2026年數(shù)學(xué)建模算法訓(xùn)練題集一、線性規(guī)劃問題（共3題，每題15分）第1題（15分）題目：某城市公共交通公司負(fù)責(zé)運(yùn)營(yíng)三條公交線路，分別為A、B、C線路。公司每天需從三個(gè)公交站（站1、站2、站3）調(diào)配車輛至這三條線路。已知各線路每日最低運(yùn)行車輛需求、各站可調(diào)配車輛數(shù)以及每條線路每輛車的運(yùn)行成本如下表所示：|線路|最低需求（輛）|站1可調(diào)配（輛）|站2可調(diào)配（輛）|站3可調(diào)配（輛）|運(yùn)行成本（元/輛·天）||--|-|-|-|-|-||A|20|15|10|8|200||B|25|12|18|5|180||C|30|8|20|15|150|若公司希望每日總運(yùn)行成本最小，請(qǐng)建立線性規(guī)劃模型，并求解最優(yōu)調(diào)配方案。第2題（15分）題目：某農(nóng)場(chǎng)種植三種作物（作物1、作物2、作物3），計(jì)劃在下一季種植面積為1000畝的土地上分配作物種植。已知每種作物的單位面積產(chǎn)量、所需勞動(dòng)力、所需化肥量以及市場(chǎng)價(jià)格如下表所示：|作物|單位面積產(chǎn)量（斤/畝）|所需勞動(dòng)力（人/畝）|所需化肥（斤/畝）|市場(chǎng)價(jià)格（元/斤）||--|-||-|-||作物1|2000|2|50|1.5||作物2|1800|3|70|1.2||作物3|2200|1.5|40|1.4|農(nóng)場(chǎng)每日最多可投入勞動(dòng)力200人，化肥總量最多為60000斤。若農(nóng)場(chǎng)希望總收益最大，請(qǐng)建立線性規(guī)劃模型，并求解最優(yōu)種植方案。第3題（15分）題目：某工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品（產(chǎn)品1、產(chǎn)品2、產(chǎn)品3），需要經(jīng)過A、B兩種設(shè)備加工。已知每種產(chǎn)品的單位生產(chǎn)時(shí)間、設(shè)備A和B的可用時(shí)間以及單位利潤(rùn)如下表所示：|產(chǎn)品|單位生產(chǎn)時(shí)間（小時(shí)/件）|設(shè)備A可用時(shí)間（小時(shí)）|設(shè)備B可用時(shí)間（小時(shí)）|單位利潤(rùn)（元/件）||--||--|--|-||產(chǎn)品1|2|40|30|50||產(chǎn)品2|3|50|40|60||產(chǎn)品3|1.5|30|50|40|若工廠希望總利潤(rùn)最大，請(qǐng)建立線性規(guī)劃模型，并求解最優(yōu)生產(chǎn)方案。二、整數(shù)規(guī)劃問題（共2題，每題20分）第1題（20分）題目：某物流公司需要配送三種貨物（貨物1、貨物2、貨物3）至三個(gè)城市（城市1、城市2、城市3）。已知各城市需求量、各配送點(diǎn)可提供量以及單位配送成本如下表所示：|配送點(diǎn)|貨物1可提供（件）|貨物2可提供（件）|貨物3可提供（件）|城市1需求（件）|城市2需求（件）|城市3需求（件）|單位配送成本（元/件）||--||||-|-|-|--||配送點(diǎn)1|100|80|60|50|30|40|5||配送點(diǎn)2|70|90|50|40|60|30|6||配送點(diǎn)3|60|50|90|30|40|50|4|若公司希望總配送成本最小，且每種貨物的配送量必須為整數(shù)，請(qǐng)建立整數(shù)規(guī)劃模型，并求解最優(yōu)配送方案。第2題（20分）題目：某投資公司計(jì)劃投資四個(gè)項(xiàng)目（項(xiàng)目1、項(xiàng)目2、項(xiàng)目3、項(xiàng)目4），每個(gè)項(xiàng)目的投資額上限以及預(yù)期收益如下表所示：|項(xiàng)目|投資額上限（萬元）|預(yù)期收益（萬元）||--|-|||項(xiàng)目1|200|80||項(xiàng)目2|150|70||項(xiàng)目3|100|60||項(xiàng)目4|120|90|若公司計(jì)劃總投資額不超過500萬元，且每個(gè)項(xiàng)目要么全投要么不投，請(qǐng)建立0-1整數(shù)規(guī)劃模型，并求解最優(yōu)投資方案。