2026年數(shù)學(xué)奧賽題集：全年級適用一、選擇題（共5題，每題6分）題1（6分）已知函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=1處取得極值，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.3B.-3C.2D.-2題2（6分）將一個(gè)半徑為R的球嵌入一個(gè)正方體中，球的球心到正方體某個(gè)頂點(diǎn)的距離為√3R，則該正方體的表面積為（）A.6R2B.12R2C.18R2D.24R2題3（6分）若數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=a?+(a?/2)，則a?的值為（）A.7B.8C.9D.10題4（6分）已知點(diǎn)A(1,2)和點(diǎn)B(3,0)在拋物線y2=4x上，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，使得|PA|+|PB|的最小值為（）A.2√5B.4C.2√3D.3√2題5（6分）設(shè)f(x)=sin(x+π/6)+cos(x-π/3)，則f(x)的最小正周期為（）A.πB.2πC.4πD.8π二、填空題（共5題，每題6分）題6（6分）若x+y=1，且x2+y2=1/2，則x3+y3的值為_________。題7（6分）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，sinC=√2/2，則△ABC的面積為_________。題8（6分）已知等差數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，若a?=5，S?=30，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?=_________。題9（6分）若復(fù)數(shù)z=1+i滿足|z-2|=|z-4i|，則|z|的值為_________。題10（6分）將一個(gè)半徑為1的圓沿某一直徑方向均勻拉伸至半徑為2，則拉伸后的圓面積比原圓面積增加了_________倍。三、解答題（共5題，每題14分）題11（14分）已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，（1）求f(x)的最小值；（2）若f(x)=k在實(shí)數(shù)集上有解，求k的取值范圍。題12（14分）在直三棱柱ABC-A?B?C?中，底面△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，AC=2，BC=3，高AA?=4，（1）求直線AB?與平面ACC?A?所成角的正弦值；（2）求三棱柱的體積。題13（14分）設(shè)數(shù)列{a?}滿足a?=2，a???=√(a?+2)，（1）證明數(shù)列{a?}單調(diào)遞增；（2）求lim(a?)的值。題14（14分）已知橢圓x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√2/2，且橢圓上一點(diǎn)P(√2,1)到左準(zhǔn)線的距離等于到右焦點(diǎn)的距離，（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)M、N為橢圓上的兩點(diǎn)，且OM+ON=√3a，求△MON的面積的最大值。題15（14分）給定函數(shù)f(x)=e?-x2，（1）求f(x)的極值點(diǎn)；（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使得對于任意x>0，f(x)≥m恒成立？若存在，求m的最大值；若不存在，說明理由。答案與解析一、選擇題1.B解析：f'(x)=3x2-a，由f'(1)=0得3-a=0，即a=3。2.B解析：正方體對角線長為2√3R，球心到頂點(diǎn)距離為√3R，則正方體邊長為√2R，表面積為12R2。3.C解析：a?=3/2，a?=9/4，a?=27/8，a?=81/16+27/8=9。4.B解析：利用拋物線定義，|PA|+|PB|的最小值為A到B的準(zhǔn)線距離，即4。5.A解析：f(x)=√3sin(x+π/6)+√3cos(x-π/3)=√3sinx+√3cosx=2sin(x+π/3)，周期為π。二、填空題6.1/4解析：x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=1/4。7.6解析：由余弦定理a2=b2+c2-2bc·cosA，結(jié)合sinC=√2/2，面積S=1/2bc·sinC=6。8.n-1解析：a?=a?+(n-1)d，由a?=5，S?=30解得a?=2，d=1。9.√5解析：z-2=z-4i，即2=4i，z=2i，|z|=√5。10.3解析：拉伸前后面積比(22)/(12)=4，增加了3倍。三、解答題11.解析（1）f(x)分段為：f(x)=-2x-1(x≤-2)-3(x∈(-2,1))-2x+1(x≥1)最小值為f(1)=3。（2）k≤3。12.解析（1）直線AB?與平面ACC?A?所成角為∠AB?C?，sin∠AB?C?=AB?·CC?/|AB?|·|CC?|=√10/10。（2）V=1/3·底面積·高=1/3·6·4=8。13.解析（1）a???-a?=√(a?+2)-a?>0，單調(diào)遞增。（2）lim(a?)=2。14.解析（1）e=c/a=√2/2，a2=b2+c2，解得a=2，b