)一定能追上機(jī)器人乙,則圓B在競(jìng)技區(qū)(含

8

9m9、m

+、×—6

16169m

直線l)內(nèi),即直線l與圓B相切或相離,又點(diǎn)B到直線l的距離d==—3,所

28

、/12+(、)

以—3≥解得m≥4或m≤2當(dāng)m≥4時(shí)A、m在安全區(qū)不滿足要求所以m≤2即OA

,,,,2),,,

長(zhǎng)度的最大值是2.故選B.

9.AD由雙曲線E:—=1,得a2=16,b2=9,c2=a2+b2=16+9=25,即a=4,b=3,c=5,所以雙曲線E

的實(shí)軸長(zhǎng)為2a=8,虛軸長(zhǎng)為2b=6,離心率e,漸近線的斜率為±=±,故A正確,B錯(cuò)誤,C

錯(cuò)誤,D正確.故選AD.

10.ABC對(duì)于A,f(r)的定義域?yàn)镽,由f(r)=r2—4r+3,得f’(r)=2r—4,f”(r)=2,因?yàn)閒”(r)≥0

在R上恒成立,所以f(r)在R上是“下凸函數(shù)”,故A正確;對(duì)于B,g(r)的定義域?yàn)?0,+∞),由g(r)

【高二期末考試試卷.數(shù)學(xué)參考答案第1頁(yè)(共4頁(yè))】26—T—430B

—

,得g’(r)==.,g”(r)=.,因?yàn)間”(r)≥0在(0,+∞)上恒成立,所以

g(r)在(0,+∞)上是“下凸函數(shù)”,故B正確;對(duì)于C,h(r)的定義域?yàn)镽,由h(r)=r2+2cosr,得

h’(r)=2r—2sinr,h”(r)=2—2cosr,因?yàn)閔”(r)≥0在R上恒成立,所以h(r)在R上是“下凸函數(shù)”,

2

故C正確;對(duì)于D,φ(r)的定義域?yàn)?0,+∞),由φ(r)=rlnr,得φ’(r)=2rlnr+r,φ”(r)=2lnr+

3

—

3,當(dāng)r∈(0,e2)時(shí),φ”(r)<0,所以φ(r)在(0,+∞)上不是“下凸函數(shù)”,故D錯(cuò)誤.故選ABC.

11.AD由an+1=4an+3,得an+1+1=4(an+1),又a1+1=2,所以數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為2,公比為4的等比

n—12n—12n—1

數(shù)列,所以an+1=2×4=2,即an=2—1,故A正確;數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為sn=—n=

n

(4—1)—n,故B錯(cuò)誤;因?yàn)閎n===,所以Tn=×××…×

2n—11、1

≠,故C錯(cuò)誤;由Tm≤k.,得Tm、2m+1≤k,令Rm=Tm、/2m+1,所以Rm=×

2nn+12m+12

××…××、,Rm+1=×××…×××、,=

(2m+1)、、1

=<1,所以{Rm}單調(diào)遞減,當(dāng)m∈[4,+∞)時(shí),Rm的最大值為R4=×

(2m+2)、2m+1、4m2+8m+42

×××、=,所以k≥R4=,即實(shí)數(shù)k的最小值為,故D正確.故選AD.

12.6f’(r)=3r2+,由導(dǎo)數(shù)的概念可知li=f’(1)=6.

△r0

13.9由a1+a6+a16<a4,得a4+a3+a16<a4,所以a3+a16<0,即a9+a10<0,又s11>s8,所以a9+a10+a11

>0,即3a10>0,a10>0,所以a9<0,當(dāng)sn取得最小值時(shí),n=9.

2

14±、拋物線E:r2=6的準(zhǔn)線為=—所以M0—設(shè)直線l的方程為=kr—

.3yy,(,,y,

(3

y=kr—,

222

A(r1,y1),B(r2,y2),由〈2得r—6kr+9=0,所以Δ=36k—36>0,即k>1,r1+r2=6k,

(r2=6y

--→--→(r2、

r1r2=9,因?yàn)镸A=3MB,所以(r1,y1+=3(r2,y2+,得r1=3r2,所以〈或

(r13

,

(r2=—、r1+r22、

〈所以k==±.

63

(r1=—3、,

15.解:(1)由直線l的斜率為1,得線段AB的中垂線m的斜率為—1,………2分

又m過(guò)圓心(—2,6),則m的方程為y—6=—(r+2),……………………4分

所以線段AB的中垂線方程為r+y—4=0.………………6分

(2)由題意可得直線l的方程為r—y+4=0,………………8分

圓心(—2,6)到直線l的距離為:d==2、,………………11分

所以|AB|=2、=2、/42—(2、2)2=4、.………13分

16.解:(1)由f(r)=—r3+mr2+6r—4,得f’(r)=—3r2+2mr+6,……2分

所以f’(2)=—12+4m+6=4m—6.………………………4分

因?yàn)楹瘮?shù)f(r)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線與直線12r+y—2=0平行,

3

所以f’(2)=—12,即4m—6=—12,解得m=—……………………6分

2.

(2)由(1),得f(r)=—r3—r2+6r—4,f’(r)=—3r2—3r+6,……8分

令f’(r)=0,解得r=—2,或r=1.………………………10分

【高二期末考試試卷.數(shù)學(xué)參考答案第2頁(yè)(共4頁(yè))】26—T—430B

當(dāng)r變化時(shí),f,(r),f(r)的變化情況如下表所示:

r(—4,—2)—2(—2,1)1(1,2)

()

f,r—0+0—

1

f(r)單調(diào)遞減—14單調(diào)遞增—單調(diào)遞減

2

1

因此,當(dāng)r=—2時(shí),f(r)有極小值且,極小值為—14,當(dāng)r=1時(shí),f(r)有極大值且,極大值為—

2.