三、動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題（共2題，每題25分）第1題（25分）題目：某旅行者計(jì)劃從城市A出發(fā)，經(jīng)過三個(gè)中轉(zhuǎn)城市（城市B、城市C、城市D）最終到達(dá)城市E。已知各城市之間的旅行時(shí)間（小時(shí)）如下表所示：|城市|A|B|C|D|E||--|-|-|-|-|-||A|-|3|5|6|-||B|-|-|2|4|7||C|-|-|-|3|5||D|-|-|-|-|4||E|-|-|-|-|-|若旅行者希望總旅行時(shí)間最短，請(qǐng)建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，并求解最優(yōu)旅行路線。第2題（25分）題目：某工廠需要從原材料A加工成產(chǎn)品C，過程中需要經(jīng)過兩個(gè)中間產(chǎn)品（產(chǎn)品B1、產(chǎn)品B2）。已知各階段轉(zhuǎn)化率及成本如下表所示：|階段|原材料A用量（單位）|成本（元）|轉(zhuǎn)化率||||--|-||加工成B1|2|10|0.8||加工成B2|3|12|0.9||加工成C（B1）|1|8|0.7||加工成C（B2）|1.5|10|0.8|若工廠希望總成本最低，請(qǐng)建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，并求解最優(yōu)生產(chǎn)方案。四、圖論與網(wǎng)絡(luò)流問題（共2題，每題25分）第1題（25分）題目：某城市計(jì)劃修建一條從市中心（節(jié)點(diǎn)1）到郊區(qū)（節(jié)點(diǎn)10）的公交線路，需要經(jīng)過五個(gè)重要站點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)2-6）。已知各站點(diǎn)之間的建設(shè)成本（萬元）如下表所示：|站點(diǎn)|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10||--|-|-|-|-|-|-|-|-|-|-||1|-|10|15|20|25|-|-|-|-|-||2|-|-|5|8|12|15|-|-|-|-||3|-|-|-|6|10|14|18|-|-|-||4|-|-|-|-|7|11|15|19|-|-||5|-|-|-|-|-|9|13|17|21|-||6|-|-|-|-|-|-|12|16|20|24||7|-|-|-|-|-|-|-|-|14|18||8|-|-|-|-|-|-|-|-|-|22||9|-|-|-|-|-|-|-|-|-|26||10|-|-|-|-|-|-|-|-|-|-|若希望總建設(shè)成本最低，請(qǐng)建立最小生成樹模型，并求解最優(yōu)路線。第2題（25分）題目：某物流公司需要將貨物從倉庫（節(jié)點(diǎn)1）配送至三個(gè)銷售點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)4、5、6），經(jīng)過兩個(gè)中轉(zhuǎn)站（節(jié)點(diǎn)2、3）。已知各節(jié)點(diǎn)之間的運(yùn)輸成本（元/噸）以及最大運(yùn)輸能力如下表所示：|節(jié)點(diǎn)|1|2|3|4|5|6||--|-|-|-|-|-|-||1|-|10|15|20|25|30||2|-|-|5|8|12|15||3|-|-|-|6|10|14||4|-|-|-|-|7|11||5|-|-|-|-|-|9||6|-|-|-|-|-|-|若希望總運(yùn)輸成本最低，且滿足各節(jié)點(diǎn)的供需關(guān)系，請(qǐng)建立網(wǎng)絡(luò)流模型，并求解最優(yōu)配送方案。答案與解析一、線性規(guī)劃問題第1題答案：模型：設(shè)xij表示從站i調(diào)配至線路j的車輛數(shù)（i=1,2,3；j=A,B,C）。目標(biāo)函數(shù)：minZ=200(x1A+x2A+x3A)+180(x1B+x2B+x3B)+150(x1C+x2C+x3C)約束條件：1.供需平衡：x1A+x2A+x3A≥20（A線最低需求）x1B+x2B+x3B≥25（B線最低需求）x1C+x2C+x3C≥30（C線最低需求）2.資源限制：x1A+x2A+x3A≤15（站1可調(diào)配）x1B+x2B+x3B≤10（站2可調(diào)配）x1C+x2C+x3C≤8（站3可調(diào)配）3.非負(fù)性：xij≥0求解：通過單純形法或軟件求解，得到最優(yōu)解為：x1A=20,x2A=0,x3A=0,x1B=5,x2B=20,x3B=0,x1C=0,x2C=10,x3C=30總成本：minZ=200×20+180×25+150×30=10650元第2題答案：模型：設(shè)x1、x2、x3分別表示三種作物的種植面積（畝）。目標(biāo)函數(shù)：maxZ=1.5×2000x1+1.2×1800x2+1.4×2200x3約束條件：1.土地限制：x1+x2+x3=10002.勞動(dòng)力限制：2x1+3x2+1.5x3≤2003.化肥限制：50x1+70x2+40x3≤600004.非負(fù)性：x1,x2,x3≥0求解：通過單純形法或軟件求解，得到最優(yōu)解為：x1=200,x2=300,x3=500總收益：maxZ=1.5×2000×200+1.2×1800×300+1.4×2200×500=2316000元第3題答案：模型：設(shè)x1、x2、x3分別表示三種產(chǎn)品的生產(chǎn)量（件）。目標(biāo)函數(shù)：maxZ=50x1+60x2+40x3約束條件：1.設(shè)備A限制：2x1+3x2+1.5x3≤402.設(shè)備B限制：30x1+40x2+50x3≤303.非負(fù)性：x1,x2,x3≥0求解：通過單純形法或軟件求解，得到最優(yōu)解為：x1=0,x2=10,x3=6總利潤(rùn)：maxZ=50×0+60×10+40×6=960元二、整數(shù)規(guī)劃問題第1題答案：模型：設(shè)yij表示從配送點(diǎn)i配送至城市j的貨物量（件）。目標(biāo)函數(shù)：minZ=5y1A+6y2A+4y3A+5y1B+6y2B+4y3B+5y1C+6y2C+4y3C約束條件：1.供需平衡：y1A+y2A+y3A=100（配送點(diǎn)1可提供）y1B+y2B+y3B=70（配送點(diǎn)2可提供）y1C+y2C+y3C=60（配送點(diǎn)3可提供）y1A+y1B+y1C=50（城市1需求）y2A+y2B+y2C=30（城市2需求）y3A+y3B+y3C=40（城市3需求）2.非負(fù)性：yij≥0且為整數(shù)求解：通過分支定界法或軟件求解，得到最優(yōu)解為：y1A=50,y1B=0,y1C=0,y2A=0,y2B=30,y2C=0,y3A=0,y3B=0,y3C=40總成本：minZ=5×50+6×0+4×0+5×0+6×30+4×0+5×0+6×0+4×40=740元第2題答案：模型：設(shè)x1-x4表示是否投資對(duì)應(yīng)項(xiàng)目（1=投資，0=不投資）。目標(biāo)函數(shù)：maxZ=80x1+70x2+60x3+90x4約束條件：1.投資總額限制：200x1+150x2+100x3+120x4≤5002.整數(shù)性：x1-x4為0-1變量求解：通過0-1背包問題解法或軟件求解，得到最優(yōu)解為：x1=1,x2=1,x3=0,x4=1總收益：maxZ=80×1+70×1+60×0+90×1=220萬元三、動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題第1題答案：模型：設(shè)f(i,j)表示從城市i到達(dá)城市j的最短時(shí)間。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：f(i,j)=min{f(i,k)+d(k,j)}（k為i到j(luò)的中間節(jié)點(diǎn)）初始條件：f(A,B)=3,f(A,C)=5,f(A,D)=6最終目標(biāo)：f(A,E)求解：f(A,B)=3,f(A,C)=5,f(A,D)=6f(B,C)=min{f(A,B)+2}=5,f(B,D)=min{f(A,B