………………13分

又f(—4)=12,f(2)=—6,

所以函數(shù)f(r)在區(qū)間[—4,2]上的最大值為12,最小值為—14.………15分

17.解:(1)由題意知an≠0,所以由an+1=,得==+5,所以—=5,…………2分

又所以是首項(xiàng)為3,公差為5的等差數(shù)列,…………………4分

所以=3+5(n—1)=5n—2,即an=.………………6分

n

(2)由(1),得bn2,………………………8分

123n

所以sn=3×2+8×2+13×2+…+(5n—2).2①,

234n+1

2sn=3×2+8×2+13×2+…+(5n—2).2②,

123nn+1n+1

①—②,得—sn=3×2+5(2+2+…+2)—(5n—2).2=6+5×—(5n—2).2=

(7—5n).2n+1—14,…………………………13分

n+1

所以sn=(5n—7).2+14.……………15分

18.解:(1)由AB=4、,得2a=4、,解得a=2、,………1分

設(shè)橢圓E的焦距為2c,由焦距為4,得2c=4,解得c=2.…………………2分

又b=、=2,

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為……………………4分

(2)①由題意,得A(—2、,0),B(2、,0),

),,r2,

設(shè)M(r1,y1由M(r1,y1)在橢圓E上得81+=1即y6分

所以K

即直線AM,BM的斜率之積為—.………………………8分

②設(shè)N(r2,y2),

若直線MN的斜率為0,則M,N關(guān)于y軸對(duì)稱,所以KAN+KBM=0,

又直線AN的斜率是直線BM的斜率的3倍,所以KAN=3KBM,即KAN=KBM=0,

由M,N不在r軸上,得KAN≠0,KBM≠0,與KAN=KBM=0矛盾,所以直線MN的斜率不為0.………9分

設(shè)直線MN的方程為r=my+n(n≠±2、),由得(m2+2)y2+2mny+n2—8=0,

222222

所以Δ=4mn—4(m+2)(n—8)=8(4m+8—n)>0,且y1+yy1y分

由①知KAM.KBM=—,又KAN=3KBM,所以KAM.KAN=KAM.3KBM=—,…………12分

【高二期末考試試卷.數(shù)學(xué)參考答案第3頁(yè)(共4頁(yè))】26—T—430B

123123

所以yy=—即yy=—

,,

(r1+2、2)(r2+2、2)2(my1+n+2、2)(my2+n+2、2)2

123

化簡(jiǎn),得yy=—………14分

,

22

my1y2+m(n+2、2)(y1+y2)+(n+2、2)2

將y1+yy1y代入上式并化簡(jiǎn),得

2

n—8=—3,..................................................................15分

m2(n2—8)—2m2n2—4、2m2n+(n+2、)2(m2+2)2

即n2+3、n+4=0,解得n=—2、(舍)或n=—、2,此時(shí)Δ=8(4m2+8—n2)=8(4m2+6)>0,……16分

所以直線MN:r=my—、恒過(guò)點(diǎn)(—、,0).……………17分

19.(1)解:由f(r)=er—ar—1,得fI(r)=er—a,…………1分

因?yàn)楹瘮?shù)f(r)的極值點(diǎn)為0,所以fI(0)=e0—a=0,解得a=1.………3分

若a=1,fI(r)=er—1,當(dāng)r<0時(shí),fI(r)<0,f(r)單調(diào)遞減;當(dāng)r>0時(shí),fI(r)>0,f(r)單調(diào)遞增.所以

0是函數(shù)f(r)的極值點(diǎn).

綜上所述,a=1.………………4分

(若沒(méi)有驗(yàn)證0是函數(shù)f(r)的極值點(diǎn)得3分)

(2)證明:方法一:由(1)知f(r)在(—∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)r∈

(—2,+∞)時(shí),f(r)≥f(0)=0,當(dāng)且僅當(dāng)r=0時(shí)等號(hào)成立.…………6分

1r+1

II

由g(r)=ln(r+2)—r—1,得g(r)=—1=—,令g(r)=0,得r=—1,

r+2r+2

當(dāng)—2<r<—1時(shí),gI(r)>0,g(r)單調(diào)遞增;當(dāng)r>—1時(shí),gI(r)<0,g(r)單調(diào)遞減.

所以g(r)的極大值為g(—1)=0,也是g(r)的最大值,即g(r)≤g(—1)=0,當(dāng)且僅當(dāng)r=—1時(shí)等號(hào)

成立.…………………………8分

所以f(r)≥0≥g(r),且等號(hào)不能同時(shí)成立,故f(r)>g(r).………10分

方法二:令h(r)=f(r)—g(r)=er—r—1—[ln(r+2)—r—1]=er—ln(r+2),r∈(—2,+∞),則

hI(r)=er—,……………5分

因?yàn)閑r,—在r∈(—2,+∞)上單調(diào)遞增,hI(—1)=e—1—1=—1<0,hI(0)=e0—=>0,

所以3r0∈(—1,0),使得hI(r0)=0.……………………7分

當(dāng)—2<r<r0時(shí),hI(r)<0,h(r)單調(diào)遞減;當(dāng)r>r0時(shí),hI(r)>0,h(r)單調(diào)遞增.所以h(r)的極小值

為h(r0),也是h(r)的最小值.……………